Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Екі сақина арасындағы құрылымды сақтайтын функция
Structure preserving function between two rings
Математикада сақина гомоморфизмі – екі сақина арасындағы құрылымды сақтайтын функция. Нақтырақ айтқанда, егер R және S сақиналар болса, онда сақина гомоморфизмі – қосу, көбейту және көбейту бірлігін сақтайтын функция; яғни,
In mathematics, a ring homomorphism is a structure preserving function between two rings. More explicitly, if R and S are rings, then a ring homomorphism is a function that preserves addition, multiplication and multiplicative identity; that is,
барлық үшін
for all in
Бұл шарттар қосу кері шамаларын және қосу бірлігін де сақтайды дегенді білдіреді. Егер қосымша биекция болса, онда оның керісі −1 де сақина гомоморфизмі болады. Бұл жағдайда сақина изоморфизмі деп аталады, ал R және S сақиналары изоморфты деп аталады. Сақиналар теориясы тұрғысынан алғанда, изоморфты сақиналардың қасиеттері толықтай бірдей. Егер R және S – рнг болса, онда тиісті ұғым – рнг гомоморфизмі, ол жоғарыда айтылғандай, үшінші шартсыз f(1R) = 1S деп анықталады. (Бірлік) сақиналар арасындағы рнг гомоморфизмі міндетті түрде сақина гомоморфизмі болмауы мүмкін. Екі сақина гомоморфизмінің композициясы – сақина гомоморфизмі болады. Осыдан сақиналар сақина гомоморфизмдері морфизмдер ретінде бір категория құрайды (сақиналар категориясын қараңыз). Атап айтқанда, сақина эндоморфизмі, сақина изоморфизмі және сақина автоморфизмі ұғымдары туындайды.
These conditions imply that additive inverses and the additive identity are preserved too. If in addition is a bijection, then its inverse −1 is also a ring homomorphism. In this case, is called a ring isomorphism, and the rings R and S are called isomorphic. From the standpoint of ring theory, isomorphic rings have exactly the same properties. If R and S are rngs, then the corresponding notion is that of a rng homomorphism, defined as above except without the third condition f(1R) = 1S. A rng homomorphism between (unital) rings need not be a ring homomorphism. The composition of two ring homomorphisms is a ring homomorphism. It follows that the rings forms a category with ring homomorphisms as morphisms (see Category of rings). In particular, one obtains the notions of ring endomorphism, ring isomorphism, and ring automorphism.
Мысалдар
f: Z → Z/nZ функциясы, 1=f(a) = [a]n = a mod n арқылы анықталғанда, ядросы nZ болатын сюръективті сақина гомоморфизмі болып табылады (модульдік арифметиканы қараңыз). C → C күрделі конъюгациясы сақина гомоморфизмі болып табылады (бұл сақина автоморфизмінің мысалы). R сақинасы үшін, егер p жай сипаттамасы болса, онда Фробениус эндоморфизмі деп аталатын сақина эндоморфизмі болады. Егер R және S сақиналар болса, R-ден S-ке дейінгі нөлдік функция, S нөлдік сақина болған жағдайда ғана сақина гомоморфизмі болады (әйтпесе, 1R-ді 1S-ке бейнелеу мүмкін емес). Екінші жағынан, нөлдік функция әрқашан rng гомоморфизмі болып табылады. Егер R[X] - R нақты сандарының коэффициенттері бар X айнымалысының барлық полиномдарының сақинасын, ал C - күрделі сандарды білдірсе, онда 1=f(p) = p(i) арқылы анықталған f: R[X] → C функциясы (p полиномындағы X айнымалысын жолғанақ бірлік i-ге ауыстыру) сюръективті сақина гомоморфизмі болып табылады. f ядросы R[X] сақинасындағы -ға бөлінетін барлық полиномдардан тұрады. Егер f: R → S R және S сақиналары арасындағы сақина гомоморфизмі болса, онда f матрица сақиналары арасындағы сақина гомоморфизмін тудырады: Mn(R) → Mn(S). V к өрісіндегі векторлық кеңістік болсын. Содан кейін ρ: k → End(V) бейнелеуі, 1=ρ(a)v = av арқылы берілгенде, сақина гомоморфизмі болып табылады. Көбірек айтқанда, егер M абель тобы болса, онда M-дегі модульдік құрылым R сақинасы бойынша R → End(M) сақина гомоморфизмін беруге эквивалентті. R коммутативті сақинадағы униталды ассоциативтік алгебралар арасындағы униталды алгебра гомоморфизмі – бұл R-сызықтық болатын сақина гомоморфизмі.
The function f : Z → Z/nZ, defined by 1=f(a) = [a]n = a mod n is a surjective ring homomorphism with kernel nZ (see modular arithmetic). The complex conjugation C → C is a ring homomorphism (this is an example of a ring automorphism). For a ring R of prime characteristic p, is a ring endomorphism called the Frobenius endomorphism. If R and S are rings, the zero function from R to S is a ring homomorphism if and only if S is the zero ring (otherwise it fails to map 1R to 1S). On the other hand, the zero function is always a rng homomorphism. If R[X] denotes the ring of all polynomials in the variable X with coefficients in the real numbers R, and C denotes the complex numbers, then the function f : R[X] → C defined by 1=f(p) = p(i) (substitute the imaginary unit i for the variable X in the polynomial p) is a surjective ring homomorphism. The kernel of f consists of all polynomials in R[X] that are divisible by If f : R → S is a ring homomorphism between the rings R and S, then f induces a ring homomorphism between the matrix rings Mn(R) → Mn(S). Let V be a vector space over a field k. Then the map ρ : k → End(V) given by 1=ρ(a)v = av is a ring homomorphism. More generally, given an abelian group M, a module structure on M over a ring R is equivalent to giving a ring homomorphism R → End(M). A unital algebra homomorphism between unital associative algebras over a commutative ring R is a ring homomorphism that is also R linear.
Үлгі емес
1=f([a]6) = [4a]6 арқылы анықталатын f: Z/6Z → Z/6Z функциясы rng гомоморфизмі (және rng эндоморфизмі) болып табылады, оның ядросы 3Z/6Z, ал кескіні 2Z/6Z (Z/3Z-ге изоморфты). Кез келген n ≥ 1 үшін Z/nZ → Z сақина гомоморфизмі жоқ. Егер R және S сақиналар болса, әрбір r-ді (r,0) элементіне бейнелейтін R → R × S қосылуы rng гомоморфизмі болып табылады, бірақ сақина гомоморфизмі емес (егер S нөлдік сақина болмаса), себебі ол R сақинасының 1 көбейту бірлігін R × S сақинасының (1,1) көбейту бірлігіне сәйкестендірмейді.
The function f : Z/6Z → Z/6Z defined by 1=f([a]6) = [4a]6 is a rng homomorphism (and rng endomorphism), with kernel 3Z/6Z and image 2Z/6Z (which is isomorphic to Z/3Z). There is no ring homomorphism Z/nZ → Z for any n ≥ 1. If R and S are rings, the inclusion R → R × S that sends each r to (r,0) is a rng homomorphism, but not a ring homomorphism (if S is not the zero ring), since it does not map the multiplicative identity 1 of R to the multiplicative identity (1,1) of R × S.
Эндоморфизмдер, изоморфизмдер және автоморфизмдер
Сақина эндоморфизмі – сақинаның өзіне гомоморфизмі. Сақина изоморфизмі – екі жақты керісі де сақина гомоморфизмі болатын сақина гомоморфизмі. Сақина гомоморфизмі, негізгі жиындардағы функция ретінде биективті болса ғана изоморфизм болады, және керісі де дұрыс. Егер R және S сақиналары арасында сақина изоморфизмі болса, онда R және S сақиналары изоморфты деп аталады. Изоморфты сақиналар элементтерінің қайта белгіленуімен ғана ерекшеленеді. Мысал: Изоморфизмге дейін 4 реттік төрт сақина бар. (Бұл 4-ші реттік төрт жұптық изоморфты емес сақина бар екенін білдіреді, яғни 4-ші реттік кез келген басқа сақина олардың біреуімен изоморфты.) Ал, изоморфизмге дейін 4 реттік он бір rng бар. Сақина автоморфизмі – сақинаның өзіне изоморфизмі.
A ring endomorphism is a ring homomorphism from a ring to itself. A ring isomorphism is a ring homomorphism having a 2 sided inverse that is also a ring homomorphism. One can prove that a ring homomorphism is an isomorphism if and only if it is bijective as a function on the underlying sets. If there exists a ring isomorphism between two rings R and S, then R and S are called isomorphic. Isomorphic rings differ only by a relabeling of elements. Example: Up to isomorphism, there are four rings of order 4. (This means that there are four pairwise non isomorphic rings of order 4 such that every other ring of order 4 is isomorphic to one of them.) On the other hand, up to isomorphism, there are eleven rngs of order 4. A ring automorphism is a ring isomorphism from a ring to itself.
Мономорфизмдер мен эпиморфизмдер
Инъективті сақина гомоморфизмдері сақиналар санатындағы мономорфизмдермен сәйкес келеді: Егер f : R → S инъективті емес мономорфизм болса, онда ол r1 және r2 элементтерін S-тің бірдей элементіне жібереді. Z[x]-тен R-ге x-ті r1 және r2-ге бейнелейтін g1 және g2 екі гомоморфизмді қарастырайық; f ∘ g1 және f ∘ g2 бірдей болады, бірақ f мономорфизм болғандықтан, мұндай болу мүмкін емес. Дегенмен, сюръективті сақина гомоморфизмдері сақиналар санатындағы эпиморфизмдерден күрт өзгеше. Мысалы, Z ⊆ Q инклюзиясы сақина эпиморфизмі, бірақ сюръекция емес. Алайда, олар күшті эпиморфизмдермен толық сәйкес келеді.
Injective ring homomorphisms are identical to monomorphisms in the category of rings: If f : R → S is a monomorphism that is not injective, then it sends some r1 and r2 to the same element of S. Consider the two maps g1 and g2 from Z[x] to R that map x to r1 and r2, respectively; f ∘ g1 and f ∘ g2 are identical, but since is a monomorphism this is impossible. However, surjective ring homomorphisms are vastly different from epimorphisms in the category of rings. For example, the inclusion Z ⊆ Q is a ring epimorphism, but not a surjection. However, they are exactly the same as the strong epimorphisms.