Кіріспе
Әр Риманн көптүрлілігі белгілі бір Евклид кеңістігіне изометриялық түрде енгізілуі мүмкін. Джон Форбс Нэш кішісінің есімімен аталған Нэштің енгізу теоремалары (немесе енгізу теоремалары) әр Риманн көптүрлілігінің белгілі бір Евклид кеңістігіне изометриялық түрде енгізілуін көрсетеді. Изометриялық – дегеніміз, кез келген жолдың ұзындығын сақтау. Мысалы, қағаз бетін созу немесе жырту емес, тек бүгілу арқылы, беттің Евклид кеңістігіне изометриялық енгізілуін қамтамасыз етуге болады, себебі бетке салынған қисықтар бет бүгілгеніне қарамастан, бірдей доға ұзындығын сақтайды. Бірінші теорема үздіксіз дифференциалданатын (C1) енгізулер үшін, ал екіншісі – Ck, 3 ≤ k ≤ ∞ класындағы аналитикалық немесе тегіс енгізулер үшін жарамды. Бұл екі теорема бір-бірінен мүлдем өзгеше. Бірінші теореманың өте қарапайым дәлелі бар, бірақ ол кейбір интуицияға қарсы қорытындыларға әкеледі, ал екінші теореманың дәлелі техникалық және интуицияға қарсы болғанымен, көңіл көншітпейтін нәтиже береді. C1 теоремасы 1954 жылы, ал Ck теоремасы 1956 жылы жарияланды. Нақты аналитикалық теореманы алғаш рет 1966 жылы Нэш қарастырды; оның аргументі айтарлықтай жеңілдетілді (Осы нәтиженің жергілікті нұсқасын 1920 жылдары Эли Картан мен Морис Джанет дәлелдеді). Нақты аналитикалық жағдайда, Нэш кері функциясының аргументіндегі тегістеу операторларын Коши бағалауларымен алмастыруға болады. Нэштің Ck жағдайындағы дәлелі кейін h принципіне және Нэш-Мозердің имплицитті функция теоремасына көшірілді. Екінші Нэш енгізу теоремасының қарапайым дәлелін [автор аты] тапты, ол сызықты емес дербес дифференциалдық теңдеулер жиынтығын эллиптикалық жүйеге дейін қысқартты, оған ықшамдау карталау теоремасын қолдануға болады.
The Nash embedding theorems (or imbedding theorems), named after John Forbes Nash Jr., state that every Riemannian manifold can be isometrically embedded into some Euclidean space. Isometric means preserving the length of every path. For instance, bending but neither stretching nor tearing a page of paper gives an isometric embedding of the page into Euclidean space because curves drawn on the page retain the same arclength however the page is bent. The first theorem is for continuously differentiable (C1) embeddings and the second for embeddings that are analytic or smooth of class Ck, 3 ≤ k ≤ ∞. These two theorems are very different from each other. The first theorem has a very simple proof but leads to some counterintuitive conclusions, while the second theorem has a technical and counterintuitive proof but leads to a less surprising result. The C1 theorem was published in 1954, the Ck theorem in 1956. The real analytic theorem was first treated by Nash in 1966; his argument was simplified considerably by (A local version of this result was proved by Élie Cartan and Maurice Janet in the 1920s.) In the real analytic case, the smoothing operators (see below) in the Nash inverse function argument can be replaced by Cauchy estimates. Nash's proof of the Ck case was later extrapolated into the h principle and Nash–Moser implicit function theorem. A simpler proof of the second Nash embedding theorem was obtained by who reduced the set of nonlinear partial differential equations to an elliptic system, to which the contraction mapping theorem could be applied.
Нэш-Куйпер теоремасы (қосылған теоремасы)
m өлшемді Риман көптүрлілігі (M, g) берілген жағдайда, изометриялық ендіру – үздіксіз дифференциалданатын топологиялық ендіру f: M → ℝ^(n), мұндағы Евклид метрикасының кері тартылуы g-ге тең. Анализдік тұрғыдан алғанда, бұл (тегіс координаттар диаграммасына қатысты x) n белгісіз (нақты мәнді) функциялар үшін көптеген бірінші реттік дербес дифференциалдық теңдеулер жүйесі ретінде қарастырылуы мүмкін: Егер n саны m-ден кем болса, онда белгісіздер санынан гөрі теңдеулер саны көп болады. Осы тұрғыдан алғанда, келесі теоремамен берілген изометриялық ендірулердің болуы таң қалдырады. Нэш–Куйпер теоремасы. (M, g) m өлшемді Риман көптүрлілігі болсын және f: M → ℝ^(n) – Евклид кеңістігіне қысқа тегіс ендіру (немесе батыру), мұндағы n ≥ m + 1. Бұл бейнелеудің изометриялық болуы міндетті емес. Онда g-нің үздіксіз дифференциалданатын изометриялық ендірулері (немесе батырулары) M → ℝ^(n) табылады, олар біркелкі f-ке жуықтасады. Теореманы бастапқыда Джон Нэш n ≥ m + 2 күшейтілген шартпен дәлелдеді. Оның әдісін Николас Куйпер жоғарыда аталған теореманы алу үшін өзгертті. Нэш–Куйпер теоремасымен жасалған изометриялық ендірулер көбінесе интуицияға қайшы және патологиялық болып саналады. Олар көбінесе тегіс дифференциалданатын болмайды. Мысалы, Дэвид Гильберттің белгілі теоремасы гиперболалық жазықтықты ℝ^(3) кеңістігіне тегіс изометриялық түрде батыру мүмкін емес екенін көрсетеді. Кез келген теріс скалярлық қисықтығы бар Айнштейн көптүрлігі гипербет ретінде тегіс изометриялық түрде батырыла алмайды, ал Шиң Шен Черн мен Куйпердің теоремасы тіпті оң емес қималық қисықтығы бар кез келген жабық m өлшемді көптүрлікті ℝ^(2m – 1) кеңістігіне тегіс изометриялық түрде батыру мүмкін емес екенін айтады. Сонымен қатар, кейбір тегіс изометриялық ендірулер қаттылық құбылыстарын көрсетеді, олар Нэш–Куйпер теоремасындағы f-тің негізінен шектеусіз таңдауымен бұзылады. Мысалы, дөңгелек сфераның кез келген тегіс изометриялық гипербеттік батыруының бейнесі өзі дөңгелек сфера болуы керек. Керісінше, Нэш–Куйпер теоремасы шардың үздіксіз дифференциалданатын изометриялық гипербеттік батыруларының болуын қамтамасыз етеді, олар шардың топологиялық ендіруіне (мысалы) шағын эллипсоид ретінде кездейсоқ жақын болады. Кез келген жабық және бағдарланған екі өлшемді көптүрліні ℝ^(3) кеңістігіне тегіс ендіруге болады. Кез келген осындай ендіру беттегі кез келген берілген Риман метрикасына қатысты қысқа болу үшін кез келген кішкентай тұрақтымен масштабталуы мүмкін. Нэш–Куйпер теоремасынан белгілі болғандай, кез келген Риман бетінде, егер оны қоршап тұрған шардың радиусы кездейсоқ шағын болса, үздіксіз дифференциалданатын изометриялық ендірулер болады. Керісінше, теріс иілген жабық бетті ℝ^(3) кеңістігіне тегіс изометриялық түрде ендіруге болмайды. Сонымен қатар, кез келген тегіс (немесе тіпті C^(2)) изометриялық ендіру үшін кез келген жабық Риман беті үшін, ендірілген метриканың бетінің ауданы мен қисықтығы тұрғысынан шектелген шардың радиусында сандық (оң) төменгі шек бар. Жоғары өлшемде, Уитнидің ендіру теоремасынан көрініп тұрғандай, Нэш–Куйпер теоремасы кез келген жабық m өлшемді Риман көптүрлігінің 2m өлшемді Евклид кеңістігінде кез келген шағын аймақта үздіксіз дифференциалданатын изометриялық ендіруге ие екенін көрсетеді. Уитни теоремасы компакт емес көптүрліліктерге де қатысты болса да, мұндай ендірулерді қысқа болу үшін кішкентай тұрақтымен жай ғана масштабтауға болмайды. Нэш әр m өлшемді Риман көптүрлігінің ℝ^(2m + 1) кеңістігіне үздіксіз дифференциалданатын изометриялық ендіруге ие екенін дәлелдеді. Нэштің жұмысы кезінде оның теоремасы математикалық қызығушылық тудырды. Нәтижесінің өзі үлкен қолданыс тапқан жоқ. Алайда, Нэштің дәлелдеу әдісін Камилло Де Леллис пен Ласло Секелихиди сұйықтық механикасының математикалық зерттеуінен Эйлер теңдеулерінің белгіленген кинетикалық энергиясы бар төменгі тұрақтылықтағы шешімдерін құру үшін бейімдеді. Анализдік тұрғыдан алғанда, Эйлер теңдеулері белгісіз функцияның бірінші туындыларындағы квадраттық сызықтықсыздық арқылы изометриялық ендіру теңдеулеріне формальды ұқсастығы бар. Наштың дәлелінің идеяларын Михаил Громов конвекс интеграция принципіне сәйкес h принципімен абстракциялады. Бұл Стефан Мюллер мен Владимир Шверак Гильберттің он тоғызыншы проблемасына қолданды, вариациялар калькулісінде минималды дифференциалдануды азайтушыларды құрды.
If n is less than , then there are more equations than unknowns. From this perspective, the existence of isometric embeddings given by the following theorem is considered surprising. Nash–Kuiper theorem. Let (M, g) be an m dimensional Riemannian manifold and f: M → ℝ^(n) a short smooth embedding (or immersion) into Euclidean space ℝ^(n), where n ≥ m + 1. This map is not required to be isometric. Then there is a sequence of continuously differentiable isometric embeddings (or immersions) M → ℝ^(n) of g which converge uniformly to f.
The theorem was originally proved by John Nash with the stronger assumption n ≥ m + 2. His method was modified by Nicolaas Kuiper to obtain the theorem above. The isometric embeddings produced by the Nash–Kuiper theorem are often considered counterintuitive and pathological. They often fail to be smoothly differentiable. For example, a well known theorem of David Hilbert asserts that the hyperbolic plane cannot be smoothly isometrically immersed into ℝ^(3). Any Einstein manifold of negative scalar curvature cannot be smoothly isometrically immersed as a hypersurface, and a theorem of Shiing Shen Chern and Kuiper even says that any closed m dimensional manifold of nonpositive sectional curvature cannot be smoothly isometrically immersed in ℝ^(2m – 1). Furthermore, some smooth isometric embeddings exhibit rigidity phenomena which are violated by the largely unrestricted choice of f in the Nash–Kuiper theorem. For example, the image of any smooth isometric hypersurface immersion of the round sphere must itself be a round sphere. By contrast, the Nash–Kuiper theorem ensures the existence of continuously differentiable isometric hypersurface immersions of the round sphere which are arbitrarily close to (for instance) a topological embedding of the sphere as a small ellipsoid. Any closed and oriented two dimensional manifold can be smoothly embedded in ℝ^(3). Any such embedding can be scaled by an arbitrarily small constant so as to become short, relative to any given Riemannian metric on the surface. It follows from the Nash–Kuiper theorem that there are continuously differentiable isometric embeddings of any such Riemannian surface where the radius of a circumscribed ball is arbitrarily small. By contrast, no negatively curved closed surface can even be smoothly isometrically embedded in ℝ^(3). Moreover, for any smooth (or even C^(2)) isometric embedding of an arbitrary closed Riemannian surface, there is a quantitative (positive) lower bound on the radius of a circumscribed ball in terms of the surface area and curvature of the embedded metric. In higher dimension, as follows from the Whitney embedding theorem, the Nash–Kuiper theorem shows that any closed m dimensional Riemannian manifold admits an continuously differentiable isometric embedding into an arbitrarily small neighborhood in 2m dimensional Euclidean space. Although Whitney's theorem also applies to noncompact manifolds, such embeddings cannot simply be scaled by a small constant so as to become short. Nash proved that every m dimensional Riemannian manifold admits a continuously differentiable isometric embedding into ℝ^(2m + 1). At the time of Nash's work, his theorem was considered to be something of a mathematical curiosity. The result itself has not found major applications. However, Nash's method of proof was adapted by Camillo De Lellis and László Székelyhidi to construct low regularity solutions, with prescribed kinetic energy, of the Euler equations from the mathematical study of fluid mechanics. In analytical terms, the Euler equations have a formal similarity to the isometric embedding equations, via the quadratic nonlinearity in the first derivatives of the unknown function. The ideas of Nash's proof were abstracted by Mikhael Gromov to the principle of convex integration, with a corresponding h principle. This was applied by Stefan Müller and Vladimír Šverák to Hilbert's nineteenth problem, constructing minimizers of minimal differentiability in the calculus of variations.
Ck теоремасын ендіру
Нэштің түпнұсқалық мақаласында келтірілген техникалық тұжырымдама былай: егер M – берілген m өлшемді Римандық көпқырлылық болса (аналитикалық немесе Ck класы, 3 ≤ k ≤ ∞), онда n саны бар (n ≤ m(3m+11)/2 егер M компактты көпқырлылық болса, және n ≤ m(m+1)(3m+11)/2 егер M компактты емес көпқырлылық болса) және ƒ: M → Rn изометриялық енгізуі бар (сондай-ақ аналитикалық немесе Ck класы). Яғни, ƒ – Ck көпқырлылықтарының енгізілуі және M-нің кез келген p нүктесі үшін dƒp туындысы TpM жанама кеңістігінен Rn-ге дейінгі сызықтық түрлендіру болып табылады, ол TpM-дегі берілген ішкі көбейтумен және Rn-нің стандартты скалярлық көбейтуімен келесі мағынада сәйкес келеді: TpM-дегі барлық u және v векторлары үшін. Егер n мәні үлкен болса, онда бұл – ішінара дифференциалдық теңдеулердің (PDE) шешімі жоқ жүйесі. Нэш енгізу теоремасы – жаһандық теорема, себебі бүкіл көпқырлылық Rn-ге енгізіледі. Жергілікті енгізу теоремасы әлдеқайда қарапайым және оны жоғары дәрежелі математиканың жасырын функция теоремасын қолдану арқылы көпқырлылықтың координаталық аймағында дәлелдеуге болады. Жаһандық енгізу теоремасының дәлелі изометриялық енгізулер үшін Нэштің жасырын функция теоремасына негізделген. Бұл теорема басқа авторлар тарапынан абстрактілі контекстерде жалпыландырылды, онда ол Нэш-Мозер теоремасы ретінде белгілі. Нэштің жасырын функция теоремасын дәлелдеудегі негізгі идея – Ньютон әдісін қолдану. Стандартты Ньютон әдісі жүйеге қолданылғанда конвергенцияланбайды; Нэш Ньютон итерациясын конвергенцияға жеткізу үшін конволюциямен анықталған тегістеу операторларын қолданады: бұл – посткондицияланған Ньютон әдісі. Бұл техника шешім табу фактісі өзінің болмысы туралы теорема болып табылады және тәуелсіз қызығушылық тудырады. Басқа контекстерде стандартты Ньютон әдісінің конвергенциясы Леонид Канторович бұрын дәлелдеген.
for all vectors u, v in TpM. When n is larger than , this is an underdetermined system of partial differential equations (PDEs). The Nash embedding theorem is a global theorem in the sense that the whole manifold is embedded into Rn. A local embedding theorem is much simpler and can be proved using the implicit function theorem of advanced calculus in a coordinate neighborhood of the manifold. The proof of the global embedding theorem relies on Nash's implicit function theorem for isometric embeddings. This theorem has been generalized by a number of other authors to abstract contexts, where it is known as Nash–Moser theorem. The basic idea in the proof of Nash's implicit function theorem is the use of Newton's method to construct solutions. The standard Newton's method fails to converge when applied to the system; Nash uses smoothing operators defined by convolution to make the Newton iteration converge: this is Newton's method with postconditioning. The fact that this technique furnishes a solution is in itself an existence theorem and of independent interest. In other contexts, the convergence of the standard Newton's method had earlier been proved by Leonid Kantorovitch.