Кіріспе
Реалдық сандарды құрастыру әдісі – американдық дискі жазушысы кәсіби түрде Дедекинд кесуі деп танылады. Математикада Дедекинд кесулері, неміс математигі Рихард Дедекиндтің есімімен аталады (бірақ бұрын Джозеф Бертран қарастырған), бұл рационалдық сандардан нақты сандарды құрастырудың бір әдісі. Дедекинд кесуі – рационалдық сандарды А және В жиындарына бөлу, мұнда А жиынының әрбір мүшесі В жиынының әрбір мүшесінен кіші, ал А жиынында ең үлкен мүше жоқ. В жиынында рационалдық сандар арасында ең кіші мүше болуы мүмкін немесе болмауы мүмкін. Егер В жиынында рационалдық сандар арасында ең кіші мүше болса, онда кесу осы рационалдық санға сәйкес келеді. Әйтпесе, бұл кесу бірегей иррационалды санды анықтайды, ол шартты түрде А мен В арасындағы «үзілісті» толтырады. Басқаша айтқанда, А жиыны кесуден кіші барлық рационалдық сандарды қамтиды, ал В жиыны кесуден үлкен немесе оған тең барлық рационалдық сандарды қамтиды. Иррационалды кесу – екі жиынның біріне де кірмейтін иррационалды санға теңестіріледі. Кез келген нақты сан, рационалды немесе иррационалды, бір ғана рационалды кесуге теңестіріледі. Бұл кесу Дедекинд құрылымындағы иррационалды санды көрсетеді. Негізгі идея – біз жиынтықты пайдаланамыз, яғни квадраттары 2-ден кіші барлық рационалдық сандар жиынтығын, санды «бейнелеу» үшін, және одан әрі осы жиынтықтарға арифметикалық амалдарды дұрыс анықтап (қосу, алу, көбейту және бөлу), осы жиынтықтар (осы арифметикалық амалдармен бірге) таныс нақты сандарды құрайды. Мұны көрсету үшін, оның шын мәнінде кесу екенін (анықтама бойынша) және оның квадраты, яғни (кесулердің көбейтуі қалай анықталатынының нақты анықтамасы үшін жоғарыдағы сілтемені қараңыз), екенін көрсету керек (ескеріңіз, қатаң түрде бұл 2 саны кесу арқылы бейнеленеді). Бірінші бөлікті көрсету үшін, кез келген оң рационалдық сан үшін, мұндай рационалдық сан бар екенін көрсетеміз және таңдау жарамды, сондықтан ол шын мәнінде кесу. Енді кесулер арасындағы көбейтуді білгеннен кейін, оны тексеру оңай (негізінен, себебі ). Сондықтан, екенін көрсету үшін, екенін көрсету жеткілікті, және кез келген үшін, екенін көрсету жеткілікті. Мұны көрсету үшін, егер болса, онда жоғарыда құрылған үшін, оның квадраты сандық жақындауға жететін тізбек бар екенін байқаймыз, бұл дәлелді аяқтайды. Ескеріңіз, теңдігі 1=b^(2) = 2 орынды бола алмайды, өйткені рационалды емес.
the American record producer known professionally as Dedekind Cut
In mathematics, Dedekind cuts, named after German mathematician Richard Dedekind (but previously considered by Joseph Bertrand), are а method of construction of the real numbers from the rational numbers. A Dedekind cut is a partition of the rational numbers into two sets A and B, such that each element of A is less than every element of B, and A contains no greatest element. The set B may or may not have a smallest element among the rationals. If B has a smallest element among the rationals, the cut corresponds to that rational. Otherwise, that cut defines a unique irrational number which, loosely speaking, fills the "gap" between A and B. In other words, A contains every rational number less than the cut, and B contains every rational number greater than or equal to the cut. An irrational cut is equated to an irrational number which is in neither set. Every real number, rational or not, is equated to one and only one cut of rationals. This cut represents the irrational number in Dedekind's construction. The essential idea is that we use a set , which is the set of all rational numbers whose squares are less than 2, to "represent" number , and further, by defining properly arithmetic operators over these sets (addition, subtraction, multiplication, and division), these sets (together with these arithmetic operations) form the familiar real numbers. To establish this, one must show that really is a cut (according to the definition) and the square of , that is (please refer to the link above for the precise definition of how the multiplication of cuts is defined), is (note that rigorously speaking this number 2 is represented by a cut ). To show the first part, we show that for any positive rational with , there is a rational with and The choice works, thus is indeed a cut. Now armed with the multiplication between cuts, it is easy to check that (essentially, this is because ). Therefore to show that , we show that , and it suffices to show that for any , there exists , For this we notice that if , then for the constructed above, this means that we have a sequence in whose square can become arbitrarily close to , which finishes the proof. Note that the equality 1=b^(2) = 2 cannot hold since is not rational.
Кездейсоқ сызықтық реттелген жиынтықтар
X кездейсоқ сызықтық реттелген жиынның жалпы жағдайында кесу – бұл <A, B> жұбы, мұндағы x ∈ A және y ∈ B үшін x < y болады. Кейбір авторлар A және B жиындарының екеуі де бос емес екендігін қосымша талап етеді. Егер A жиынының максималды элементі болмаса және B жиынының минималды элементі болмаса, онда бұл кесу саңылау деп аталады. Рет топологиясымен жабдықталған сызықтық реттелген жиын, егер ол саңылауға ие болмаса ғана, компактты болады.
Нақты емес сандар
Дедекинд кесулеріне ұқсас конструкция сюрреалистік сандарды құрудың (көптеген мүмкін жолдардың бірі) үшін қолданылады. Бұл жағдайдағы маңызды түсінік – испан математигінің құрметіне аталған Куэста Дутари кесуі.
Ішінара реттелген жиынтықтар
Жалпы алғанда, егер S ішінара реттелген жиын болса, S-тің толықтығы – S-тің L-ге реттік ендірілуімен толық торды білдіреді. Толық тор ұғымы нақты сандардың ең кіші жоғарғы шегінің қасиетін жалпылайды. S-тің бір толықтырылуы – оның төменнен жабық ішкі жиындарының жиыны, олар кіріктіру арқылы реттелген. S-тің барлық қолданыстағы жоғарғы және төменгі шектерін сақтайтын байланысты толықтыру келесі құрылым арқылы алынады: S-тің әрбір A ішкі жиыны үшін Au – A-ның жоғарғы шектерінің жиыны, ал Al – A-ның төменгі шектерінің жиыны болсын. (Бұл операторлар Галуа байланысын құрайды.) Содан кейін S-тің Дедекинд-Макнейл толықтырылуы (Dedekind–MacNeille completion) – (Au)l = A шартын қанағаттандыратын барлық A ішкі жиындарынан тұрады; ол кіріктіру арқылы реттелген. Дедекинд-Макнейл толықтырылуы – S-тің ішіне енгізілген ең кішкентай толық тор.