Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Понятие двойственности в алгебраической топологии
the notion of duality in algebraic topology
В математике аргумент Экмана — Хилтона (или принцип Экмана — Хилтона, или теорема Экмана — Хилтона) — это рассуждение о двух унитальных магматических структурах на множестве, где одна является гомоморфизмом относительно другой. В этом случае структуры оказываются одинаковыми, а полученная магма является коммутативным моноидом. Это можно использовать для доказательства коммутативности высших гомотопических групп. Принцип назван в честь Бено Экманна и Питера Хилтона, которые использовали его в статье 1962 года.
In mathematics, the Eckmann–Hilton argument (or Eckmann–Hilton principle or Eckmann–Hilton theorem) is an argument about two unital magma structures on a set where one is a homomorphism for the other. Given this, the structures are the same, and the resulting magma is a commutative monoid. This can then be used to prove the commutativity of the higher homotopy groups. The principle is named after Beno Eckmann and Peter Hilton, who used it in a 1962 paper.
Замечания
Операции и часто называют моноидными структурами или умножениями, но это подразумевает, что они считаются ассоциативными, а это свойство не требуется для доказательства. На самом деле, ассоциативность вытекает из рассмотренных условий. Аналогично, нет необходимости требовать, чтобы обе операции имели один и тот же нейтральный элемент; это является следствием.
The operations and are often referred to as monoid structures or multiplications, but this suggests they are assumed to be associative, a property that is not required for the proof. In fact, associativity follows. Likewise, we do not have to require that the two operations have the same neutral element; this is a consequence.
Замечания
Если операции ассоциативны, то каждая из них определяет структуру моноида на , и вышеуказанные условия эквивалентны более абстрактному условию, заключающемуся в том, что является моноидным гомоморфизмом (или наоборот). Еще более абстрактная формулировка теоремы: если является моноидным объектом в категории моноидов, то на самом деле является коммутативным моноидом. Важно отметить, что аналогичный аргумент НЕ приводит к такому тривиальному результату в случае моноидных объектов в категориях малых категорий или группоидов. Вместо этого понятие группового объекта в категории группоидов оказывается эквивалентным понятию перекрестного модуля. Это подводит к идее использования множественных группоидных объектов в теории гомотопий. В более общем плане аргумент Экмана — Хилтона является частным случаем использования закона перестановки в теории (строгих) двойных и множественных категорий. (Строгая) двойная категория — это множество или класс, снабженный двумя категориальными структурами, каждая из которых является морфизмом для другой структуры. Если композиции в двух категориальных структурах записаны как , то закон перестановки имеет вид
If the operations are associative, each one defines the structure of a monoid on , and the conditions above are equivalent to the more abstract condition that is a monoid homomorphism (or vice versa). An even more abstract way of stating the theorem is: If is a monoid object in the category of monoids, then is in fact a commutative monoid. It is important that a similar argument does NOT give such a triviality result in the case of monoid objects in the categories of small categories or of groupoids. Instead the notion of group object in the category of groupoids turns out to be equivalent to the notion of crossed module. This leads to the idea of using multiple groupoid objects in homotopy theory. More generally, the Eckmann–Hilton argument is a special case of the use of the interchange law in the theory of (strict) double and multiple categories. A (strict) double category is a set, or class, equipped with two category structures, each of which is a morphism for the other structure. If the compositions in the two category structures are written then the interchange law reads
при условии, что обе части определены. Пример его использования и некоторые обсуждения можно найти в статье Хиггинса, указанной ниже. Закон перестановки подразумевает, что двойная категория содержит семейство абелевых моноидов. История вопроса в связи с гомотопическими группами представляет интерес. Топологи начала XX века знали, что неабелева фундаментальная группа полезна в геометрии и анализе; что абелевы группы гомологий могут быть определены во всех измерениях; и что для связного пространства первая группа гомологий является абелевизацией фундаментальной группы. Поэтому возникло желание обобщить неабелеву фундаментальную группу на все измерения. В 1932 году Эдуард Чех представил доклад о группах высших гомотопий на Международном конгрессе математиков в Цюрихе. Однако Павел Александров и Хайнц Хопф быстро доказали, что эти группы абелевы при , и на этом основании убедили Чеха отозвать свою работу, так что в материалах конгресса появился лишь небольшой абзац. Говорят, что Витольд Гуревич присутствовал на этой конференции, и его первая работа по группам высших гомотопий появилась в 1935 году. Таким образом, мечты ранних топологов долгое время считались иллюзией. Кубические группоиды высших гомотопий строятся для фильтрованных пространств в книге «Неабелева алгебраическая топология», указанной ниже, которая развивает основы алгебраической топологии, включая высшие аналоги теоремы Зейферта — Ван Кампена, без использования сингулярной гомологии или кусочно-линейного приближения.
whenever both sides are defined. For an example of its use, and some discussion, see the paper of Higgins referenced below. The interchange law implies that a double category contains a family of abelian monoids. The history in relation to homotopy groups is interesting. The workers in topology of the early 20th century were aware that the nonabelian fundamental group was of use in geometry and analysis; that abelian homology groups could be defined in all dimensions; and that for a connected space, the first homology group was the fundamental group made abelian. So there was a desire to generalise the nonabelian fundamental group to all dimensions. In 1932, Eduard Čech submitted a paper on higher homotopy groups to the International Congress of Mathematics at Zürich. However, Pavel Alexandroff and Heinz Hopf quickly proved these groups were abelian for , and on these grounds persuaded Čech to withdraw his paper, so that only a small paragraph appeared in the Proceedings. It is said that Witold Hurewicz attended this conference, and his first work on higher homotopy groups appeared in 1935. Thus the dreams of the early topologists have long been regarded as a mirage. Cubical higher homotopy groupoids are constructed for filtered spaces in the book Nonabelian algebraic topology cited below, which develops basic algebraic topology, including higher analogues to the Seifert–Van Kampen theorem, without using singular homology or simplicial approximation.