Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике субальгебра — это подмножество алгебры, замкнутое относительно всех её операций и наделённое индуцированными операциями. "Алгебра", когда речь идёт о структуре, часто подразумевает векторное пространство или модуль, оснащённый дополнительной билинейной операцией. Алгебры в универсальной алгебре гораздо более общие: они представляют собой общее обобщение всех алгебраических структур. Термин "субальгебра" может относиться к обоим случаям.
In mathematics, a subalgebra is a subset of an algebra, closed under all its operations, and carrying the induced operations. "Algebra", when referring to a structure, often means a vector space or module equipped with an additional bilinear operation. Algebras in universal algebra are far more general: they are a common generalisation of all algebraic structures. "Subalgebra" can refer to either case.
Субальгебры для алгебры над кольцом или полем
Субальгебра алгебры над коммутативным кольцом или полем — это векторное подпространство, инвариантное относительно умножения векторов. Ограничение операции умножения алгебры делает её алгеброй над тем же кольцом или полем. Это понятие также применимо к большинству конкретных типов алгебр, где умножение должно удовлетворять дополнительным свойствам, например, к ассоциативным алгебрам или алгебрам Ли. Только для унитальных алгебр существует более строгое понятие унитальной субальгебры, для которой также требуется, чтобы единица субальгебры совпадала с единицей большей алгебры.
A subalgebra of an algebra over a commutative ring or field is a vector subspace which is closed under the multiplication of vectors. The restriction of the algebra multiplication makes it an algebra over the same ring or field. This notion also applies to most specializations, where the multiplication must satisfy additional properties, e. g. to associative algebras or to Lie algebras. Only for unital algebras is there a stronger notion, of unital subalgebra, for which it is also required that the unit of the subalgebra be the unit of the bigger algebra.
Пример
Матрицы 2х2 над действительными числами образуют унитальную алгебру естественным образом. Матрицы 2х2, у которых все элементы равны нулю, за исключением первого на главной диагонали, образуют субалгебру. Она также унитальна, но не является унитальной субалгеброй.
The 2×2 matrices over the reals form a unital algebra in the obvious way. The 2×2 matrices for which all entries are zero, except for the first one on the diagonal, form a subalgebra. It is also unital, but it is not a unital subalgebra.
Субальгебры в универсальной алгебре
В универсальной алгебре субальгебра алгебры A — это подмножество S алгебры A, которое также обладает структурой алгебры того же типа, когда алгебраические операции ограничиваются S. Если аксиомы некоторого типа алгебраической структуры заданы уравнительными законами, что обычно и происходит в универсальной алгебре, то необходимо проверить лишь замкнутость S относительно этих операций. Некоторые авторы рассматривают алгебры с частичными функциями, и для них существуют различные способы определения субальгебр. Дальнейшее обобщение алгебр заключается в допущении наличия отношений. Эти более общие алгебры обычно называют структурами и изучают в теории моделей и теоретической информатике. Для структур с отношениями существуют понятия слабой и индуцированной подструктуры.
In universal algebra, a subalgebra of an algebra A is a subset S of A that also has the structure of an algebra of the same type when the algebraic operations are restricted to S. If the axioms of a kind of algebraic structure is described by equational laws, as is typically the case in universal algebra, then the only thing that needs to be checked is that S is closed under the operations. Some authors consider algebras with partial functions. There are various ways of defining subalgebras for these. Another generalization of algebras is to allow relations. These more general algebras are usually called structures, and they are studied in model theory and in theoretical computer science. For structures with relations there are notions of weak and of induced substructures.