Кіріспе
Математикада гомологиялық болжамдар 1960 жылдардың басынан бері коммутативтік алгебрада зерттеулердің негізгі бағыты болып табылады. Олар бір-бірімен байланысты (кейде күтпегендей) болжамдарды қамтиды, олар коммутативтік сақинаның ішкі құрылымына, әсіресе оның Крулл өлшемі мен тереңдігіне қатысты әртүрлі гомологиялық қасиеттерді қарастырады. Мелвин Хохстердің төмендегі тізімі осы сала үшін шешуші деп есептеледі. Бұдан әрі, және Нотерлік коммутативтік сақиналарды білдіреді; максималды идеалы бар жергілікті сақина болады, ал және шекті түрде туындырылған модульдер. Нөлдік бөлгіш туралы теорема. Егер шекті проективтік өлшемге ие болса және сақинада нөлдік бөлгіш болмаса, онда сақинада да нөлдік бөлгіш болмайды. Басс сұрағы. Егер шекті инъективтік ажыратылысқа ие болса, онда Коэн-Маколей сақинасы болады. Қиылысу теоремасы. Егер шекті ұзындыққа ие болса, онда N-нің Крулл өлшемі (яғни, R модулінің N анигиляторына қатысты өлшемі) M-нің проективтік өлшемінен артық болмайды.
Жаңа қиылысу теоремасы. бос R модульдерінің шекті кешенін білдірсін, мұнда шекті ұзындыққа ие, бірақ 0 емес. Онда (Крулл өлшемі) Жақсартылған жаңа қиылысу болжамы. бос R модульдерінің шекті кешенін білдірсін, мұнда -ның ұзындығы шекті және R-дің максималды идеалының дәрежесімен өлтірілетін минималды генераторы бар. Онда Тікелей қосылғыш болжамы. Егер R тұрақты сақиналық кеңейтім болса, мұнда R реттеліп алынған (мұнда R жергілікті болуы міндетті емес, бірақ мәселе бірден жергілікті жағдайға дейін тоғытылады), онда R, R модулі ретінде S-тің тікелей қосылғышы болады. Бұл болжамды Ив Андре перфектоидты кеңістіктер теориясын қолдана отырып дәлелдеді. Канондық элемент болжамы. R үшін параметрлер жүйесі болсын, R-дің қалдық өрісінің бос R-ажыратылысы болсын, мұнда R-дің Козуль кешенін комплекс картасына қатысты білдіреді. параметрлер жүйесінің немесе көтерудің қандай таңдауы болмасын, соңғы карта 0-ге тең емес. Теңгерімделген үлкен Коэн-Маколей модульдерінің болуы туралы болжам. R модулі бар (қажетті түрде шекті түрде туындырылмаған), мұнда және R үшін кез келген параметрлер жүйесі W-де тұрақты реттілік болады.
Коэн-Маколейліктің тікелей қосылғыштары туралы болжам. Егер R, R модулі ретінде тұрақты сақина S-тің тікелей қосылғышы болса, онда R Коэн-Маколей болады (R жергілікті болуы міндетті емес, бірақ нәтиже бірден R жергілікті болған жағдайға дейін тоғытылады). Тор карталары үшін жоғалу болжамы. гомоморфизмдер болсын, мұнда R міндетті түрде жергілікті емес (бірақ оны осы жағдайға дейін тоғытуға болады), A және S реттеліп алынған және R, A модулі ретінде шекті түрде туындырылған. W кез келген A модулі болсын. Онда карта барлық жағдайларда 0-ге тең. Қуатты тікелей қосылғыш болжамы. толық жергілікті домендердің картасы болсын, ал Q, S-тің биіктігі 1-ге тең басты идеалы болсын, мұнда R және реттеліп алынған. Онда R модульдері ретінде қарастырылған Q-ның тікелей қосылғышы болады. Әлсіз функционалдық үлкен Коэн-Маколей алгебраларының болуы туралы болжам. толық жергілікті домендердің жергілікті гомоморфизмі болсын. Онда R алгебрасы BR бар, ол R үшін теңгерімделген үлкен Коэн-Маколей алгебрасы, S алгебрасы BS, ол S үшін теңгерімделген үлкен Коэн-Маколей алгебрасы және BR → BS гомоморфизмі бар, сондықтан осы карталар берген табиғи квадрат алмасады. Серрдің көптік туралы болжамы. (Сал. Серрдің көптік болжамдары.) R, d өлшемді реттеліп алынған және шекті ұзындыққа ие болсын. Онда , модульдер ұзындығының кезектесіп қосындысы 0-ге тең, егер , және егер қосынды d-ге тең болса, оң болады. (Ескерту: Жан-Пьер Серр қосындының d-ден аспайтынын дәлелдеді.) Кішкентай Коэн-Маколей модульдері туралы болжам. Егер R толық болса, онда M, R үшін кез келген (немесе барлық) параметрлер жүйесі M-де тұрақты реттілік болатын шекті түрде туындырылған R модулі бар.
The New Intersection Theorem. Let denote a finite complex of free R modules such that has finite length but is not 0. Then the (Krull dimension) The Improved New Intersection Conjecture. Let denote a finite complex of free R modules such that has finite length for and has a minimal generator that is killed by a power of the maximal ideal of R. Then The Direct Summand Conjecture. If is a module finite ring extension with R regular (here, R need not be local but the problem reduces at once to the local case), then R is a direct summand of S as an R module. The conjecture was proven by Yves André using a theory of perfectoid spaces. The Canonical Element Conjecture. Let be a system of parameters for R, let be a free R resolution of the residue field of R with , and let denote the Koszul complex of R with respect to Lift the identity map to a map of complexes. Then no matter what the choice of system of parameters or lifting, the last map from is not 0. Existence of Balanced Big Cohen–Macaulay Modules Conjecture. There exists a (not necessarily finitely generated) R module W such that mRW ≠ W and every system of parameters for R is a regular sequence on W.
Cohen Macaulayness of Direct Summands Conjecture. If R is a direct summand of a regular ring S as an R module, then R is Cohen–Macaulay (R need not be local, but the result reduces at once to the case where R is local). The Vanishing Conjecture for Maps of Tor. Let be homomorphisms where R is not necessarily local (one can reduce to that case however), with A, S regular and R finitely generated as an A module. Let W be any A module. Then the map is zero for all The Strong Direct Summand Conjecture. Let be a map of complete local domains, and let Q be a height one prime ideal of S lying over , where R and are both regular. Then is a direct summand of Q considered as R modules. Existence of Weakly Functorial Big Cohen Macaulay Algebras Conjecture. Let be a local homomorphism of complete local domains. Then there exists an R algebra BR that is a balanced big Cohen–Macaulay algebra for R, an S algebra that is a balanced big Cohen Macaulay algebra for S, and a homomorphism BR → BS such that the natural square given by these maps commutes. Serre's Conjecture on Multiplicities. (cf. Serre's multiplicity conjectures.) Suppose that R is regular of dimension d and that has finite length. Then , defined as the alternating sum of the lengths of the modules is 0 if , and is positive if the sum is equal to d. (N. B. Jean Pierre Serre proved that the sum cannot exceed d.)
Small Cohen–Macaulay Modules Conjecture. If R is complete, then there exists a finitely generated R module such that some (equivalently every) system of parameters for R is a regular sequence on M.