Введение
В математике оператор замыкания на множестве S — это функция от булеана (или степенного множества) S в себя, которая удовлетворяет следующим условиям для всех множеств:
{| border="0"
|
|
| (cl is extensive),
|
|
| (cl is increasing),
|
|
| (cl is idempotent). |}
Closure operators are determined by their closed sets, i. e., by the sets of the form cl(X), since the closure cl(X) of a set X is the smallest closed set containing X. Such families of "closed sets" are sometimes called closure systems or "Moore families". A set together with a closure operator on it is sometimes called a closure space. Closure operators are also called "hull operators", which prevents confusion with the "closure operators" studied in topology.
{| border="0"
|
|
| (замыкание является расширяющим),
|
|
| (замыкание является возрастающим),
|
|
| (замыкание является идемпотентным). |}
{| border="0"
|
|
| (cl is extensive),
|
|
| (cl is increasing),
|
|
| (cl is idempotent). |}
Closure operators are determined by their closed sets, i. e., by the sets of the form cl(X), since the closure cl(X) of a set X is the smallest closed set containing X. Such families of "closed sets" are sometimes called closure systems or "Moore families". A set together with a closure operator on it is sometimes called a closure space. Closure operators are also called "hull operators", which prevents confusion with the "closure operators" studied in topology.
Операторы замыкания определяются своими замкнутыми множествами, то есть множествами вида cl(X), поскольку замыкание cl(X) множества X является наименьшим замкнутым множеством, содержащим X. Такие семейства "замкнутых множеств" иногда называют системами замыкания или "семьями Мура". Множество вместе с оператором замыкания на нём иногда называют пространством замыкания. Операторы замыкания также называются "операторами оболочки", что позволяет избежать путаницы с "операторами замыкания", изучаемыми в топологии.
{| border="0"
|
|
| (cl is extensive),
|
|
| (cl is increasing),
|
|
| (cl is idempotent). |}
Closure operators are determined by their closed sets, i. e., by the sets of the form cl(X), since the closure cl(X) of a set X is the smallest closed set containing X. Such families of "closed sets" are sometimes called closure systems or "Moore families". A set together with a closure operator on it is sometimes called a closure space. Closure operators are also called "hull operators", which prevents confusion with the "closure operators" studied in topology.
История
Э. Х. Мур исследовал операторы замыкания в своей работе 1910 года «Введение в одну из форм общего анализа», в то время как понятие замыкания подмножества возникло в работах Фригеша Риеша в связи с топологическими пространствами. Хотя в то время это не было формализовано, идея замыкания зародилась в конце XIX века, с важным вкладом Эрнста Шрёдера, Рихарда Дедекинда и Георга Кантора.
Операторы закрытия в топологии
Топологическое замыкание подмножества X топологического пространства состоит из всех точек y пространства, таких что каждое окрестность точки y содержит точку из X. Функция, которая сопоставляет каждому подмножеству X его замыкание, является топологическим оператором замыкания. Обратно, каждый топологический оператор замыкания на множестве порождает топологическое пространство, замкнутые множества которого являются ровно замкнутыми множествами относительно этого оператора замыкания.
Операторы закрытия в алгебре
Ограниченные операторы замыкания играют относительно заметную роль в универсальной алгебре, и в этом контексте они традиционно называются алгебраическими операторами замыкания. Каждое подмножество алгебры порождает подалгебру: наименьшую подалгебру, содержащую данное множество. Это приводит к конечному оператору замыкания. Вероятно, наиболее известным примером является функция, сопоставляющая каждому подмножеству данного векторного пространства его линейную оболочку. Аналогично, функция, сопоставляющая каждому подмножеству данной группы подгруппу, порожденную этим подмножеством, и аналогично для полей и всех других типов алгебраических структур. Линейная оболочка в векторном пространстве и аналогичное алгебраическое замыкание в поле удовлетворяют свойству обмена: если x принадлежит замыканию объединения A и {y}, но не принадлежит замыканию A, то y принадлежит замыканию объединения A и {x}. Конечный оператор замыкания, обладающий этим свойством, называется матроидом. Размерность векторного пространства или степень трансцендентности поля (над его простым полем) точно соответствует рангу соответствующего матроида. Функция, отображающая каждое подмножество данного поля в его алгебраическое замыкание, также является конечным оператором замыкания, и в общем случае отличается от упомянутого ранее оператора. Конечные операторы замыкания, обобщающие эти два оператора, изучаются в теории моделей как dcl (для определяемого замыкания) и acl (для алгебраического замыкания). Выпуклая оболочка в n-мерном евклидовом пространстве является еще одним примером конечного оператора замыкания. Она удовлетворяет свойству антиобмена: если x принадлежит замыканию объединения {y} и A, но не принадлежит объединению {y} и замыканию A, то y не принадлежит замыканию объединения {x} и A. Конечные операторы замыкания, обладающие этим свойством, порождают антиматроиды. В качестве другого примера оператора замыкания, используемого в алгебре, если у некоторой алгебры вселенная A, а X – множество пар из A, то оператор, сопоставляющий X наименьшее отношение конгруэнтности, содержащее X, является конечным оператором замыкания на A x A.
Операторы закрытия в логике
Предположим, у вас есть некоторый логический формализм, содержащий определенные правила, позволяющие выводить новые формулы из заданных. Рассмотрим множество F всех возможных формул, и пусть P будет множеством степеней F, упорядоченным по включению (⊆). Для множества X формул обозначим cl(X) как множество всех формул, которые могут быть выведены из X. Тогда cl является оператором замыкания на P. Более точно, cl можно получить следующим образом. Назовем оператор J "непрерывным", если для любого направленного множества T выполняется равенство J(lim T) = lim J(T). Это условие непрерывности обосновано теоремой о неподвижной точке для J. Рассмотрим одношаговый оператор J монотонной логики. Это оператор, сопоставляющий любому множеству X формул множество J(X) формул, которые либо являются логическими аксиомами, либо получены из формул в X по правилу вывода, либо принадлежат X. Тогда такой оператор непрерывен, и мы можем определить cl(X) как наименьшую неподвижную точку для J, большую или равную X. В соответствии с таким подходом Тарски, Браун, Сузко и другие авторы предложили общий подход к логике, основанный на теории операторов замыкания. Аналогичная идея используется в логике программирования (см. Ллойд, 1987) и в нечеткой логике (см. Герла, 2000).
J(lim T) = lim J(T). This continuity condition is on the basis of a fixed point theorem for J. Consider the one step operator J of a monotone logic. This is the operator associating any set X of formulas with the set J(X) of formulas that are either logical axioms or are obtained by an inference rule from formulas in X or are in X. Then such an operator is continuous and we can define cl(X) as the least fixed point for J greater or equal to X. In accordance with such a point of view, Tarski, Brown, Suszko and other authors proposed a general approach to logic based on closure operator theory. Also, such an idea is proposed in programming logic (see Lloyd 1987) and in fuzzy logic (see Gerla 2000).
Операторы последствий
Около 1930 года Альфред Тарски разработал абстрактную теорию логических дедукций, моделирующую некоторые свойства логических исчислений. Математически, то, что он описал, является просто оператором конечного замыкания на множестве (множестве предложений). В абстрактной алгебраической логике операторы конечного замыкания до сих пор изучаются под названием оператор следствий, введенным Тарски. Множество S представляет собой множество предложений, подмножество T множества S – теорию, а cl(T) – множество всех предложений, вытекающих из этой теории. В настоящее время этот термин может относиться к операторам замыкания, не обязательно конечным; операторы конечного замыкания тогда иногда называют операторами конечных следствий.
Закрытые наборы
Закрытые множества относительно оператора замыкания на S образуют подмножество C множества мощностей P(S). Любое пересечение множеств в C снова принадлежит C. Иными словами, C является полным подполурешеткой P(S). И наоборот, если C ⊆ P(S) замкнуто относительно произвольных пересечений, то функция, сопоставляющая каждому подмножеству X множества S наименьшее множество Y ∈ C, такое что X ⊆ Y, является оператором замыкания. Существует простой и быстрый алгоритм для генерации всех замкнутых множеств заданного оператора замыкания. Оператор замыкания на множестве является топологическим тогда и только тогда, когда множество замкнутых множеств замкнуто относительно конечных объединений, то есть C является полным подполурешеткой P(S). Даже для нетопологических операторов замыкания C можно рассматривать как имеющее структуру решетки. (Соединением двух множеств X, Y ⊆ P(S) является cl(X ∪ Y).) Но тогда C не является подрешеткой решетки P(S). Для заданного финального оператора замыкания на множестве, замыкания конечных множеств являются точно компактными элементами множества C замкнутых множеств. Отсюда следует, что C является алгебраическим частично упорядоченным множеством. Поскольку C также является решеткой, в этом контексте его часто называют алгебраической решеткой. И наоборот, если C является алгебраическим частично упорядоченным множеством, то оператор замыкания финальный.