Ийекті беттердегі ең қысқа жолдар (геодезиялықтар)

Кіріспе

Қисық бетте немесе Риман көптүрлілігінде түзу жол – геодезиялықтар, жалпы алғанда

Геометрияда геодезиялық (,/dʒ//iː//.//ə/'/d//ɛ//s//ɪ//k//, // //oʊ// //, // /'/d//iː//s//ɪ//k//, // //z//ɪ//k/) – бұл қандай да бір мағынада беттегі екі нүкте арасындағы ең қысқа жолды (доғаны) көрсететін қисық, немесе жалпырақ айтқанда Риман көптүрлілігінде. Бұл термин байланысы бар кез келген дифференциалданатын көптік үшін де мағынаға ие. Бұл "түз сызық" ұғымының жалпылануы. Геодезиялық есім және геодезиялық сөйлем геодезиядан, Яғни Жердің мөлшері мен пішінін өлшеу ғылымынан шыққан, бірақ оның көптеген негізгі принциптерін кез келген эллипсоидты геометрияға қолдануға болады. Алғашқы мағынасында геодезиялық – Жер бетіндегі екі нүкте арасындағы ең қысқа маршрут. Сфералық Жер үшін бұл үлкен шеңбердің сегменті (қараңыз, сондай-ақ үлкен шеңбер қашықтығы). Бұл термин содан бері көбірек абстрактілі математикалық кеңістіктерге жалпыланды; мысалы, графтар теориясында графтың екі төбесі/түйіні арасындағы геодезияны қарастыруға болады. Риман көптүрлілігі немесе кіші көптүрлілігінде геодезиялар геодезиялық қисықтықтың жоғалу қасиетімен сипатталады. Көбірек айтқанда, аффиндік байланыс болған жағдайда, геодезиялық – бұл оның тангенстік векторлары осымен бірге тасымалданатын болса, параллель күйінде қалатын қисық деп анықталады. Бұл Риман метрикасының Леви-Чивита байланысына қолданылса, бұрынғы ұғымды қалпына келтіреді. Геодезиялар жалпы салыстырмалылық теориясында ерекше маңызға ие. Жалпы салыстырмалылық теориясындағы уақытқа тәуелді геодезиялар еркін құлаудағы сынақ бөлшектерінің қозғалысын сипаттайды.

Кіріспе

Бұрышты кеңістіктегі екі берілген нүкте арасындағы жергілікті ең қысқа жолды Риман көптүрлілігі деп қарастырады, оны қисықтың ұзындығы үшін теңдеуді (R ашық аралығынан кеңістікке дейінгі f функциясы) қолдану арқылы анықтайды, содан кейін бұл ұзындықты азайту арқылы нүктелер арасындағы вариациялық есептеулерді пайдаланады. Бұл кейбір шағын техникалық қиындықтарға алып келеді, себебі ең қысқа жолды параметрлеудің әртүрлі тәсілдерінің шексіз өлшемді кеңістігі бар. Ең қысқа жолдар жиынын "тұрақты жылдамдықпен" 1 параметрленгендерге шектеу оңай, яғни f(s) нүктесінен f(t) нүктесіне дейінгі қашықтық |s−t| тең. Балама ретінде, қисықтың энергиясы деп аталатын басқа шаманы қолдануға болады; энергияны азайту геодезиялық теңдеулерге әкеледі (мұнда "тұрақты жылдамдық" азайтудың салдары). Интуитивті тұрғыдан, екінші формуланы екі нүкте арасында созылған серіппелі таспаның енінің қысқаруын және осылайша оның энергиясын азайтуын атап өту арқылы түсінуге болады. Таспаның түзілген пішіні геодезиялық болып табылады. Екі нүкте арасындағы бірнеше қисықтар арақашықтықты азайтуы мүмкін, мысалы, сферадағы екі диаметралы қарама-қарсы нүктелер үшін. Мұндай жағдайда, осы қисықтардың кез келгені геодезиялық болып табылады. Геодезиялық сызықтың үздісіз бөлігі де геодезиялық болып табылады. Жалпы алғанда, геодезия екі нүкте арасындағы "ең қысқа қисықтарға" тең емес, бірақ екі ұғым тығыз байланысты. Айырмашылық - геодезиялар нүктелер арасындағы жергілікті ең қысқа қашықтық болып табылады және "тұрақты жылдамдықпен" параметрленеді. Сферадағы екі нүкте арасындағы үлкен шеңбер бойымен "ұзақ жолмен" жүру геодезиялық болып табылады, бірақ нүктелер арасындағы ең қысқа жол емес. Нақты сандар сызығындағы бірлік аралықтан өзіне дейінгі бейнелеу 0 мен 1 арасындағы ең қысқа жолды береді, бірақ геодезиялық емес, себебі нүктенің тиісті қозғалысының жылдамдығы тұрақты емес. Геодезия Риман геометриясы және жалпы метрикалық геометрияны зерттеуде жиі кездеседі. Жалпы салыстырмалылық теориясында кеңістік-уақыттағы геодезиялар гравитацияның ғана әсерімен нүктелік бөлшектердің қозғалысын сипаттайды. Атап айтқанда, құлап жатқан тастың траекториясы, орбитада айналатын спутниктің жолы немесе планета орбитасының пішіні - бәрі де иілген кеңістік-уақыттағы геодезиялар. Жалпы алғанда, субриман геометриясы нысандардың еркін болмаған кезде алатын жолдармен және олардың қозғалысының түрлі жолдармен шектелуімен айналысады. Бұл мақалада Риман көптүрліліктері жағдайында геодезияны анықтау, табу және оның болуын дәлелдеуге қатысты математикалық формализм ұсынылады. Levi-Civita байланысы мақаласында псевдо-Риман көптүрлілігінің жалпы жағдайы және геодезиялық (жалпы салыстырмалылық теориясы) жалпы салыстырмалылықтың ерекше жағдайы егжей-тегжейлі қарастырылады.

A locally shortest path between two given points in a curved space, assumed to be a Riemannian manifold, can be defined by using the equation for the length of a curve (a function f from an open interval of R to the space), and then minimizing this length between the points using the calculus of variations. This has some minor technical problems because there is an infinite dimensional space of different ways to parameterize the shortest path. It is simpler to restrict the set of curves to those that are parameterized "with constant speed" 1, meaning that the distance from f(s) to f(t) along the curve equals |s−t|. Equivalently, a different quantity may be used, termed the energy of the curve; minimizing the energy leads to the same equations for a geodesic (here "constant velocity" is a consequence of minimization). Intuitively, one can understand this second formulation by noting that an elastic band stretched between two points will contract its width, and in so doing will minimize its energy. The resulting shape of the band is a geodesic. It is possible that several different curves between two points minimize the distance, as is the case for two diametrically opposite points on a sphere. In such a case, any of these curves is a geodesic. A contiguous segment of a geodesic is again a geodesic. In general, geodesics are not the same as "shortest curves" between two points, though the two concepts are closely related. The difference is that geodesics are only locally the shortest distance between points, and are parameterized with "constant speed". Going the "long way round" on a great circle between two points on a sphere is a geodesic but not the shortest path between the points. The map from the unit interval on the real number line to itself gives the shortest path between 0 and 1, but is not a geodesic because the velocity of the corresponding motion of a point is not constant. Geodesics are commonly seen in the study of Riemannian geometry and more generally metric geometry. In general relativity, geodesics in spacetime describe the motion of point particles under the influence of gravity alone. In particular, the path taken by a falling rock, an orbiting satellite, or the shape of a planetary orbit are all geodesics in curved spacetime. More generally, the topic of sub Riemannian geometry deals with the paths that objects may take when they are not free, and their movement is constrained in various ways. This article presents the mathematical formalism involved in defining, finding, and proving the existence of geodesics, in the case of Riemannian manifolds. The article Levi Civita connection discusses the more general case of a pseudo Riemannian manifold and geodesic (general relativity) discusses the special case of general relativity in greater detail.

Мысалдар

Ең танымал мысалдар — Евклид геометриясындағы түзу сызықтар. Сферадағы геодезиялықтардың бейнелері — үлкен шеңберлер. Сферадағы А нүктесінен В нүктесіне дейінгі ең қысқа жол А мен В нүктелерінен өтетін үлкен шеңбердің ең қысқа доғасымен анықталады. Егер А және В антиподальді нүктелер болса, онда олардың арасында шексіз көп ең қысқа жол болады. Эллипсоидтағы геодезиялықтар сферадағыдан гөрі күрделірек болып келеді; атап айтқанда, олар әдетте жабық болмайды (суретті қараңыз).

Үшбұрыш

Геодезиялық үшбұрыш – берілген беттегі үш нүктенің әрбір жұбын қосатын геодезиялық сызықтармен құралады. Сферада геодезиялық сызықтар – үлкен шеңбер доғалары болып табылады, олар сфералық үшбұрыш құрайды.

Метрлік геометрия

Метрикалық геометрияда геодезиялық – кез келген жердегі жергілікті қашықтықты ең аз ететін қисық сызық. Нақтырақ айтқанда, нақты сандардың I аралығынан M метрикалық кеңістігіне дейінгі γ: I → M қисығы, егер v ≥ 0 тұрақтысы болса және кез келген t ∈ I үшін t-ның I аралығындағы J көршілігі болса, онда кез келген t1, t2 ∈ J үшін мына теңдік орындалады:

Бұл Римандық көпқырлылықтардағы геодезиялық түсінігін жалпылайды. Дегенмен, метрикалық геометрияда қарастырылатын геодезиялық көбінесе табиғи параметрлеумен жабдықталады, яғни жоғарыдағы теңдікте v = 1 және егер соңғы теңдік I аралығындағы барлық t1, t2 үшін орындалса, онда геодезиялық азайту геодезиясы немесе ең қысқа жол деп аталады. Жалпы алғанда, метрикалық кеңістікте тұрақты қисықтардан басқа геодезиялықтар болмауы мүмкін. Керісінше, ұзындық метрикалық кеңістіктегі кез келген екі нүкте, түзетілетін жолдардың азайту тізбегімен қосылады, бірақ бұл азайту тізбегі міндетті түрде геодезиялыққа жақындауы қажет емес.

Өзгерістерді есептеу

Энергиялық функционалды E зерттеу үшін классикалық вариациялар есебінің әдістерін қолдануға болады. Энергияның бірінші вариациясы жергілікті координаттарда былай анықталады:

Бірінші вариацияның шеткі нүктелері – нақты геодезиялықтар. Екінші вариация былай анықталады:

Тиісті мағынада, геодезиялық γ бойымен екінші вариацияның нөлдері Якоби өрістері бойымен пайда болады. Сондықтан Якоби өрістері геодезиялықтар арқылы жасалатын өзгерістер ретінде қарастырылады. Классикалық механикадан вариациялық әдістерді қолдану арқылы геодезиялықтарды Гамильтон ағындары ретінде де қарастыруға болады. Олар (псевдо) Риманн метрикасы Гамильтониан ретінде алынған, байланысты Гамильтон теңдеулерінің шешімдері болып табылады.