Кіріспе

Математикада, S жиынындағы жабылу операторы – S жиынының қуат жиынынан өзіне дейінгі функция, ол барлық жиындар үшін келесі шарттарды қанағаттандырады:
| (cl кеңейтілген),
| (cl өсуге бағынған),
| (cl өзіне тең).

Жабылу операторлары олардың жабық жиындарымен анықталады, яғни cl(X) түріндегі жиындармен, себебі X жиынының жабылуы cl(X) – X жиынын қамтитын ең кіші жабық жиын. Мұндай "жабық жиындардың" жиындары кейде жабылу жүйелері немесе "Мур отбасылары" деп аталады. Жабылу операторы бар жиын жабылу кеңістігі деп аталуы мүмкін. Жабылу операторлары "қаптама операторлары" деп те аталады, бұл топологияда зерттелетін "жабылу операторларымен" шатасуды болдырмайды.

Тарих

Э. Х. Мур 1910 жылы жарияланған «Жалпы талдаудың бір түріне кіріспе» атты еңбегінде жабылу операторларын зерттеді, ал ішкі жиынның жабылуы түсінігі Фригиес Риесстің топологиялық кеңістіктермен байланысты жұмысында қалыптасты. Бұл идея осы кезде ресми түрде бекітілмегенімен, 19 ғасырдың соңында Эрнст Шредер, Ричард Дедекинд және Георг Кантордың маңызды еңбектері арқасында пайда болды.

Топологиядағы жабылу операторлары

Топологиялық кеңістіктің X ішкі жиынының топологиялық жабылуы – кеңістіктің барлық y нүктелерінен тұрады, мұнда y-дың әрбір маңында X жиынының кемінде бір нүктесі болады. Кез келген X ішкі жиынына оның жабылуын сәйкес қоятын функция – топологиялық жабылу операторы. Керісінше, кез келген жиындағы топологиялық жабылу операторы, жабылу операторына қатысты жабық жиындармен дәлме-дәл сәйкес келетін жабық жиындары бар топологиялық кеңістік тудырады.

Алгебрадағы жабылу операторлары

Финитарлық жабу операторлары әмбебап алгебрада едәуір маңызды рөл атқарады, және осы контексте олар дәстүрлі түрде алгебралық жабу операторлары деп аталады. Алгебраның кез келген кіші жиыны субальгебраны тудырады: берілген жиынды қамтитын ең кіші субальгебра. Бұл шекті жабу операторының пайда болуына себеп болады. Бұл саланың ең танымал мысалы – берілген векторлық кеңістіктің кез келген кіші жиынына оның сызықтық кеңеюін сәйкес қоятын функция. Сол сияқты, берілген топтың кез келген кіші жиынына одан туындаған кіші топты сәйкес қоятын функция, және осыған ұқсас, өрістер мен алгебралық құрылымдардың барлық басқа түрлері үшін де. Векторлық кеңістіктегі сызықтық кеңею және өрістегі ұқсас алгебралық жабылу алмасу қасиетін қанағаттандырады: егер x, A және {y} жиындарының біріктірілгенінің жабылуында болса, бірақ A жиынының жабылуында болмаса, онда y, A және {x} жиындарының біріктірілгенінің жабылуында болады. Осы қасиетке ие шекті жабу операторы матроид деп аталады. Векторлық кеңістіктің өлшемділігі немесе өрістің трансценденттік дәрежесі (оның бастапқы өрісіне қатысты) сәйкес матроидтың ранкіне тең болады. Берілген өрістің кез келген кіші жиынына оның алгебралық жабылуын сәйкес қоятын функция да шекті жабу операторы болып табылады, және әдетте ол бұрын айтылған оператордан өзгеше болады. Осы екі операторды жалпылайтын шекті жабу операторлары модель теориясында dcl (анықталатын жабу үшін) және acl (алгебралық жабу үшін) ретінде зерттеледі. n-өлшемді Евклид кеңістігіндегі дөңгелек қабық – шекті жабу операторының тағы бір мысалы. Ол антиалмасу қасиетін қанағаттандырады: егер x, {y} және A жиындарының біріктірілгенінің жабылуында болса, бірақ {y} және A жиынының жабылуында болмаса, онда y, {x} және A жиындарының біріктірілгенінің жабылуында болмайды. Бұл қасиетке ие шекті жабу операторлары антиматроидтарды тудырады. Алгебрада қолданылатын жабу операторының тағы бір мысалы ретінде, егер алгебраның ғаламдық жиыны A болса және X – A элементтерінің жұптарының жиыны болса, онда X-ке ең кіші конгруенцияны сәйкес қоятын оператор A x A-да шекті жабу операторы болып табылады.

Логикалық жабу операторлары

Егер сізде белгілі бір ережелерді қамтитын логикалық формализм болса, онда берілген формулалардан жаңа формулаларды тудыруға болады. F – барлық мүмкін формулалардың жиынтығын қарастырайық, ал P – F-тің қуат жиынтығы болсын, ⊆ арқылы реттелген. X формулалар жиынтығы үшін, cl(X) – X-тен туындайтын барлық формулалардың жиынтығы болсын. Онда cl – P-нің жабылу операторы. J операторын "үзділіссіз" деп атаймыз, егер әрбір бағытталған T класы үшін,

J(lim T) = lim J(T) теңдігі орындалса. Бұл үзділіссіздік шарты J үшін бекітілген нүкте теоремасының негізінде. Монотондық логиканың бір қадамдық операторы J-ді қарастырайық. Бұл оператор кез келген X формулалар жиынтығын J(X) формулалар жиынтығымен байланыстырады, олар логикалық аксиомалар болып табылады немесе X формулаларынан қорытынды ережесі арқылы алынған немесе X жиынтығына жатады. Олай болса, мұндай оператор үзділіссіз болады және біз cl(X) – J үшін ең кішкентай бекітілген нүкте ретінде, X-ке тең немесе одан үлкен болатындай етіп анықтай аламыз. Мұндай көзқарасқа сәйкес Тарски, Браун, Сузко және басқа авторлар жабылу операторы теориясына негіделген логикаға жалпы көзқарас ұсынды. Сондай-ақ, мұндай идея бағдарламалау логикасында (Ллойд 1987 ж. қараңыз) және тұманды логикада (Герла 2000 ж. қараңыз) ұсынылған.

Соңы операторы

1930 жылы Альфред Тарски логикалық есептеулердің кейбір қасиеттерін модельдейтін логикалық дедукциялардың абстрактілік теориясын жасады. Математикалық тұрғыдан алғанда, ол сипаттаған нәрсе – жиынтық (сөйлемдер жиынтығы) бойынша аяқты жабу операторы. Абстрактті алгебралық логикада аяқты жабу операторлары әлі күнге дейін Тарски енгізген салдар операторы деген атаумен зерттеледі. S жиынтығы сөйлемдер жиынтығын, ал S жиынтығының T ішкі жиынтығы теорияны білдіреді, ал cl(T) – теориядан шығатын барлық сөйлемдер жиынтығы. Бүгінгі таңда термин аяқты болуы міндетті емес жабу операторларын да білдіре алады; ал аяқты жабу операторларын кейде аяқты салдар операторлары деп атайды.

Жабық жиынтықтар

S жиынындағы жабылу операторына қатысты жабық жиынтықтар P(S) қуат жиынтығының C кіші жиынтығын құрайды. C жиынтығындағы кез келген жиынтықтардың қиылысы қайтадан C жиынтығында болады. Басқаша айтқанда, C – P(S) толық қиылыс субсемиторлық. Керісінше, егер C ⊆ P(S) кез келген қиылыстар бойынша жабық болса, онда S жиынының кез келген X кіші жиынтығына X ⊆ Y болатындай ең кіші Y ∈ C жиынтығын сәйкес келтіретін функция жабылу операторы болып табылады. Берілген жабылу операторының барлық жабық жиынтықтарын құруға арналған қарапайым және жылдам алгоритм бар. Жинақтың жабылу операторы топологиялық болады, егер және тек қана жабық жиынтықтар жиынтығы шекті біріктірулер бойынша жабық болса, яғни C – P(S) толық субрешеті болып табылады. Топологиялық емес жабылу операторлары үшін де C тор құрылымы ретінде қарастырылуы мүмкін. (Екі жиынның біріктірілуі X, Y ⊆ P(S) болғанда cl(X Y) болады.) Бірақ онда C – P(S) тордың кішіторлық емес. Егер жинақта шекті жабылу операторы берілген болса, онда шекті жиынтықтардың жабылулары жабық жиынтықтардың C жиынтығының ықшам элементтері болып табылады. Осыдан С алгебралық жиынтық деп қорытынды жасауға болады. C сонымен қатар тор болғандықтан, оны осы контексте көбінесе алгебралық тор деп атайды. Керісінше, егер C алгебралық жиынтық болса, онда жабылу операторы шекті болады.