Кіріспе
Математикалық теорема
In complex analysis, the Riemann mapping theorem states that if is a non empty simply connected open subset of the complex number plane which is not all of , then there exists a biholomorphic mapping (i. e. a bijective holomorphic mapping whose inverse is also holomorphic) from onto the open unit disk
This mapping is known as a Riemann mapping. Intuitively, the condition that be simply connected means that does not contain any “holes”. The fact that is biholomorphic implies that it is a conformal map and therefore angle preserving. Such a map may be interpreted as preserving the shape of any sufficiently small figure, while possibly rotating and scaling (but not reflecting) it. Henri Poincaré proved that the map is unique up to rotation and recentering: if is an element of and is an arbitrary angle, then there exists precisely one f as above such that and such that the argument of the derivative of at the point is equal to This is an easy consequence of the Schwarz lemma. As a corollary of the theorem, any two simply connected open subsets of the Riemann sphere which both lack at least two points of the sphere can be conformally mapped into each other.
Комплексті талдауда Риманнің бейнелеу теоремасы, егер комплекс сандар жазықтығының бос емес, жай ғана байланысқан ашық ішкі жиыны болса, онда біхоломорфты бейнелеу (яғни, өзара бірге сәйкес келетін холоморфты бейнелеу, оның кері бейнелеуі де холоморфты) бар екенін айтады. Бұл бейнелеу Риман бейнелеуі деп аталады. Интуитивті түрде, жай ғана байланысқан деген шарт, жиынның ішінде ешқандай "тесік" болмайтындығын білдіреді. Бихоломорфты болуы, оның конформды бейнелеу екенін және де бұрыштарды сақтайтынын білдіреді. Мұндай бейнелеу, кез келген жеткілікті кішкентай фигураның пішінін сақтап, мүмкін айналдырып және масштабтап (бірақ кері бейнелеу жасамай) өзгерте алады. Анри Пуанкаре, бейнелеудің айналу мен орын ауыстыруға дейін бірегей екенін дәлелдеді: егер элемент болса және кез келген бұрыш болса, онда дәл бір f бейнелеуі бар, онда және нүктесіндегі туындысының аргументі тең болады. Бұл Шварц леммасының тікелей салдары. Теореманың қорытындысы ретінде, Риман сферасының кез келген екі жай ғана байланысқан ашық ішкі жиыны, екеуінде де сфераның кем дегенде екі нүктесі болмаса, бір-біріне конформды түрде бейнелене алады.
In complex analysis, the Riemann mapping theorem states that if is a non empty simply connected open subset of the complex number plane which is not all of , then there exists a biholomorphic mapping (i. e. a bijective holomorphic mapping whose inverse is also holomorphic) from onto the open unit disk
This mapping is known as a Riemann mapping. Intuitively, the condition that be simply connected means that does not contain any “holes”. The fact that is biholomorphic implies that it is a conformal map and therefore angle preserving. Such a map may be interpreted as preserving the shape of any sufficiently small figure, while possibly rotating and scaling (but not reflecting) it. Henri Poincaré proved that the map is unique up to rotation and recentering: if is an element of and is an arbitrary angle, then there exists precisely one f as above such that and such that the argument of the derivative of at the point is equal to This is an easy consequence of the Schwarz lemma. As a corollary of the theorem, any two simply connected open subsets of the Riemann sphere which both lack at least two points of the sphere can be conformally mapped into each other.
Тарих
Теорема (шекарасы бөлікті тегіс деп есептегенде) 1851 жылы Бернхард Риман өзінің PhD диссертациясында тұжырымдаған. Ларс Ахлфорс теореманың бастапқы тұжырымдамасы туралы бірде: «Қазіргі әдістермен тіпті дәлелдеуге тырысуға болмайтын терминдермен тұжырымдалған» деп жазған. Риманның кемшіліктері бар дәлелі Дирихле принципіне (Риманның өзі атаған) негізделген, ол сол кезде дұрыс деп есептелген. Бірақ Карл Вейерштрасс бұл принциптің жалпы жағдайда жарамсыз екенін көрсетті. Кейін Дэвид Гильберт Дирихле принципінің Риман жұмыс істеген гипотезалар бойынша көбінесе жарамды екенін дәлелдеді. Дегенмен, жарамды болу үшін Дирихле принципіне шекараға қатысты белгілі бір гипотезалар қажет (атап айтқанда, ол Жордан қисығы болуы керек), бұл жай ғана байланысқан домендер үшін жалпы жағдайда жарамсыз. Теореманың алғашқы қатаң дәлелін 1900 жылы Уильям Фогг Озгуд берді. Ол Грин функциясының өзінен басқа, кез келген жай ғана байланысқан домендерде бар екенін дәлелдеді; осылайша Риманнің бейнелеу теоремасы орнатылды. Константин Каратеодори 1912 жылы теореманың тағы бір дәлелін ұсынды, ол әлеуеттік теория емес, функциялық теорияның әдістеріне толығымен сүйенген алғашқы дәлел болды. Оның дәлелі Монтельдің нормальді отбасылар тұжырымын пайдаланды, ол оқулықтарда дәлелдеудің стандартты әдісіне айналды. Каратеодори 1913 жылы домендер арасындағы Риман бейнелеуін шекаралардың гомеоморфизміне дейін кеңейтуге болатындығы туралы қосымша мәселені шешу арқылы жұмысын жалғастырды (Каратеодори теоремасын қараңыз). Каратеодоридің дәлелі Риман беттерін пайдаланды, ал Пол Кёбе екі жылдан кейін оларды қажет етпейтіндей етіп жеңілдетті. Липот Фейер мен Фридьеш Рис авторлық құқығына жататын тағы бір дәлел 1922 жылы жарияланды, ол бұрынғылардан қысқа болды. Бұл дәлелде, Риманның дәлелі сияқты, қажетті бейнелеу экстремалдық мәселенің шешімі ретінде алынды. Фейер-Рис дәлелін Александр Островский мен Каратеодори одан әрі жеңілдетті.
Дирихле проблемасы арқылы сызбалық дәлелдеу
Берілген және нүкте , біз функция құруды қалаймыз, ол -ты бірлік дискіге және -ты нөлге бейнелейді. Осы эскиз үшін, біз U шектеулі және оның шекарасы тегіс деп есептейміз, Риман істегендей. Жазыңыз:
where is some (to be determined) holomorphic function with real part and imaginary part It is then clear that is the only zero of We require for , so we need
on the boundary. Since is the real part of a holomorphic function, we know that is necessarily a harmonic function; i. e., it satisfies Laplace's equation. The question then becomes: does a real valued harmonic function exist that is defined on all of and has the given boundary condition? The positive answer is provided by the Dirichlet principle. Once the existence of has been established, the Cauchy–Riemann equations for the holomorphic function allow us to find (this argument depends on the assumption that be simply connected). Once and have been constructed, one has to check that the resulting function does indeed have all the required properties.
мұнда - нақты бөлігі және жолғасты бөлігі бар (анықталатын) голоморфты функция. Онда -тың жалғыз нөлі екені анық болады. Бізге үшін қажет, сондықтан шекарада келесі шарт орындалуы керек: . - голоморфты функцияның нақты бөлігі болғандықтан, ол гармоникалық функция екенін білеміз; яғни, Лаплас теңдеуін қанағаттандырады. Сұрақ мынадай: -ның барлық аймағында анықталған және берілген шекаралық шартын қанағаттандыратын нақты мәнді гармоникалық функция бар ма? Дирихле принципі осы сұраққа оң жауап береді. -ның бар екені анықталғаннан кейін, голоморфты функция үшін Коши-Риманн теңдеулері -ны табуға мүмкіндік береді (бұл аргумент аймақтың жай байланысты екені туралы болжамға байланысты). және құрылғаннан кейін, алынған функцияның барлық қажетті қасиеттеріне ие екенін тексеру қажет.
where is some (to be determined) holomorphic function with real part and imaginary part It is then clear that is the only zero of We require for , so we need
on the boundary. Since is the real part of a holomorphic function, we know that is necessarily a harmonic function; i. e., it satisfies Laplace's equation. The question then becomes: does a real valued harmonic function exist that is defined on all of and has the given boundary condition? The positive answer is provided by the Dirichlet principle. Once the existence of has been established, the Cauchy–Riemann equations for the holomorphic function allow us to find (this argument depends on the assumption that be simply connected). Once and have been constructed, one has to check that the resulting function does indeed have all the required properties.
Біркелкілік теоремасы
Риманның карталау теоремасын Риман беттерінің контекстіне жалпылауға болады: Егер Риман бетінің бос емес, жай байланысқан ашық ішкі жиыны болса, онда ол келесілердің біріне бихоломорфты болады: Риман сферасы, комплекс жазықтық немесе бірлік дискі. Бұл – біртектілік теоремасы деп аталады.
Сәл Риманның карталау теоремасы
Жай байланысқан, шектеулі домен жағдайында Риман карталау функциясы және оның барлық туындылары доменнің жабылуына дейін үздіксіз жалғастырылады. Бұл Дирихле шекаралық мәселесінің шешімдерінің реттелу қасиеттерін қолдану арқылы дәлелдеуге болады, олар жазықтық домендері үшін Соболев кеңістіктері теориясынан немесе классикалық потенциалдар теориясынан туындайды. Риманның тегіс карталау теоремасын дәлелдеудің басқа әдістеріне ядролық функциялар теориясы немесе Белтрами теңдеуі жатады.