Введение

В римановой геометрии геодезическая кривизна кривой измеряет, насколько кривая отклоняется от геодезической. Например, для одномерных кривых на двумерной поверхности, встроенной в трехмерное пространство, это кривизна кривой, спроецированная на касательную плоскость поверхности. В более общем случае, в заданном многообразии геодезическая кривизна является обычной кривизной (см. ниже). Однако, когда кривая ограничена лежать на подмногообразии , геодезическая кривизна относится к кривизне кривой в этом подмногообразии и, как правило, отличается от кривизны кривой в окружающем многообразии . (Окружающая) кривизна кривой зависит от двух факторов: кривизна подмногообразия в направлении кривой (нормальная кривизна), которая зависит только от направления кривой, и геодезическая кривизна, которая является величиной второго порядка. Связь между ними такова: . В частности, геодезические на имеют нулевую геодезическую кривизну (они "прямые"), поэтому , что объясняет, почему они кажутся изогнутыми в окружающем пространстве, когда подмногообразие само изогнуто.

Определение

Рассмотрим кривую в многообразии , параметризованную длиной дуги, с единичным касательным вектором. Её кривизна — это норма ковариантной производной: . Если кривая лежит на , то геодезическая кривизна — это норма проекции ковариантной производной на касательное пространство к подмногообразию. Соответственно, нормальная кривизна — это норма проекции на нормальное расслоение к подмногообразию в рассматриваемой точке. Если окружающее многообразие — евклидово пространство , то ковариантная производная совпадает с обычной производной. Если кривая имеет единичную скорость, то есть , и обозначает единичное нормальное поле вдоль , то геодезическая кривизна задается формулой

где квадратные скобки обозначают смешанное произведение.

Пример

Пусть это будет единичная сфера в трехмерном евклидовом пространстве. Нормальная кривизна сферы тождественно равна 1, независимо от рассматриваемого направления. Великие круги имеют кривизну 1, поэтому у них нулевая геодезическая кривизна, и, следовательно, они являются геодезическими. Меньшие круги радиуса *r* будут иметь кривизну 1/*r* и геодезическую кривизну 1/*r*.

Некоторые результаты, связанные с геодезической кривизной

Геодезическая кривизна – это не что иное, как обычная кривизна кривой, вычисленная внутренним образом на подмногообразии. Она не зависит от способа расположения подмногообразия в окружающем пространстве. Геодезические на подмногообразии имеют нулевую геодезическую кривизну, что эквивалентно утверждению об ортогональности к касательному пространству в данной точке. С другой стороны, нормальная кривизна сильно зависит от того, как подмногообразие расположено в окружающем пространстве, но слабо зависит от самой кривой: она определяется только точкой на подмногообразии и направлением, но не от выбора кривой. В общей римановой геометрии производная вычисляется с использованием леви-чивитовского связного окружающего многообразия. Она раскладывается на касательную и нормальную компоненты относительно подмногообразия. Касательная компонента является обычной производной на подмногообразии (это частный случай уравнения Гаусса в уравнениях Гаусса-Кодацци), а нормальная компонента – это вторая фундаментальная форма. Теорема Гаусса-Бонне.