Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
алгебралық топологиядағы дуалдық ұғымы
the notion of duality in algebraic topology
Математикада Экманн-Хилтон аргументі (немесе Экманн-Хилтон принципі немесе Экманн-Хилтон теоремасы) – бір жиынтақтағы екі бірлік магма құрылымы туралы аргумент, мұнда біреуі екіншісі үшін гомоморфизм болып табылады. Мұндай жағдайда, құрылымдар бірдей болып шығады және нәтижедегі магма коммутативті моноид болады. Бұл жоғары гомотопиялық топтардың коммутативтілігін дәлелдеуге қолданылуы мүмкін. Бұл принциптің авторы Бено Экманн мен Питер Хилтон, олар 1962 жылғы мақаласында оны қолданған.
In mathematics, the Eckmann–Hilton argument (or Eckmann–Hilton principle or Eckmann–Hilton theorem) is an argument about two unital magma structures on a set where one is a homomorphism for the other. Given this, the structures are the same, and the resulting magma is a commutative monoid. This can then be used to prove the commutativity of the higher homotopy groups. The principle is named after Beno Eckmann and Peter Hilton, who used it in a 1962 paper.
Ескертпелер
Операциялар және көбінесе моноидтік құрылымдар немесе көбейтулер деп аталады, бірақ бұл олардың қауымдастырылатынын ұғындырады, бұл дәлелдеу үшін міндетті емес қасиет. Шындығында, қауымдастырылу осыдан туындайды. Сондай-ақ, екі операцияның бірдей бейтарап элементке ие болуын талап етудің қажеті жоқ; бұл оның салдары.
The operations and are often referred to as monoid structures or multiplications, but this suggests they are assumed to be associative, a property that is not required for the proof. In fact, associativity follows. Likewise, we do not have to require that the two operations have the same neutral element; this is a consequence.
Ескертпелер
Егер операциялар ассоциативті болса, онда олардың әрқайсысы моноид құрылымын анықтайды, ал жоғарыдағы шарттар моноид гомоморфизмі (немесе керісінше) болатын абстрактілірек шартқа тең. Теореманы тұжырымдаудың одан да абстрактілі жолы: Егер моноидтар санатындағы моноид объектісі болса, онда ол шын мәнінде коммутативті моноид болып табылады. Осындай аргумент шағын санаттар немесе группоидтар санатындағы моноид объектілерінің жағдайында осындай тривиальды нәтижеге әкелмейтіні маңызды. Керісінше, группоидтар санатындағы топтық объектілер ұғымы қиылысқан модуль ұғымымен эквивалентті болып шығады. Бұл гомотопия теориясында бірнеше группоид объектілерін пайдалану идеясына алып келеді. Жалпы алғанда, Экманн-Хилтон аргументі (қатаң) екі және көп санаттар теориясындағы алмасу заңының ерекше жағдайы болып табылады. (Қатаң) екі санат – екі категория құрылымымен жабдықталған жиын немесе класс, олардың әрқайсысы екінші құрылымның морфизмі болып табылады. Егер екі категория құрылымындағы композициялар жазылса, онда алмасу заңы былай оқылады:
If the operations are associative, each one defines the structure of a monoid on , and the conditions above are equivalent to the more abstract condition that is a monoid homomorphism (or vice versa). An even more abstract way of stating the theorem is: If is a monoid object in the category of monoids, then is in fact a commutative monoid. It is important that a similar argument does NOT give such a triviality result in the case of monoid objects in the categories of small categories or of groupoids. Instead the notion of group object in the category of groupoids turns out to be equivalent to the notion of crossed module. This leads to the idea of using multiple groupoid objects in homotopy theory. More generally, the Eckmann–Hilton argument is a special case of the use of the interchange law in the theory of (strict) double and multiple categories. A (strict) double category is a set, or class, equipped with two category structures, each of which is a morphism for the other structure. If the compositions in the two category structures are written then the interchange law reads
екі жағы да анықталған кезде. Оның қолданылу мысалы және талқылау үшін төмендегі Хиггинстің мақаласына қараңыз. Алмасу заңы екі санатта абельдік моноидтар отбасы бар екенін білдіреді. Гомотопиялық топтарға қатысты тарих қызықты. 20 ғасырдың басындағы топология саласының мамандары абельдік емес негізгі топтың геометрия мен анализде пайдалы екенін, абельдік гомологиялық топтарды барлық өлшемдерде анықтауға болатынын және байланысты кеңістік үшін бірінші гомологиялық топтың абельдік негізгі топқа тең екенін білген. Сондықтан абельдік емес негізгі топты барлық өлшемдерге жалпылауға ниет болды. 1932 жылы Эдуард Чех Цюрихте өткен Халықаралық математикалық конгреске жоғары гомотопиялық топтар туралы мақала ұсынды. Алайда, Павел Александров және Хайнц Хопф бұл топтардың абельдік екенін тез дәлелдеді және осы негізде Чехті мақаласын кері қайтаруға көндірді, сондықтан баяндамада тек шағын абзац пайда болды. Витольд Гуревич осы конференцияға қатысқан деген қауесет бар, ал оның жоғары гомотопиялық топтар туралы алғашқы жұмысы 1935 жылы жарық көрді. Сондықтан ертедегі топологтардың армандары көптен бері иллюзия ретінде қарастырылып келеді. Кубикалық жоғары гомотопиялық группоидтар төменде сілтеме келтірілген Нонабельдік алгебралық топология кітабында сүзгіленген кеңістіктер үшін құрастырылады, ол негізгі алгебралық топологияны, соның ішінде Сейферт-Ван Кампен теоремасының жоғары аналогтарын сингулярлы гомологияны немесе симплициалдық жуықтауды қолданбай дамытады.
whenever both sides are defined. For an example of its use, and some discussion, see the paper of Higgins referenced below. The interchange law implies that a double category contains a family of abelian monoids. The history in relation to homotopy groups is interesting. The workers in topology of the early 20th century were aware that the nonabelian fundamental group was of use in geometry and analysis; that abelian homology groups could be defined in all dimensions; and that for a connected space, the first homology group was the fundamental group made abelian. So there was a desire to generalise the nonabelian fundamental group to all dimensions. In 1932, Eduard Čech submitted a paper on higher homotopy groups to the International Congress of Mathematics at Zürich. However, Pavel Alexandroff and Heinz Hopf quickly proved these groups were abelian for , and on these grounds persuaded Čech to withdraw his paper, so that only a small paragraph appeared in the Proceedings. It is said that Witold Hurewicz attended this conference, and his first work on higher homotopy groups appeared in 1935. Thus the dreams of the early topologists have long been regarded as a mirage. Cubical higher homotopy groupoids are constructed for filtered spaces in the book Nonabelian algebraic topology cited below, which develops basic algebraic topology, including higher analogues to the Seifert–Van Kampen theorem, without using singular homology or simplicial approximation.