Кіріспе
Дифференциалдық геометриядағы теорема. Дифференциалдық геометрия математикалық саласында Гаусс-Бонне теоремасы (немесе Гаусс-Бонне формуласы) – беттің қисықтығын оның негізгі топологиясына байланыстыратын маңызды формула. Ең қарапайым мысалда, яғни жазықтықтағы үшбұрыш үшін, оның бұрыштарының қосындысы 180 градусқа тең. Гаусс-Бонне теоремасы осы қағиданы күрделі пішіндерге және қисық беттерге кеңейтеді, жергілікті және жаһандық геометрияны байланыстырады. Теорема авторы – Карл Фридрих Гаусс, ол теореманың нұсқасын жасаған, бірақ оны жарияламаған, сондай-ақ Пьер Оссиан Бонне, ол 1848 жылы оның ерекше жағдайын жариялаған.
In the mathematical field of differential geometry, the Gauss–Bonnet theorem (or Gauss–Bonnet formula) is a fundamental formula which links the curvature of a surface to its underlying topology. In the simplest application, the case of a triangle on a plane, the sum of its angles is 180 degrees. The Gauss–Bonnet theorem extends this to more complicated shapes and curved surfaces, connecting the local and global geometries. The theorem is named after Carl Friedrich Gauss, who developed a version but never published it, and Pierre Ossian Bonnet, who published a special case in 1848.
Ерекше жағдайлар
Бұрынғы ғасырларда ашылған сфералық геометрия мен гиперболалық геометрияның көптеген нәтижелері Гаусс-Боннет теоремасының ерекше жағдайлары болып есептелді.
Үшбұрыш
Сфералық тригонометрияда және гиперболалық тригонометрияда үшбұрыштың ауданы оның ішкі бұрыштарының 180°-қа жетпеуіне пропорционалды, немесе балама ретінде оның сыртқы бұрыштарының 360°-қа жетпеуіне пропорционалды. Сфералық үшбұрыштың ауданы Жирард теоремасы бойынша оның артық мөлшеріне пропорционалды – оның ішкі бұрыштарының 180°-дан артық болу мөлшері, бұл оның сыртқы бұрыштарының 360°-дан кем болу мөлшерімен тең. Ал гиперболалық үшбұрыштың ауданы, керісінше, Иоганн Генрих Ламберт анықтағандай, оның кемтігіне пропорционалды.
Комбинаторлық аналог
Гаусс-Бонне теоремасының бірнеше комбинаторлық аналогтары бар. Келесісін тұжырымдаймыз. M – шекті 2 өлшемді псевдо-көпқырлы болсын. χ(v) – v төбесін қамтитын үшбұрыштар саны. Онда
where the first sum ranges over the vertices in the interior of M, the second sum is over the boundary vertices, and χ(M) is the Euler characteristic of M.
Similar formulas can be obtained for 2 dimensional pseudo manifold when we replace triangles with higher polygons. For polygons of n vertices, we must replace 3 and 6 in the formula above with and , respectively. For example, for quadrilaterals we must replace 3 and 6 in the formula above with 2 and 4, respectively. More specifically, if M is a closed 2 dimensional digital manifold, the genus turns out
where Mi indicates the number of surface points each of which has i adjacent points on the surface. This is the simplest formula of Gauss–Bonnet theorem in three dimensional digital space.
бірінші қосынды M-нің ішкі төбелері бойынша, екінші қосынды шекаралық төбелер бойынша жүреді, ал χ(M) – M-нің Эйлер сипаттамасы.
where the first sum ranges over the vertices in the interior of M, the second sum is over the boundary vertices, and χ(M) is the Euler characteristic of M.
Similar formulas can be obtained for 2 dimensional pseudo manifold when we replace triangles with higher polygons. For polygons of n vertices, we must replace 3 and 6 in the formula above with and , respectively. For example, for quadrilaterals we must replace 3 and 6 in the formula above with 2 and 4, respectively. More specifically, if M is a closed 2 dimensional digital manifold, the genus turns out
where Mi indicates the number of surface points each of which has i adjacent points on the surface. This is the simplest formula of Gauss–Bonnet theorem in three dimensional digital space.
Екі өлшемді псевдо-көпқырлылар үшін үшбұрыштарды жоғарырақ көпбұрыштармен алмастырғанда ұқсас формулалар алынуы мүмкін. n төбесі бар көпбұрыштар үшін жоғарыдағы формуладагы 3 және 6 сандарын тиісінше және мен алмастыру керек. Мысалы, төртбұрыштар үшін жоғарыдағы формуладагы 3 және 6 сандарын тиісінше 2 және 4-ке алмастыру керек. Нақтырақ айтқанда, егер M – жабық 2 өлшемді сандық көпқырлылық болса, онда Mi – бетте i көршілес нүктелері бар беттік нүктелердің санын көрсетеді, ал род мынадай болады. Бұл үш өлшемді сандық кеңістіктегі Гаусс-Бонне теоремасының ең қарапайым формуласы.
where the first sum ranges over the vertices in the interior of M, the second sum is over the boundary vertices, and χ(M) is the Euler characteristic of M.
Similar formulas can be obtained for 2 dimensional pseudo manifold when we replace triangles with higher polygons. For polygons of n vertices, we must replace 3 and 6 in the formula above with and , respectively. For example, for quadrilaterals we must replace 3 and 6 in the formula above with 2 and 4, respectively. More specifically, if M is a closed 2 dimensional digital manifold, the genus turns out
where Mi indicates the number of surface points each of which has i adjacent points on the surface. This is the simplest formula of Gauss–Bonnet theorem in three dimensional digital space.
Жалпылау
Черн теоремасы (Шинг Шен Черн, 1945 жылдан бастап) – GB-ның 2n өлшемді кеңейтілген түрі (сондай-ақ Черн-Вейл гомоморфизміне қараңыз). Риманн-Рох теоремасын да күрделі көптүрліліктерге GB-ны кеңейту ретінде қарастыруға болады. Жоғарыда аталған теоремалардың бәрін қамтитын, ауқымды кеңейтім – Атиях-Сингер индекс теоремасы. Кохн-Воссен теңсіздігі – компактты болуы міндетті емес 2-көптүрлілікке жасалған кеңейтім.
Танымал мәдениетте
Грег Иганның "Диаспора" романында екі кейіпкер осы теореманың туындауын талқылайды. Бұл теореманы тікелей скульптураны басқару жүйесі ретінде пайдалануға болады, мысалы, Эдмунд Харрисстің Арканзас университетінің Құрмет колледжі жинағындағы туындыларында.