Кіріспе
Басқа сақиналардан құралған сақина (математика)
Математикада сақиналардың көбейтіндісі немесе сақиналардың тікелей көбейтіндісі – бірнеше сақинаның (мүмкін шексіз) негізгі жиындарының Декарт көбейтіндісінен құралған, компоненттік амалдармен жабдықталған сақина. Бұл сақиналар санатындағы тікелей көбейтінді болып табылады. Тікелей көбейтінділер изоморфизмге дейін анықталғандықтан, сақина егер осы сақиналардың тікелей көбейтіндісіне изоморф болса, осы сақиналардың көбейтіндісі деп айтылады. Мысалы, қытайлық қалдық теоремасын былай тұжырымдауға болады: егер m және n өзара жай бүтін сандар болса, онда бөлімдік сақина – және -нің көбейтіндісі болады.
Қасиеттері
Егер 1=R = Πi∈I Ri – сақиналардың көбейтіндісі болса, онда I-дегі әрбір i үшін i-ге проекциялайтын сақина гомоморфизмі pi : R → Ri болады, ол көбейтіндіні i-інші координатаға түсіреді. R көбейтіндісі pi проекцияларымен бірге келесідей әмбебап қасиетке ие: егер S кез келген сақина болса және fi : S → Ri I-дегі әрбір i үшін сақина гомоморфизмі болса, онда дәл бір сақина гомоморфизмі f : S → R бар, оған 1 = pi ∘ f = fi I-дегі әрбір i үшін орындалады. Бұл көбейтінділер категориялық теория мағынасындағы өнімдердің мысалы екенін көрсетеді. I шекті болғанда, Πi∈I Ri-нің негізгі қосылымдық тобы Ri-дің қосылымдық топтарының тікелей қосындысына тең келеді. Бұл жағдайда кейбір авторлар R-ді "сақиналардың тікелей қосындысы Ri" деп атайды және ⊕i∈I Ri деп жазады, бірақ бұл категориялық теория тұрғысынан дұрыс емес, өйткені ол әдетте сақиналар санатындағы (толықтырылған) копродукт емес: мысалы, егер Ri-дің екеуі немесе одан да көпсі тривиалды емес болса, онда Ri → R кіріктіру картасы 1-ді 1-ге түсірмейді, демек сақина гомоморфизмі емес. (Коммутативтік алгебралар санатындағы шекті копродукт – коммутативтік сақина бойынша алгебралардың тензорлық көбейтіндісі. Алгебралар санатындағы копродукт – алгебралардың еркін өнімі.) Тікелей өнімдер табиғи изоморфизмге дейін коммутативті және ассоциативті, яғни тікелей өнімді қандай ретпен құрастырғаныңыз маңызды емес. Егер Ai – I-дегі әрбір i үшін Ri-дің идеалы болса, онда 1=A = Πi∈I Ai – R-дің идеалы. Егер I шекті болса, онда керісі де дұрыс, яғни R-дің кез келген идеалы осы түрде жазылады. Алайда, егер I шексіз болса және сақиналар Ri тривиалды емес болса, онда керісі жалған: барлық координаттарының саны шекті болғаннан басқасы нөлге тең болатын элементтер жиыны Ri идеалдарының тікелей өнімі емес идеалды құрайды. A идеалы R-дегі жай идеал болып табылады, егер барлық Ai-дың біреуі Ri-ге тең болса және қалған Ai Ri-дегі жай идеал болса. Алайда, I шексіз болғанда керісі дұрыс емес. Мысалы, Ri-дің тікелей қосындысы осындай A-ға кірмейтін идеалды құрайды, бірақ таңдау аксиомасы оның кейбір максималды идеалға кіретінін, ол fortiori жай екенін көрсетеді. R элементі x бірлік болып табылады, егер және тек оның барлық компоненттері бірліктер болса, яғни егер және тек егер pi(x) әр i үшін Ri-дегі бірлік болса. R-дің бірліктерінің тобы Ri-дің бірліктерінің тобының көбейтіндісіне тең. Екі немесе одан да көп тривиалды емес сақиналардың көбейтіндісінде әрқашан нөлден өзгеше нөлдік бөлгіштер болады: егер x – координаттарының барлығы i-інші координатадан басқасы нөлге тең болса, ал y – j-інші координатадан басқасы нөлге тең болса (мұнда i ≠ j), онда xy = 0 көбейтінді сақинасында.
if S is any ring and fi : S → Ri is a ring homomorphism for every i in I, then there exists precisely one ring homomorphism f : S → R such that 1=pi ∘ f = fi for every i in I. This shows that the product of rings is an instance of products in the sense of category theory. When I is finite, the underlying additive group of Πi∈I Ri coincides with the direct sum of the additive groups of the Ri. In this case, some authors call R the "direct sum of the rings Ri" and write ⊕i∈I Ri, but this is incorrect from the point of view of category theory, since it is usually not a coproduct in the category of rings (with identity): for example, when two or more of the Ri are non trivial, the inclusion map Ri → R fails to map 1 to 1 and hence is not a ring homomorphism. (A finite coproduct in the category of commutative algebras over a commutative ring is a tensor product of algebras. A coproduct in the category of algebras is a free product of algebras.) Direct products are commutative and associative up to natural isomorphism, meaning that it doesn't matter in which order one forms the direct product. If Ai is an ideal of Ri for each i in I, then 1=A = Πi∈I Ai is an ideal of R. If I is finite, then the converse is true, i. e., every ideal of R is of this form. However, if I is infinite and the rings Ri are non trivial, then the converse is false: the set of elements with all but finitely many nonzero coordinates forms an ideal which is not a direct product of ideals of the Ri. The ideal A is a prime ideal in R if all but one of the Ai are equal to Ri and the remaining Ai is a prime ideal in Ri. However, the converse is not true when I is infinite. For example, the direct sum of the Ri form an ideal not contained in any such A, but the axiom of choice gives that it is contained in some maximal ideal which is a fortiori prime. An element x in R is a unit if and only if all of its components are units, i. e., if and only if pi (x) is a unit in Ri for every i in I. The group of units of R is the product of the groups of units of the Ri. A product of two or more non trivial rings always has nonzero zero divisors: if x is an element of the product whose coordinates are all zero except pi (x) and y is an element of the product with all coordinates zero except pj (y) where i ≠ j, then xy = 0 in the product ring.