Кіріспе

Риман геометриясында қисықтың геодезиялық қисықтығы, қисықтың геодезиялыққа қаншалықты жақын немесе алыс екенін көрсетеді. Мысалы, 3D кеңістікте орналасқан 2D беттегі 1D қисықтар үшін, бұл қисықтың беттің жанама жазықтығына проекцияланған қисықтығы болып табылады. Көбінесе, берілген көпқырлылықта геодезиялық қисықтық – әдеттегі қисықтық (төменде қараңыз). Дегенмен, егер қисық сызық белгілі бір кіші көпқырлылықта жатса (мысалы, беттердегі қисықтар үшін), онда геодезиялық қисықтық – кіші көпқырлылықтағы қисықтықтың қисықтығын білдіреді және ол, әдетте, қоршаған көпқырлылықтағы қисықтықтан өзгеше болады. Қоршаған ортаның қисықтығы екі факторға байланысты: қисықтың кіші көпқырлылықтағы қисықтығы (нормальдық қисықтық), ол тек қисықтың бағытына тәуелді, және қисықтың кіші көпқырлылықта көрінетін қисықтығы (геодезиялық қисықтық), ол екінші ретті шама. Олардың арасындағы байланыс: Атап айтқанда, геодезиялықтардың геодезиялық қисықтығы нөлге тең (олар "түзу"), сондықтан, кіші көпқырлылық болғанда, олар қоршаған кеңістікте қисық болып көріну себебі осыдан туындайды.

Анықтама

Көптектің ішіндегі қисықты қарастырайық, ол доға ұзындығы бойынша параметрленген, бiрлiк тангенс векторы бар. Оның қисықтығы – вектордың ковариантты туындысының нормасы. Егер қисық , болса, геодезиялық қисықтық – ковариантты туындысының субманолифке жанама кеңістігіне проекциясының нормасы. Керісінше, қалыпты қисықтық – қарастырылып отырған нүктедегі субманолифке нормальды шоғырға проекцияның нормасы. Егер айналадағы көптік – евклидтік кеңістік болса, онда ковариантты туынды – әдеттегі туынды. Егер жылдамдық бірлікке тең болса, яғни , және қисық бойындағы бірлік нормальды өріс деп белгіленсе, геодезиялық қисықтық былай беріледі:

мұнда квадрат жақшалар скалярлық үштік көбейтуді білдіреді.

Мысал

Үш өлшемді Евклид кеңістігіндегі бірлік сферасын қарастырайық. Сфераның нормалды қисықтығы қарастырылатын бағытқа тәуелсіз, әрқашан 1-ге тең. Үлкен шеңберлердің қисықтығы болады, сондықтан олардың геодезиялық қисықтығы нөлге тең, демек олар геодезиялықтар болып табылады. Радиусы кіші шеңберлердің қисықтығы болады, ал геодезиялық қисықтығы болады.

Геодезиялық қисықтықты қамтитын кейбір нәтижелер

Геодезиялық қисықтық – бұл субманифольдта іштей есептелгендегі қисықтың әдеттегі қисықтығы. Ол субманифольдтың кеңістікте қалай орналасқандығына тәуелді емес. Геодезиялық сызықтардың геодезиялық қисықтығы нөлге тең, бұл олардың тангенциалдық кеңістікке ортогоналды екенін білдіреді. Екінші жағынан, қалыпты қисықтық субманифольдтың айналадағы кеңістікте қалай жатқандығына күшті түрде тәуелді, бірақ қисыққа аз тәуелді: ол тек субманифольдтағы нүктеге және бағытқа ғана тәуелді, бірақ қисықтың өзіне тәуелді емес. Жалпы Риман геометриясында туынды айналадағы манифольдтың Леви-Чивита байланысы арқылы есептеледі: ол субманифольдқа қатысты тангенциалды және қалыпты бөліктерге бөлінеді. Тангенциалды бөлігі – бұл әдеттегі туынды (ол Гаусс-Кодацци теңдеулеріндегі Гаусс теңдеуінің ерекше жағдайы), ал қалыпты бөлігі – , мұнда – екінші түбірдік форманы білдіреді. Гаусс-Боннет теоремасы.