Кіріспе

Нақты сандарға нөлдік квадраты бар элементті қосу арқылы алынатын сандар, кейбір тілдерде кездесетін екілік грамматикалық сан.

Алгебрада, дуал сандар – 19 ғасырда алғаш рет енгізілген гиперкомплекстік сандар жүйесі. Олар a + bε түріндегі өрнектер болып жазылады, мұнда a және b – нақты сандар, ал ε – қанағаттандыратын символ. Дуал сандар компонент бойынша қосылады, ал көбейту келесі формула бойынша жүзеге асырылады:

Бұл қасиеттен және көбейтудің билинейлі операция екендігінен туындайды. Дуал сандар нақты сандар үстіндегі екі өлшемді коммутативтік алгебраны, сондай-ақ Артиниялық жергілікті сақинаны құрайды. Олар нөлден өзгеше нөлдік элементтері бар сақинаның ең қарапайым мысалдарының бірі болып табылады.

Тарих

Екілік сандарды 1873 жылы Уильям Клиффорд енгізді, ал 20-шы ғасырдың басында неміс математигі Эдуард Студи оларды кеңістікте екі қисық сызықтың өзара орналасуын өлшейтін қос бұрышты көрсету үшін пайдаланды. Студи қос бұрышты θ + dε деп анықтады, мұнда θ – үш өлшемді кеңістікте екі түзудің бағыттары арасындағы бұрыш, ал d – олардың арақашықтығы. Грасман саны деп аталатын n өлшемді жалпылауды Герман Грасман 19-шы ғасырдың соңында енгізді.

Циклдер

Екі екілік сан p және q берілген жағдайда, олар z жиынын анықтайды, мұнда z-ден p және q-ға дейінгі түзулер арасындағы еңістердің айырмасы ("Галилей бұрышы") тұрақты болады. Бұл жиын – екілік сандық жазықтықтағы цикл; түзулердің еңістерінің айырмасын тұрақтыға теңеу теңдеуі z-ның нақты бөлігі бойынша квадраттық теңдеу болғандықтан, цикл – парабола. Екілік сандық жазықтықтың "циклдік айналысы" оның проективтік түзуінің қозғалысы ретінде жүзеге асады. Исаак Ягломның сөзіне сәйкес, толық ақпарат алу үшін бұранда теориясын қараңыз.

Алгебралық геометрия

Қазіргі алгебралық геометрияда, өрістегі қос сандар (яғни, сақинасы) схеманың нүктелеріне тангенс векторларын анықтау үшін қолданылуы мүмкін. Схема берілген жағдайда, схеманың нүктелері мен карталардың арасында 1:1 сәйкестік бар, ал тангенс векторлары мен карталардың арасында да 1:1 сәйкестік орнайды. Жоғарыда аталған өріс, іштей қалдық өріс ретінде таңдалуы мүмкін. Атап айтқанда: схемадағы нүкте берілген болса, оның сабағын қарастырайық. Сабақ – бірегей максималды идеалы бар жергілікті сақина екенін байқаңыз, ол деп белгіленеді. Осылайша, жай ғана деп қоямыз.

Жалпылау

Бұл құрылысты көбірек жалпылауға болады: коммутативті R сақинасы үшін R үстіндегі екілік сандарды R[X] полиномдық сақинасын (X^(2)) идеалға бөлу арқылы анықтауға болады: X-тің бейнесінің квадраты нөлге тең болады және ол жоғарыдағы ε элементіне сәйкес келеді.

Суперғарыш

Дуаль сандар физикада қолданылады, онда олар суперкеңістіктің ең қарапайым, бірақ маңызды мысалы болып табылады. Балама ретінде, оларды тек бір генераторы бар суперсандар деп қарастыруға болады; суперсандар ұғымын n түрлі генераторларға ε арқылы кеңейтуге болады, олардың әрқайсысы антикоммутациялайды, ал n саны шексіздікке дейін өсуі мүмкін. Суперкеңістік суперсандарды бірнеше коммутацияланатын өлшемдерге рұхсат ету арқылы сәл кеңейтеді. Физикаға дуаль сандарды енгізудің себебі фермиондарға қатысты Паулидің тыйым салу принципінен туындайды. ε бағыты "фермиондық" бағыт деп аталады, ал нақты компонент "бозондық" бағыт деп аталады. Фермиондық бағыт осы атауды фермиондар Паулидің тыйым салу принципіне бағынатындығынан алады: координаттарды ауыстырғанда кванттық-механикалық толқындық функция таңбасын өзгертеді, сондықтан егер екі координатты жақындастырса, ол нөлге тең болады; осы физикалық идея алгебралық қатынас арқылы бейнеленеді.

Жобалау сызығы

Дуаль сандар үстіндегі проекциялық сызық идеясын Грунвальд пен Коррадо Сегре ұсынған. Риман сферасының күрделі проекциялық сызықты жабу үшін солтүстік полюс нүктесі шексізге қажет болған сияқты, шексіздегі сызық да дуаль сандар жазықтығын цилиндрге жабуды жүзеге асырады. D – x + yε дуаль сандарының сақинасы, ал U – x ≠ 0 шартымен берілген қосалқы жиын. Олай болса, U – D сақинасының бірліктерінің тобы. А қатынасы B жиынында былай анықталады: (a, b) ~ (c, d) егер U-да u элементі табылатын болса, және . Бұл қатынас шын мәнінде эквиваленттік қатынас. D үстіндегі проекциялық түзудің нүктелері – осы қатынас бойынша B жиынындағы эквиваленттік сыныптар. Олар проекциялық координаттармен [a, b] түрінде көрсетіледі. D → P(D) ендіруін z → [z, 1] арқылы қарастырайық. Онда [1, n] (n ≠ 0) нүктелері P(D)-де жатады, бірақ ендіру арқылы ешқандай нүктенің бейнесі бола алмайды. P(D) проекция арқылы цилиндрге бейнеленеді: {yε : y ∈ ℝ} түзуінде дуаль сандар жазықтығына жанама цилиндр алыңыз. Енді цилиндрдегі осы түзуге қарама-қарсы түзуді жазықтықтар шоғырының осі ретінде қабылдаңыз. Дуаль сандар жазықтығы мен цилиндрді қиып өтетін жазықтықтар осы беттер арасындағы нүктелердің сәйкестігін қамтамасыз етеді. Дуаль сандар жазықтығына параллель жазықтық, дуаль сандар үстіндегі проекциялық түзудегі [1, n] нүктелеріне сәйкес келеді.