Введение

Способ соединения двух заданных математических многообразий.

В математике, в частности в топологии, операция связной суммы является геометрической модификацией многообразий. Она позволяет соединить два заданных многообразия вблизи выбранной точки на каждом из них. Эта конструкция играет ключевую роль в классификации замкнутых поверхностей. В более общем случае можно также соединять многообразия вдоль идентичных подмногообразий; это обобщение часто называют суммой по волокнам. Существует также тесно связанное понятие связной суммы для узлов, называемое суммой узлов или композицией узлов.

Соединенная сумма в точке

Соединенная сумма двух m-мерных многообразий – это многообразие, образованное путем удаления шара внутри каждого многообразия и склеивания полученных граничных сфер. Если оба многообразия ориентированы, существует единственная соединенная сумма, определяемая обращением ориентации на карте склеивания. Хотя конструкция использует выбор шаров, результат уникален с точностью до гомеоморфизма. Можно также выполнить эту операцию в гладкой категории, и тогда результат уникален с точностью до диффеоморфизма. В гладком случае возникают тонкие проблемы: не каждый диффеоморфизм между границами сфер дает одно и то же составное многообразие, даже если ориентации выбраны правильно. Например, Милнор показал, что две 7-ячейки можно склеить вдоль их границы так, чтобы результатом стала экзотическая сфера, гомеоморфная, но не диффеоморфная 7-сфере. Однако существует канонический способ выбора склеивания, который дает единственную корректно определенную соединенную сумму. Выберем вложения и такими, что сохраняет ориентацию, а обращает ориентацию. Теперь получим из дизъюнктной суммы

путем отождествления с для каждого единичного вектора и каждого. Выберем ориентацию для , совместимую с и . Тот факт, что эта конструкция корректно определена, принципиально зависит от теоремы о диске, которая вовсе не очевидна. Подробности см. в [ссылке]. Операция соединенной суммы обозначается как . Операция соединенной суммы имеет сферу в качестве нейтрального элемента; то есть, гомеоморфна (или диффеоморфна) . Классификация замкнутых поверхностей, фундаментальный и исторически значимый результат в топологии, утверждает, что любую замкнутую поверхность можно представить как соединенную сумму сферы с некоторым числом торов и некоторым числом вещественных проективных плоскостей.

Соединенная сумма вдоль кодименционального двух подмножества

Еще один важный частный случай возникает, когда размерность пространства на два меньше размерности пространства . Тогда изоморфизм нормальных расслоений существует тогда и только тогда, когда их классы Эйлера противоположны по знаку:

Более того, в этом случае структурная группа нормальных расслоений является круговой группой ; из этого следует, что выбор вложений можно канонически отождествить с группой классов гомотопии отображений из в окружность, которая, в свою очередь, равна первой целочисленной группе когомологий. Таким образом, тип диффеоморфизма суммы зависит от выбора и выбора элемента из . Связанная вдоль кодименсии два сумма также может быть выполнена в категории симплектических многообразий; это уточнение называется симплектической суммой.

Местная деятельность

Соединенная сумма — это локальная операция на многообразиях, то есть она изменяет слагаемые только в окрестности некоторой точки. Это подразумевает, например, что сумму можно выполнить на одном многообразии, содержащем две непересекающиеся копии , что эквивалентно склеиванию этого многообразия самого с собой. Например, соединенная сумма двух сфер в двух различных точках сферы дает тор.