Кіріспе
Гомоморфизмдегі нөлдің кері бейнесі
Алгебрада гомоморфизмнің ядросы (құрылымды сақтайтын функция) әдетте 0-дің кері бейнесі болып табылады (операциясы көбейту арқылы белгіленетін топтарды қоспағанда, онда ядро 1-дің кері бейнесі болып табылады). Маңызды ерекше жағдай – сызықтық түрлендірудің ядросы. Матрицаның ядросы, сондай-ақ нөлдік кеңістік деп аталады, матрицамен анықталған сызықтық түрлендірудің ядросы болып табылады. Гомоморфизмнің ядросы 0 (немесе 1) дейін кемітіледі, егер және тек қана гомоморфизм инъективті болса, яғни әрбір элементтің кері бейнесі бір ғана элементтен тұрса. Бұл ядроны гомоморфизмнің инъективті болуына кедергі келтіретін дәреже өлшемі ретінде қарастыруға болады. Кейбір құрылым түрлері үшін, мысалы, абельдік топтар мен векторлық кеңістіктер үшін, мүмкін болатын ядролар дәл сол типтегі ішкі құрылымдар болып табылады. Бұл әрқашан осылай бола бермейді және кейде мүмкін болатын ядроларға арнайы атау беріледі, мысалы, топтар үшін нормальді ішкі топ, ал сақиналар үшін екі жақты идеалдар. Ядролар үлестік объектілерді анықтауға мүмкіндік береді (олар жалпы алгебрада үлестік алгебралар деп те аталады, ал категориялар теориясында – кокернельдер). Алгебралық құрылымның көптеген түрлері үшін гомоморфизмдер туралы негізгі теорема (немесе бірінші изоморфизм теоремасы) гомоморфизмнің бейнесінің ядроға қатысты изоморфты екенін көрсетеді. Ядро түсінігі құрылымдарға кеңейтілді, сондықтан бір элементтің кері бейнесі гомоморфизмнің инъективті екенін анықтау үшін жеткіліксіз. Мұндай жағдайларда ядро конгруенциялық қатынас болып табылады. Бұл мақала алгебралық құрылымдардағы ядролардың кейбір маңызды түрлерін қарастырады.
In algebra, the kernel of a homomorphism (function that preserves the structure) is generally the inverse image of 0 (except for groups whose operation is denoted multiplicatively, where the kernel is the inverse image of 1). An important special case is the kernel of a linear map. The kernel of a matrix, also called the null space, is the kernel of the linear map defined by the matrix. The kernel of a homomorphism is reduced to 0 (or 1) if and only if the homomorphism is injective, that is if the inverse image of every element consists of a single element. This means that the kernel can be viewed as a measure of the degree to which the homomorphism fails to be injective. For some types of structure, such as abelian groups and vector spaces, the possible kernels are exactly the substructures of the same type. This is not always the case, and, sometimes, the possible kernels have received a special name, such as normal subgroup for groups and two sided ideals for rings. Kernels allow defining quotient objects (also called quotient algebras in universal algebra, and cokernels in category theory). For many types of algebraic structure, the fundamental theorem on homomorphisms (or first isomorphism theorem) states that image of a homomorphism is isomorphic to the quotient by the kernel. The concept of a kernel has been extended to structures such that the inverse image of a single element is not sufficient for deciding whether a homomorphism is injective. In these cases, the kernel is a congruence relation. This article is a survey for some important types of kernels in algebraic structures.
Топтық гомоморфизмдер
G және H топтар болсын, ал f – G-ден H-ға дейінгі топтық гомоморфизм болсын. Егер eH – H-ның бірлік элементі болса, онда f ядросы {eH} жиынының кері бейнесі болып табылады; яғни, f арқылы eH элементіне бейнеленетін G-нің барлық элементтерінен тұратын G-нің ішкі жиыны. Ядро әдетте ker f (немесе оның вариациясы) деп белгіленеді. Символдармен:
Топтық гомоморфизм бірлік элементтерді сақтайтындықтан, G-нің eG бірлік элементі ядроға тиесілі болуы керек. Гомоморфизм f инъективті болады, тек қана оның ядросы {eG} жиынынан тұрса. Егер f инъективті болмаса, онда инъективті емес элементтер оның ядросының ерекше элементін құрауы мүмкін: мұндай a, b ∈ G элементтері бар, a ≠ b және f(a) = f(b) = eH. Осылайша, f(a)f(b)⁻¹ = eH. f – топтық гомоморфизм, сондықтан кері элементтер мен топтық амалдар сақталады, соның салдарынан f(ab⁻¹) = eH; яғни, ab⁻¹ ∈ ker f, ал ker f жеке жиынтық болмайды. Керісінше, ядроның ерекше элементтері инъективтілікті тікелей бұзады: егер g ≠ eG ∈ ker f элементі болса, онда f(g) = f(eG) = eH, демек f инъективті болмайды. ker f – G-нің кіші тобы және одан әрі ол қалыпты кіші топ болып табылады. Сондықтан, G / (ker f) сәйкес келетін фактор-топ бар. Бұл топ f(G)-ға изоморфты, яғни f астындағы G-нің бейнесі (ол да H-ның кіші тобы), топтар үшін бірінші изоморфизм теоремасы бойынша. Абельдік топтардың ерекше жағдайында бұрынғы бөлімнен ешқандай ауытқу жоқ.
Мысал
G – модульдік қосу арқылы 6 элементі бар циклдік топ, H – модульдік қосу арқылы 2 элементі бар циклдік топ, ал f – G тобының әрбір g элементін H тобындағы g модулі 2 элементіне бейнелейтін гомоморфизм болсын. Онда, барлық бұл элементтер 0H-қа бейнеленгендіктен. G / (ker f) бөлімдік тобының екі элементі бар: және ол шынымен H-ға изоморфты.
Моноидтық гомоморфизмдер
M және N моноидтар болсын, ал f – M-ден N-ге моноидтық гомоморфизм болсын. Онда f ядросы – M × M тікелей көбейтіндісінің ішкі жиыны болып табылады, ол M элементтерінің барлық реттелген жұптарынан тұрады, олардың компоненттері f арқылы N-дегі бірдей элементке бейнеленеді. Ядро әдетте ker f (немесе оның түрі) деп белгіленеді.
f функция болғандықтан, (m, m) түріндегі элементтер міндетті түрде ядроға жатады. Гомоморфизм f инъективті болады, егер және тек қана оның ядросы тек диагональ жиынтығы болса. ker f – M-дегі эквиваленттілік қатынасы, тіпті конгруенциялық қатынас екені белгілі. Сондықтан, M / (ker f) коэффициенттік моноиді туралы айтуға болады. Моноидтар үшін бірінші изоморфизм теоремасы осы коэффициенттік моноидтің f бейнесіне табиғи түрде изоморфты екенін көрсетеді (бұл N-нің субмоноиді; конгруенциялық қатынас үшін). Бұл жоғарыдағы мысалдардан мүлдем өзгеше. Атап айтқанда, N-нің сәйкестік элементінің кері бейнесі f ядросын анықтау үшін жеткіліксіз.
It turns out that ker f is an equivalence relation on M, and in fact a congruence relation. Thus, it makes sense to speak of the quotient monoid M / (ker f). The first isomorphism theorem for monoids states that this quotient monoid is naturally isomorphic to the image of f (which is a submonoid of N; for the congruence relation). This is very different in flavour from the above examples. In particular, the preimage of the identity element of N is not enough to determine the kernel of f.
Жалпыға ортақ алгебра
Жоғарыда келтірілген барлық жағдайларды жалпы алгебрада біріктіріп, жүйелеуге болады.
Малчев алгебрасы
Мальцев алгебраларының жағдайында бұл құрылысты жеңілдетуге болады. Кез келген Мальцев алгебрасының ерекше бейтарап элементі болады (векторлық кеңістіктер үшін нөлдік вектор, коммутативтік топтар үшін бірлік элемент, ал сақиналар немесе модульдер үшін нөлдік элемент). Мальцев алгебрасының ерекшелігі – нейтраль элементтің эквиваленттік класынан ker f толық эквиваленттік қатынасын қалпына келтіруге болады. Нақтырақ айтсақ, A және B белгілі бір типтегі Мальцев алгебралық құрылымдары болсын, ал f – A-дан B-ға дейінгі сол типтегі гомоморфизм болсын. Егер eB – B-нің нейтраль элементі болса, онда f ядросы – {eB} жеке жиынының кері бейнесі, яғни f арқылы eB элементіне бейнеленген A-ның барлық элементтерінен тұратын A-ның ішкі жиыны. Ядро әдетте ker f (немесе оның вариациясы) деп белгіленеді. Символдармен:
Мальцев алгебрасының гомоморфизмі нейтраль элементтерді сақтайтындықтан, A-ның eA бірлік элементі ядроның құрамына кіруі керек. Гомоморфизм f инъективті болады, егер және тек қана оның ядросы жеке жиын болса. Идеал түсінігі кез келген Мальцев алгебрасына (векторлық кеңістіктер үшін сызықтық ішкі кеңістік, топтар үшін нормальды ішкі топ, сақиналар үшін екі жақты идеалдар және модульдер үшін ішкі модуль) жалпыланады. ker f – A-ның субальгебрасы емес, бірақ ол идеал болып табылады. Сондықтан G / (ker f) бөлінді алгебрасы туралы сөз етудің мәні бар. Мальцев алгебралары үшін бірінші изоморфизм теоремасы бұл бөлінді алгебрасы f-тің бейнесіне (B-ның субальгебрасы) табиғи түрде изоморфты екенін айтады. Бұл және алгебраның жалпы түрлеріндегі конгруенция қатынасы арасындағы байланыс мынадай: Біріншіден, идеал ретіндегі ядро – конгруенция ретіндегі ядро бойынша нейтраль элементтің eA эквиваленттік класы. Кері бағытта, бізге Мальцев алгебрасындағы бөліс түсінігі қажет (топтар үшін екі жақта да бөлу, ал векторлық кеңістіктер, модульдер және сақиналар үшін – азайту). Осыны пайдаланып, A элементтері a және b, егер және тек қана олардың бөліндісі a/b идеал ретіндегі ядроның элементі болса, ядро бойынша конгруенция ретінде эквивалентті болады.
The notion of ideal generalises to any Malcev algebra (as linear subspace in the case of vector spaces, normal subgroup in the case of groups, two sided ideals in the case of rings, and submodule in the case of modules). It turns out that ker f is not a subalgebra of A, but it is an ideal. Then it makes sense to speak of the quotient algebra G / (ker f). The first isomorphism theorem for Malcev algebras states that this quotient algebra is naturally isomorphic to the image of f (which is a subalgebra of B). The connection between this and the congruence relation for more general types of algebras is as follows. First, the kernel as an ideal is the equivalence class of the neutral element eA under the kernel as a congruence. For the converse direction, we need the notion of quotient in the Mal'cev algebra (which is division on either side for groups and subtraction for vector spaces, modules, and rings). Using this, elements a and b of A are equivalent under the kernel as a congruence if and only if their quotient a/b is an element of the kernel as an ideal.
Алгебралық емес құрылымдағы алгебралар
Кейде алгебралар алгебралық операциялармен қатар, алгебралық емес құрылыммен жабдықталады. Мысалы, топологиялық топтар немесе топологиялық векторлық кеңістіктерді қарастыруға болады, олар топологиямен жабдықталған. Мұндай жағдайда гомоморфизм f осы қосымша құрылымды сақтауға тиіс деп күтеміз; топологиялық мысалдарда f үздіксіз бейнелеу болуы керек. Бұл процесс бөлік алгебралармен байланысты қиындықтарға соқтығуы мүмкін, олар дұрыс қасиеттерге ие болмауы мүмкін. Топологиялық мысалдарда топологиялық алгебралық құрылымдардың Хаусдорфты болуын талап ету арқылы проблемалардан қашуға болады (әдетте осылай жасалады); сонда ядро (қандай жолмен құрылса да) жабық жиын болады және бөлік кеңістік жақсы жұмыс істейді (сондай-ақ Хаусдорфты болады).
Категориялар теориясының өзектері
Категориялар теориясындағы ядро түсінігі – абельдік алгебралардың ядроларының жалпылануы; Ядро (категориялар теориясы) бөлімін қараңыз. Ядроның конгруэнттік қатынас ретіндегі категориялық жалпылануы – ядролық жұп. (Сонымен қатар, айырмашылық ядросы немесе екілік теңдеулеуші ұғымы да бар.)