Кіріспе
Екі берілген математикалық көптүрлілікті біріктіру жолы. Математикада, әсіресе топологияда, байланысқан қосынды операциясы – көптүрліліктердегі геометриялық өзгерту болып табылады. Оның нәтижесі – екі берілген көптүрлілікті әрқайсысының таңдалған нүктесіне жақын біріктіру. Бұл құрылым жабық беттерді жіктеуде маңызды рөл атқарады. Көбірек жалпылаған түрде, көптүрліліктерді бірдей ішкі көптүрліліктер арқылы біріктіруге болады; мұндай жалпылау көбінесе талшықтық қосынды деп аталады. Сонымен қатар, түйіндердегі байланысқан қосынды, түйін қосындысы немесе түйіндердің композициясы деп аталатын, тығыз байланысты ұғым да бар.
In mathematics, specifically in topology, the operation of connected sum is a geometric modification on manifolds. Its effect is to join two given manifolds together near a chosen point on each. This construction plays a key role in the classification of closed surfaces. More generally, one can also join manifolds together along identical submanifolds; this generalization is often called the fiber sum. There is also a closely related notion of a connected sum on knots, called the knot sum or composition of knots.
Бір нүктедегі қосылған сома
Екі өлшемді көптүрліліктердің байланысқан қосындысы – әрбір көптүрліліктің ішіндегі шарды алып тастау және пайда болған шекаралық сфераларды біріктіру арқылы құрылатын көптүрлілік. Егер екі көптүрлілік те бағытталған болса, онда желімдеу картасы бағытты керітетіндей етіп анықталатын бірегей байланысқан қосынды болады. Құрылыста шарларды таңдау қолданылса да, нәтиже гомеоморфизмге дейін бірегей. Бұл операцияны тегіс санатта да жасауға болады, сонда нәтиже диффеоморфизмге дейін бірегей болады. Тегіс жағдайда нақты проблемалар бар: сфералардың шекаралары арасындағы кез келген диффеоморфизм, тіпті бағдарлар дұрыс таңдалған жағдайда да, бірдей композициялық көптүрлілікке әкелмейді. Мысалы, Милнор екі 7-ұяшықты олардың шекаралары бойынша біріктіруге болатынын көрсетті, нәтижесінде 7-сфераға гомеоморфты, бірақ диффеоморфты емес экзотикалық сфера пайда болады. Дегенмен, және-нің желімдеуін таңдаудың канондық тәсілі бар, ол бірегей және жақсы анықталған байланысқан қосындыны береді. Бағытты сақтайтын және бағытты керітетін ендірулерді таңдаңыз. Енді, әрбір бірлік вектор үшін және әрқайсысы үшін сәйкестендіру арқылы ажыратылған жиыннан аламыз және-қа үйлесімді бағытты таңдаңыз. Бұл құрылымның жақсы анықталғаны диск теоремасына тікелей байланысты, ол мүлдем анық емес. Толықрақ мәліметтер үшін қараңыз. Байланысқан қосынды операциясы арқылы белгіленеді. Байланысқан қосынды операциясы сфераны нейтраль элемент ретінде қарастырады; яғни, гомеоморфты (немесе диффеоморфты). Жабық беттердің жіктелуі, топологиядағы негізгі және тарихи маңызды нәтиже, кез келген жабық бетті белгілі бір санындағы торлар мен нақты проективті жазықтықтардың байланысқан қосындысы ретінде көрсетуге болады.
by identifying with for each unit vector and each Choose the orientation for which is compatible with and The fact that this construction is well defined depends crucially on the disc theorem, which is not at all obvious. For further details, see. The operation of connected sum is denoted by
The operation of connected sum has the sphere as an identity; that is, is homeomorphic (or diffeomorphic) to
The classification of closed surfaces, a foundational and historically significant result in topology, states that any closed surface can be expressed as the connected sum of a sphere with some number of tori and some number of real projective planes.
Кодименсиялық екі субкөптүрлік бойынша байланысты жиынтық
Тағы бір маңызды ерекше жағдай туындайды, егер өлшемдері екіге кем болса, онда қалыпты бундельдердің изоморфизмі олардың Эйлер кластары бір-біріне қарама-қарсы болғанда болады:
Сонымен қатар, осы жағдайда қалыпты бундельдердің құрылымдық тобы шеңбер тобы болып табылады; осыдан кіріктірулерді таңдау, шеңберге бағытталған карталардың гомотопиялық кластары тобымен канондық түрде сәйкестендіріледі, ал ол өз кезегінде бірінші интегралды кохомология тобына тең. Демек, соманың диффеоморфизм типі таңдауға және кодименсиясы екіге тең болатын элементтің таңдауына байланысты. Кодименсиясы екіге тең болатын сома симплектикалық көптіктер санатында да жүзеге асырылуы мүмкін; бұл амал симплектикалық сома деп аталады.
A connected sum along a codimension two can also be carried out in the category of symplectic manifolds; this elaboration is called the symplectic sum.
Жергілікті операциялар
Қосылған сома – көптеулердегі жергілікті операция, яғни ол қосылатын бөліктерді тек қана олардың маңында ғана өзгертеді. Бұл, мысалы, бір көптеудегі екі бөлек түрінің қосындысын жүзеге асыруға мүмкіндік береді, нәтижесінде ол өзіне-өзі біріктіріледі. Мысалы, сфераның екі әртүрлі нүктесіндегі байланысқан қосындысы 2 торды тудырады.