Введение

Метод построения действительных чисел
американский музыкальный продюсер, известный под псевдонимом Dedekind Cut

В математике, дедекиндовы разрезы, названные в честь немецкого математика Рихарда Дедекинда (но ранее рассматривавшиеся Джозефом Бертраном), являются методом построения действительных чисел из рациональных чисел. Дедекиндов разрез — это разбиение рациональных чисел на два множества A и B, такое что каждый элемент A меньше каждого элемента B, и множество A не содержит наибольшего элемента. Множество B может содержать или не содержать наименьший элемент среди рациональных чисел. Если B содержит наименьший элемент среди рациональных чисел, то разрез соответствует этому рациональному числу. В противном случае, этот разрез определяет единственное иррациональное число, которое, грубо говоря, заполняет «пробел» между A и B. Иными словами, A содержит каждое рациональное число, меньшее разреза, а B содержит каждое рациональное число, большее или равное разрезу. Иррациональный разрез приравнивается к иррациональному числу, которое не принадлежит ни одному из множеств. Каждое действительное число, рациональное или иррациональное, приравнивается к одному и только одному разрезу рациональных чисел. Этот разрез представляет иррациональное число в построении Дедекинда. Основная идея заключается в том, что мы используем множество, которое является множеством всех рациональных чисел, квадраты которых меньше 2, для «представления» числа √2, а затем, правильно определив арифметические операции над этими множествами (сложение, вычитание, умножение и деление), эти множества (вместе с этими арифметическими операциями) образуют привычные действительные числа. Чтобы это установить, необходимо показать, что √2 действительно является разрезом (в соответствии с определением) и квадрат √2, то есть 2 (пожалуйста, обратитесь к ссылке выше для точного определения того, как определено умножение разрезов), равен 2 (обратите внимание, что строго говоря число 2 представлено разрезом). Чтобы показать первую часть, мы покажем, что для любого положительного рационального числа ε > 0 существует рациональное число δ > 0 такое, что 0 < δ < ε. Выбор δ = ε/2 работает, таким образом, √2 действительно является разрезом. Теперь, располагая операцией умножения разрезов, легко проверить, что 2 = √2 * √2 (в основном, это потому, что √2 * √2 = 2). Следовательно, чтобы показать, что √2 * √2 = 2, мы показываем, что √2 * √2 ≥ 2, и достаточно показать, что для любого ε > 0 существует рациональное число δ > 0 такое, что 2 - √2 * √2 < ε. Для этого мы замечаем, что если √2 * √2 < 2, то для √2, построенного выше, это означает, что у нас есть последовательность в множестве √2, квадрат которой может быть сколь угодно близок к 2, что завершает доказательство. Обратите внимание, что равенство 1 = √2^(2) = 2 не может выполняться, поскольку √2 не является рациональным числом.

Произвольные линейно упорядоченные множества

В общем случае произвольного линейно упорядоченного множества X, разрез — это пара (A, B) такая, что A ∩ B = ∅ и для любого x, y ∈ X, если x ∈ A и y ∈ B, то x < y. Некоторые авторы добавляют требование, что как A, так и B непусты. Если A не имеет максимума и B не имеет минимума, то разрез называется провалом. Линейно упорядоченное множество, наделенное топологией порядка, является компактным тогда и только тогда, когда оно не содержит провалов.

Сюрреалистические цифры

Конструкция, напоминающая резки Дедекинда, используется для (одной из многих возможных) конструкций сюрреальных чисел. Соответствующим понятием в этом случае является рез Куэсты Дутари, названный в честь испанского математика.

Частично упорядоченные наборы

Более общим образом, если S – частично упорядоченное множество, то завершением S называется полная решетка L с упорядоченным вложением S в L. Понятие полной решетки обобщает свойство наименьшей верхней границы вещественных чисел. Одним из завершений S является множество всех его вниз-замкнутых подмножеств, упорядоченных по включению. Связанное завершение, сохраняющее все существующие супремумы и инфимумы S, получается следующим построением: для каждого подмножества A множества S обозначим через Au множество верхних границ A, а через Al – множество нижних границ A. (Эти операторы образуют галуа-сопряжение.) Тогда завершение Дедекина — Макнейла множества S состоит из всех подмножеств A, для которых (Au)l = A; оно упорядочено по включению. Завершение Дедекина — Макнейла является наименьшей полной решеткой, содержащей S как вложение.