Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада субальгебра — алгебраның барлық операциялары бойынша жабық және туынды операцияларды сақтайтын алгебраның ішкі жиыны. "Алгебра" термині, егер ол құрылымды білдірсе, көбінесе қосымша билинейлік операциямен жабдықталған векторлық кеңістік немесе модульді тануға болады. Көптеген алгебралық құрылымдардың жалпылама түрі — әмбебап алгебрадағы алгебралар. "Субальгебра" аталымы осы екі жағдайдың кез келгеніне қатысты қолданылуы мүмкін.
In mathematics, a subalgebra is a subset of an algebra, closed under all its operations, and carrying the induced operations. "Algebra", when referring to a structure, often means a vector space or module equipped with an additional bilinear operation. Algebras in universal algebra are far more general: they are a common generalisation of all algebraic structures. "Subalgebra" can refer to either case.
Сақина немесе өріс үстіндегі алгебралар үшін субальгебралар
Коммутативті сақина немесе өріс үстіндегі алгебраның субальгебрасы – векторлардың көбейтуіне қатысты жабық векторлық кіші кеңістік. Алгебра көбейтуінің шектелуі оны сол сақина немесе өріс үстіндегі алгебраға айналдырады. Бұл түсінік көптеген арнайы жағдайларға да қолданылады, онда көбейту қосымша талаптарды орындауы керек, мысалы, ассоциативтік алгебраларға немесе Ли алгебраларына. Бірлік алгебралар үшін ғана күштірек түсінік бар – бірлік субальгебра, онда субальгебраның бірлігі үлкен алгебраның бірлігімен сәйкес болуы керек.
A subalgebra of an algebra over a commutative ring or field is a vector subspace which is closed under the multiplication of vectors. The restriction of the algebra multiplication makes it an algebra over the same ring or field. This notion also applies to most specializations, where the multiplication must satisfy additional properties, e. g. to associative algebras or to Lie algebras. Only for unital algebras is there a stronger notion, of unital subalgebra, for which it is also required that the unit of the subalgebra be the unit of the bigger algebra.
Мысал
Нақты сандар үстіндегі 2×2 матрицалар түсінікті тәсілмен бірлік алгебра құрайды. Диагоналіндегі бірінші элементінен басқа барлық элементтері нөлге тең болатын 2×2 матрицалар субальгебраны құрайды. Ол да бірлік, бірақ бірлік субалгебра емес.
The 2×2 matrices over the reals form a unital algebra in the obvious way. The 2×2 matrices for which all entries are zero, except for the first one on the diagonal, form a subalgebra. It is also unital, but it is not a unital subalgebra.
Универсалды алгебрадағы субальгебралар
Әлемдік алгебрада, A алгебрасының субальгебрасы – A жиынының S ішкі жиыны, және алгебралық амалдар S-қа шектелген кезде, ол да сондай типтегі алгебра құрылымын сақтайды. Егер алгебралық құрылымның аксиомалары теңдеу заңдары арқылы сипатталса, әдеттегідей, әмбебап алгебрада, онда тек S амалдар бойынша жабық екенін тексеру жеткілікті. Кейбір авторлар ішінара функциялары бар алгебраларды қарастырады. Мұндай жағдайда субальгебраны анықтаудың әртүрлі тәсілдері бар. Алгебраны жалпылаудың тағы бір жолы – қатынастарға рұқсат ету. Мұндай жалпы алгебралар көбінесе құрылымдар деп аталады және олар модельдер теориясында және теориялық информатикада зерттеледі. Қатынастармен байланысты құрылымдар үшін әлсіз және туындаған ішкі құрылымдар деген ұғымдар бар.
In universal algebra, a subalgebra of an algebra A is a subset S of A that also has the structure of an algebra of the same type when the algebraic operations are restricted to S. If the axioms of a kind of algebraic structure is described by equational laws, as is typically the case in universal algebra, then the only thing that needs to be checked is that S is closed under the operations. Some authors consider algebras with partial functions. There are various ways of defining subalgebras for these. Another generalization of algebras is to allow relations. These more general algebras are usually called structures, and they are studied in model theory and in theoretical computer science. For structures with relations there are notions of weak and of induced substructures.