Екі өлшемді манифольдтар

Кіріспе

Екі өлшемді көптүрлілік математиканың топология саласында бет – екі өлшемді көптүрлілік болып табылады. Кейбір беттер үш өлшемді денелердің шекаралары ретінде туындайды; мысалы, шар – қатты шардың шекарасы. Басқа беттер екі айнымалы функцияларының графиктері ретінде туындайды; оң жақтағы суретті қараңыз. Дегенмен, беттерді ешқандай кеңістікке сілтеме жасамай, абстрактілі түрде де анықтауға болады. Мысалы, Клейн бөтелкесі – үш өлшемді Евклид кеңістігіне енгізілмейтін бет. Топологиялық беттер кейде қосымша мәліметтермен жабдықталады, мысалы, Риманн метрикасы немесе кешенді құрылым, олар оларды математиканың басқа салаларымен байланыстырады, мысалы, дифференциалдық геометрия және кешенді талдау. Беттің әртүрлі математикалық ұғымдары физикалық әлемдегі беттерді модельдеу үшін қолданылуы мүмкін.

Жалпы алғанда

Математикада бет – деформацияланған жазықтыққа ұқсайтын геометриялық пішін. Ең көп танылатын мысалдар, шарлар сияқты, қарапайым үш өлшемді Евклид кеңістігіндегі R3 қатты денелердің шекаралары болып табылады. Беттің нақты анықтамасы контекстке байланысты өзгеруі мүмкін. Әдетте, алгебралық геометрияда бет өзін-өзі кесіп өтуі (және басқа да ерекшеліктері болуы) мүмкін, ал топология мен дифференциалдық геометрияда мұндай болмайды. Бет – екі өлшемді кеңістік; яғни, беттегі қозғалатын нүкте екі бағытта қозғалуы мүмкін (екі еркіндік дәрежесіне ие). Басқаша айтқанда, дерлік әрбір нүктеде екі өлшемді координаттар жүйесі анықталатын координаттық жапсырма бар. Мысалы, Жер беті (идеалды жағдайда) екі өлшемді шарға ұқсайды, ал ендік және бойлық оның екі өлшемді координаттарын ұсынады (полюстерде және 180-ші меридиан бойындағы жерлерден басқа). Бет түсінігі физика, инженерия, компьютерлік графика және көптеген басқа да салаларда кеңінен қолданылады, әсіресе физикалық объектілердің беттерін бейнелеуде. Мысалы, ұшақтың аэродинамикалық қасиеттерін талдағанда, оның бетімен ауа ағынының қозғалысы ең маңызды фактор болып табылады.

Анықтамалар мен алғашқы мысалдар

(Топологиялық) бет – әрбір нүктесі Евклид жазықтығының E2 ашық подмножествосына гомеоморфты ашық маңайға ие болатын топологиялық кеңістік. Мұндай маңай, сәйкес гомеоморфизммен бірге, (координаттық) диаграмма деп аталады. Осы диаграмма арқылы маңай Евклид жазықтығындағы стандартты координаттарды мұралайды. Бұл координаттар жергілікті координаттар деп аталады, ал осы гомеоморфизмдер беттерді жергілікті Евклидтік деп сипаттауға мүмкіндік береді. Бұл тақырыптағы көптеген жазбаларда, бет топологиялық кеңістік ретінде бос емес, екінші рет санаулы және Хаусдорфтық деп ашық түрде немесе жасырын түрде қабылданады. Сондай-ақ, қарастырылып отырған беттер байланысты деп жиі болжанады. Осы мақаланың қалған бөлігінде, басқаша көрсетілмесе, бет бос емес, Хаусдорфтық, екінші рет санаулы және байланысты деп есептеледі. Жалпы алғанда, шекарасы бар (топологиялық) бет – Хаусдорфтық топологиялық кеңістік, онда әрбір нүктесі C-дегі H2 жоғарғы жарты жазықтығының жабылуының ашық подмножествосына гомеоморфты ашық маңайға ие. Бұл гомеоморфизмдер де (координаттық) диаграммалар деп аталады. Жоғарғы жарты жазықтықтың шекарасы – x осі. Диаграмма арқылы x осіне бейнеленген беттегі нүкте шекаралық нүкте деп аталады. Мұндай нүктелердің жиынтығы беттің шекарасы деп белгіленеді, ол міндетті түрде бірлік емес, яғни жабық қисықтардың біріктірілісі болып табылады. Керісінше, x осінен жоғары бейнеленген нүкте ішкі нүкте болып табылады. Ішкі нүктелердің жиынтығы – беттің ішкі бөлігі, ол әрқашан бос емес. Жабық диск – шекарасы бар беттің қарапайым мысалы. Диск шекарасы – шеңбер. Ешқандай квалификациясыз қолданылатын «бет» термині шекарасы жоқ беттерді білдіреді. Атап айтқанда, бос шекарасы бар бет – әдеттегі мағынадағы бет. Бос шекарасы бар бет, егер ол компакт болса, «жабық» бет деп аталады. Екі өлшемді сфера, екі өлшемді тор және нақты проекциялық жазықтық – жабық беттердің мысалдары. Мёбиус жолағы – сағат тілі бойынша және сағат тіліне қарсы бағыттағы айырмашылықты жергілікті түрде анықтауға болатын, бірақ жаһандық түрде емес бет. Жалпы, егер бетте Мёбиус жолағының гомеоморфты көшірмесі болмаса, ол бағдарланатын болады; интуитивті түрде, оның екі ерекше «жағы» бар. Мысалы, сфера мен тор бағдарланатын, ал нақты проекциялық жазықтық емес (өйткені бір нүктесі алынып тасталған нақты проекциялық жазықтық ашық Мёбиус жолағына гомеоморфты). Дифференциалдық және алгебралық геометрияда беттің топологиясына қосымша құрылым қосылады. Бұл қосымша құрылым тегіс құрылым (бетке және одан карталарды анықтауға мүмкіндік береді), Риман метрикасы (бетте ұзындық пен бұрыштарды анықтауға мүмкіндік береді), кешенді құрылым (бетке және одан голоморфтық карталарды анықтауға мүмкіндік береді – мұндай жағдайда бет Риман беті деп аталады) немесе алгебралық құрылым (өзін-өзі қиылыстар мен тұмсықтар сияқты бірегейліктерді анықтауға мүмкіндік береді, оларды тек негізгі топология тұрғысынан сипаттауға болмайды) болуы мүмкін.

A (topological) surface is a topological space in which every point has an open neighbourhood homeomorphic to some open subset of the Euclidean plane E2. Such a neighborhood, together with the corresponding homeomorphism, is known as a (coordinate) chart. It is through this chart that the neighborhood inherits the standard coordinates on the Euclidean plane. These coordinates are known as local coordinates and these homeomorphisms lead us to describe surfaces as being locally Euclidean. In most writings on the subject, it is often assumed, explicitly or implicitly, that as a topological space a surface is also nonempty, second countable, and Hausdorff. It is also often assumed that the surfaces under consideration are connected. The rest of this article will assume, unless specified otherwise, that a surface is nonempty, Hausdorff, second countable, and connected. More generally, a (topological) surface with boundary is a Hausdorff topological space in which every point has an open neighbourhood homeomorphic to some open subset of the closure of the upper half plane H2 in C. These homeomorphisms are also known as (coordinate) charts. The boundary of the upper half plane is the x axis. A point on the surface mapped via a chart to the x axis is termed a boundary point. The collection of such points is known as the boundary of the surface which is necessarily a one manifold, that is, the union of closed curves. On the other hand, a point mapped to above the x axis is an interior point. The collection of interior points is the interior of the surface which is always non empty. The closed disk is a simple example of a surface with boundary. The boundary of the disc is a circle. The term surface used without qualification refers to surfaces without boundary. In particular, a surface with empty boundary is a surface in the usual sense. A surface with empty boundary which is compact is known as a 'closed' surface. The two dimensional sphere, the two dimensional torus, and the real projective plane are examples of closed surfaces. The Möbius strip is a surface on which the distinction between clockwise and counterclockwise can be defined locally, but not globally. In general, a surface is said to be orientable if it does not contain a homeomorphic copy of the Möbius strip; intuitively, it has two distinct "sides". For example, the sphere and torus are orientable, while the real projective plane is not (because the real projective plane with one point removed is homeomorphic to the open Möbius strip). In differential and algebraic geometry, extra structure is added upon the topology of the surface. This added structure can be a smoothness structure (making it possible to define differentiable maps to and from the surface), a Riemannian metric (making it possible to define length and angles on the surface), a complex structure (making it possible to define holomorphic maps to and from the surface—in which case the surface is called a Riemann surface), or an algebraic structure (making it possible to detect singularities, such as self intersections and cusps, that cannot be described solely in terms of the underlying topology).

Сыртқы жағынан анықталған беттер мен кіріктірілгендер

Тарихи тұрғыдан алғанда, беттер бастапқыда Евклид кеңістігінің кіші кеңістіктері ретінде анықталды. Көбінесе, бұл беттер белгілі бір функциялардың нөлдерінің орнын құрады, әдетте полиномдық функциялардың. Мұндай анықтама бетті үлкен (Евклидтік) кеңістіктің бөлігі ретінде қарастырды және ол экстринсикалық деп аталды. Алдыңғы бөлімде бет, белгілі бір қасиеттері бар топологиялық кеңістік ретінде анықталады, атап айтқанда Хаусдорф және жергілікті Евклидтік. Бұл топологиялық кеңістік басқа кеңістіктің кіші кеңістігі болып саналмайды. Осы мағынада, жоғарыда берілген, яғни қазіргі кезде математиктер қолданатын анықтама – ішкі. Ішкі кеңістік ретінде анықталған бет Евклид кеңістігінің кіші кеңістігі болудың қосымша шартын қанағаттандыруы міндетті емес. Кейбір ішкі анықталған беттердің сыртқы мағынада беттер болмауы мүмкін сияқты. Алайда, Уитнидің ендіру теоремасы, кез келген бетті, шын мәнінде, Евклид кеңістігіне гомеоморфты түрде ендіруге болады дейді, тіпті E4-ке: сыртқы және ішкі тәсілдер эквивалентті болып шығады. Шын мәнінде, кез келген компактты бет, бағытталған немесе шекарасы бар, E3-ке ендірілуі мүмкін; ал, компактты, бағытталмаған және шекарасы жоқ нақты проективті жазықтықты E3-ке ендіруге болмайды (Граменге қараңыз). Штайнер беттері, соның ішінде Бой беті, римдік бет және қиылысқан шапшаны, E3-дегі нақты проективті жазықтықтың үлгілері болып табылады, бірақ тек Бой беті суға батырылған бет болып табылады. Бұл үлгілердің барлығы өздері қиылысатын нүктелерде ерекшеліктерге ие. Александр мүйізді сферасы – екі сфераның үш сфераға патологиялық ендірілуінің белгілі мысалы. Беттің басқа кеңістікке ендірілуі (болған жағдайда) сыртқы ақпарат ретінде қарастырылады; ол беттің өзіне есімді емес. Мысалы, торды E3-ке «стандартты» (бауырсақ тәрізді) немесе түйінді түрде (суретті қараңыз) ендіруге болады. Екі ендірілген тор гомеоморфты, бірақ изотоптық емес: олар топологиялық жағынан эквивалентті, бірақ олардың ендірілулері емес. R2-ден жоғары өлшемді Rn-ге дейінгі үздіксіз, инъекциялық функцияның бейнесі параметрлік бет деп аталады. Мұндай бейне, R2 доменінің x және y бағыттары бейнені параметрлейтін 2 айнымалы болғандықтан осылай аталады. Параметрлік бет міндетті түрде топологиялық бет болуы керек емес. Айналу бетін ерекше параметрлік бет түрі ретінде қарастыруға болады. Егер f – R3-тен R-ге дейінгі тегіс функция болса және оның градиенті еш жерде нөл болмаса, онда f-тің нөлдерінің локусы бетті анықтайды, ол имплицитті бет деп белгілі. Егер жоғалмайтын градиент шарты алынып тасталса, онда нөлдік локуста сингулярлықтар пайда болуы мүмкін.

Historically, surfaces were initially defined as subspaces of Euclidean spaces. Often, these surfaces were the locus of zeros of certain functions, usually polynomial functions. Such a definition considered the surface as part of a larger (Euclidean) space, and as such was termed extrinsic. In the previous section, a surface is defined as a topological space with certain properties, namely Hausdorff and locally Euclidean. This topological space is not considered a subspace of another space. In this sense, the definition given above, which is the definition that mathematicians use at present, is intrinsic. A surface defined as intrinsic is not required to satisfy the added constraint of being a subspace of Euclidean space. It may seem possible for some surfaces defined intrinsically to not be surfaces in the extrinsic sense. However, the Whitney embedding theorem asserts every surface can in fact be embedded homeomorphically into Euclidean space, in fact into E4: The extrinsic and intrinsic approaches turn out to be equivalent. In fact, any compact surface that is either orientable or has a boundary can be embedded in E3; on the other hand, the real projective plane, which is compact, non orientable and without boundary, cannot be embedded into E3 (see Gramain). Steiner surfaces, including Boy's surface, the Roman surface and the cross cap, are models of the real projective plane in E3, but only the Boy surface is an immersed surface. All these models are singular at points where they intersect themselves. The Alexander horned sphere is a well known pathological embedding of the two sphere into the three sphere. The chosen embedding (if any) of a surface into another space is regarded as extrinsic information; it is not essential to the surface itself. For example, a torus can be embedded into E3 in the "standard" manner (which looks like a bagel) or in a knotted manner (see figure). The two embedded tori are homeomorphic, but not isotopic: They are topologically equivalent, but their embeddings are not. The image of a continuous, injective function from R2 to higher dimensional Rn is said to be a parametric surface. Such an image is so called because the x and y directions of the domain R2 are 2 variables that parametrize the image. A parametric surface need not be a topological surface. A surface of revolution can be viewed as a special kind of parametric surface. If f is a smooth function from R3 to R whose gradient is nowhere zero, then the locus of zeros of f does define a surface, known as an implicit surface. If the condition of non vanishing gradient is dropped, then the zero locus may develop singularities.

Байланысты сомалар

M және N екі беттің қосылған қосындысы, M # N деп белгіленеді, олардың әрқайсысынан диск алып тастау және оларды пайда болған шекаралық компоненттер бойымен желімдеу арқылы алынады. Дискі шекарасы шеңбер, сондықтан осы шекара компоненттері шеңберлер болады. M # N-нің Эйлер сипаттамасы – бұл қосылғыштардың Эйлер сипаттамаларының қосындысы, минус екі:

Сфера S – қосылған қосынды үшін сәйкестік элементі, яғни 1 = S # M = M. Бұл сферадан диск алып тастау диск қалдырады, ол жай ғана желімдеу кезінде M-ден алып тасталған дискты алмастырады. Торус T-мен қосылған қосынды басқа қосылғыш M-ге "қолсау" қосу ретінде сипатталады. Егер M бағдарланатын болса, онда T # M да бағдарланатын болады. Қосылған қосынды ассоциативті, сондықтан шекті беттер жиынтығының қосылған қосындысы дұрыс анықталған. Екі нақты проективті жазықтықтың қосылған қосындысы, P # P, Клейн бөтелкесі K болып табылады. Нақты проективті жазықтық пен Клейн бөтелкесінің қосылған қосындысы нақты проективті жазықтық пен торуспен қосылған қосындыға гомеоморфты; формула бойынша 1 = P # K = P # T. Осылайша, үш нақты проективті жазықтықтың қосылған қосындысы нақты проективті жазықтық пен торуспен қосылған қосындыға гомеоморфты. Нақты проективті жазықтықты қамтитын кез келген қосылған қосынды бағытталмайды.

Жабық беттер

Жабық бет – тығыз және шекарасы жоқ бет. Жабық беттердің мысалдарына сфера, тор және Клейн бөтелкесі жатады. Жабық емес беттердің мысалдары: ашық диск (бұл тесігі бар сфера), цилиндр (бұл екі тесігі бар сфера) және Мёбиус жолағы. Егер және тек қана үш өлшемді кеңістікте орналасқан бет қатты дене шекарасы болса, ол жабық болады. Кез келген жабық көптұғыр сияқты, Евклид кеңістігінде мұрагерлік Евклид топологиясына қатысты жабық орналасқан бет міндетті түрде жабық бет емес; мысалы, шекарасы бар және оған енген диск топологиялық тұрғыдан жабық, бірақ жабық бет емес.

Моноидты құрылым

Бұл сыныптаманы жалғасқан сомалармен байланыстыра отырып, гомеоморфизмге дейін жабық беттер жалғасқан сома операциясы бойынша коммутативті моноид құрайды, дәл сол сияқты кез келген белгілі өлшемдегі көпқырлылар да. Сфера – бұл моноидтың нейтраль элементі, ал нақты проективті жазықтық және тор осы моноидты генерациялайды, 1=P # P # P = P # T қатынасымен, оны 1=P # K = P # T түрінде де жазуға болады, себебі 1=K = P # P. Бұл қатынас кейде оны дәлелдеген Уолтер фон Дик атымен Дик теоремасы деп аталады, ал үштік қиылысқан бет P # P # P сәйкесінше Дик беті деп аталады. Бүгінде оның көптеген дәлелдері бар. Топологиялық және комбинаторлық дәлелдер көбінесе әрбір 2-өлшемді тығыз көпқырлының симплициалды кешенге гомеоморфты екендігі туралы қиын нәтижеге сүйенеді, бұл өз алдына қызығушылық тудырады. Классификацияның ең көп таралған дәлелі: , Бұл классификация жабық беттердің классификациясынан тікелей туындайды: жабық беттен ашық дисктерді алып тастау шекара компоненті ретінде шеңбері бар тығыз бетті береді, ал k ашық дисктерді алып тастау k ажыратылмаған шеңберлері бар тығыз бетті береді. Саңылаулардың нақты орналасуы маңызды емес, өйткені гомеоморфизм тобы кемінде 2 өлшемді кез келген байланысты көпқырлыға k-транзитивті әрекет етеді. Керісінше, тығыз беттің шекарасы жабық 1-көпқырлы болып табылады, сондықтан ол шекті сандағы шеңберлердің ажыратылмаған жиыны болып табылады; осы шеңберлерді дисктермен толтыру (формальды түрде конус жасау) жабық бетті береді. g түрінде және k шекаралық компоненттері бар бірегей тығыз бағдарланатын бет, мысалы, карталау класы тобын зерттеуде жиі белгіленеді.

Жаттықталмаған беттер

Қалың емес беттерді жіктеу қиынырақ. Мысал ретінде, тығыз емес бетті жабық коллекторды тесу арқылы (шектеулі мөлшерде нүктелерді алып тастау арқылы) алуға болады. Екінші жағынан, тығыз беттің кез келген ашық ішкі жиыны өзі тығыз емес бет болады; мысалы, сферадағы Кантор жиынының толықтыруын қарастырайық, ол Кантор ағашы беті деп те аталады. Дегенмен, әр тығыз емес бет тығыз беттің ішкі жиыны бола бермейді; екі классикалық қарсы мысал – Якобтың баспалдағы мен Лох-Несс монстры, олар шексіз туысты тығыз емес беттер. Тығыз емес бет M, E(M) бос емес шеттер кеңістігіне ие, ол беттің «шексіздікке қарай қалай кететінін» бейресми түрде сипаттайды. E(M) кеңістігі әрқашан Кантор жиынының жабық ішкі кеңістігіне топологиялық түрде эквивалентті болады. M шекті немесе санаулы шексіз сандағы тұтқаларға (Nh) және сондай-ақ шекті немесе санаулы шексіз сандағы проективті жазықтықтарға (Np) ие болуы мүмкін. Егер Nh және Np екеуі де шекті болса, онда осы екі сан мен шеттер кеңістігінің топологиялық түрі M бетін топологиялық эквиваленттілікке дейін жіктейді. Егер Nh және Np-нің біреуі немесе екеуі де шексіз болса, онда M-нің топологиялық түрі тек осы екі санға ғана емес, сонымен қатар шексіздікке қарай жақындау жолына да байланысты. Жалпы, M-нің топологиялық түрі E(M) кеңістігіндегі төрт ішкі кеңістіктермен анықталады: шексіз көп тұтқалар мен шексіз көп проективті жазықтықтардың лимит нүктелері, тек тұтқалардың лимит нүктелері, тек проективті жазықтықтардың лимит нүктелері және олардың ешқайсысының лимит нүктелері емес.

Екінші жауапкершілікті қабылдау

Егер бет анықтамасынан екінші санауға болатындығы туралы болжамды алып тастасақ, онда (қажетті түрде шексіз емес) топологиялық беттер бар, олардың топологиясы үшін санауға болатын база жоқ. Ең қарапайым мысал – нақты сандар кеңістігімен ұзын түзудің декарт көбейтіндісі. Топологиясы үшін санауға болатын базасы жоқ, бірақ оның бар екенін дәлелдеу үшін таңдау аксиомасы қажет емес, басқа бір бет – Прюфер көптігі, оны нақты аналитикалық бет екенін көрсететін қарапайым теңдеулермен сипаттауға болады. Прюфер көптігін жоғарғы жарты жазықтық деп қарастыруға болады, және әрбір нақты x үшін (x,0) нүктесінің тікелей астында бір қосымша "тілше" Tx төңкеріліп тұрады. 1925 жылы Тибор Радо барлық Риман беттерінің (яғни бір өлшемді кешенді көптүрліліктердің) міндетті түрде екінші рет санауға болатындығын дәлелдеді (Радо теоремасы). Керісінше, егер Прюфер бетін құрастырудағы нақты сандарды кешенді сандармен алмастырсақ, онда санауға болатын базасы жоқ екі өлшемді кешенді көптүрлілік (ол міндетті түрде 4 өлшемді нақты көптүрлілік) пайда болады.

Геометриялық беттер

Көпбұрыштар, мысалы, кубтың шекарасы геометрияда кездесетін алғашқы беттердің бірі болып табылады. Тегіс беттерді анықтау да мүмкін, онда әрбір нүктеде E2 ашық жиынына диффеоморфты болатын маңай бар. Бұл мүмкіндік беттерге қатысты есептеулерді қолданып, көптеген нәтижелерді дәлелдеуге жол береді. Екі тегіс бет тек қана гомеоморфты болса ғана диффеоморфты болады. (Бұл сияқты нәтиже жоғары өлшемді коллекторлар үшін орындалмайды.) Осылайша, жабық беттер олардың Эйлер сипаттамасы және бағытталғандығы бойынша диффеоморфизмге дейін жіктеледі. Риман метрикасымен жабдықталған тегіс беттер дифференциалдық геометриядағы маңызды негізгі ұғым болып табылады. Риман метрикасы бетке геодезиялық, қашықтық, бұрыш және аудан туралы түсініктерді береді. Сонымен қатар, ол Гаусс қисықтығын тудырады, ол беттің әрбір нүктеде қаншалықты қисық немесе иілгенін сипаттайды. Қисықтық – беттің жалпы диффеоморфизмімен сақталмайтын қатаң геометриялық қасиет. Дегенмен, жабық беттерге арналған атақты Гаусс-Бонне теоремасы, бүкіл S беті бойынша Гаусс қисықтығы K интегралының Эйлер сипаттамасымен анықталатынын көрсетеді: Бұл нәтиже беттердің геометриясы мен топологиясы арасындағы терең байланысты көрсетеді (және, шамалы дәрежеде, жоғары өлшемді коллекторлар үшін де). Геометрияда беттердің пайда болуының тағы бір жолы – күрделі доменге өту. Күрделі бірлік – тегіс бағытталған бет, сонымен қатар Риман беті деп те аталады. Кез келген күрделі сингуляр емес алгебралық қисық күрделі коллектор ретінде қарастырылса, Риман беті болып табылады. Шындығында, кез келген компактты бағытталған бетті Риман беті ретінде жүзеге асыруға болады. Осылайша, компактты Риман беттері топологиялық тұрғыдан олардың роды арқылы сипатталады: 0, 1, 2, … Ал, керісінше, роды күрделі құрылымды толық анықтамайды. Мысалы, 1 роды бар (эллиптік қисықтар) санаусыз көп изоморфты емес компактты Риман беттері бар. Жабық бағытталған беттегі күрделі құрылымдар беттегі Риман метрикаларының конформдық эквиваленттілік кластарына сәйкес келеді. Біркелкілік теоремасының бір түрі (Поанкареге байланысты), бағытталған, жабық беттегі кез келген Риман метрикасы тұрақты қисықтығы бар дерлік бірегей метрикаға конформдық түрде эквивалентті екенін айтады. Бұл Тейхмюллер теориясына қатысты тәсілдердің бірі үшін бастапқы нүкте болып табылады, ол Эйлер сипаттамасымен ғана емес, Риман беттерін одан да жіктеуге мүмкіндік береді. Күрделі бет – күрделі екілік коллектор, демек, нақты төрттік коллектор; ол осы мақаланың мағынасында бет емес. Сондай-ақ, күрделі сандардан басқа өрістерде анықталған алгебралық қисықтар, немесе нақты сандардан басқа өрістерде анықталған алгебралық беттер де емес.

Polyhedra, such as the boundary of a cube, are among the first surfaces encountered in geometry. It is also possible to define smooth surfaces, in which each point has a neighborhood diffeomorphic to some open set in E2. This elaboration allows calculus to be applied to surfaces to prove many results. Two smooth surfaces are diffeomorphic if and only if they are homeomorphic. (The analogous result does not hold for higher dimensional manifolds.) Thus closed surfaces are classified up to diffeomorphism by their Euler characteristic and orientability. Smooth surfaces equipped with Riemannian metrics are of foundational importance in differential geometry. A Riemannian metric endows a surface with notions of geodesic, distance, angle, and area. It also gives rise to Gaussian curvature, which describes how curved or bent the surface is at each point. Curvature is a rigid, geometric property, in that it is not preserved by general diffeomorphisms of the surface. However, the famous Gauss–Bonnet theorem for closed surfaces states that the integral of the Gaussian curvature K over the entire surface S is determined by the Euler characteristic:

This result exemplifies the deep relationship between the geometry and topology of surfaces (and, to a lesser extent, higher dimensional manifolds). Another way in which surfaces arise in geometry is by passing into the complex domain. A complex one manifold is a smooth oriented surface, also called a Riemann surface. Any complex nonsingular algebraic curve viewed as a complex manifold is a Riemann surface. In fact, every compact orientable surface is realizable as a Riemann surface. Thus compact Riemann surfaces are characterized topologically by their genus: 0, 1, 2, On the other hand, the genus does not characterize the complex structure. For example, there are uncountably many non isomorphic compact Riemann surfaces of genus 1 (the elliptic curves). Complex structures on a closed oriented surface correspond to conformal equivalence classes of Riemannian metrics on the surface. One version of the uniformization theorem (due to Poincaré) states that any Riemannian metric on an oriented, closed surface is conformally equivalent to an essentially unique metric of constant curvature. This provides a starting point for one of the approaches to Teichmüller theory, which provides a finer classification of Riemann surfaces than the topological one by Euler characteristic alone. A complex surface is a complex two manifold and thus a real four manifold; it is not a surface in the sense of this article. Neither are algebraic curves defined over fields other than the complex numbers,
nor are algebraic surfaces defined over fields other than the real numbers.