Введение

Неформальные теории множеств

Наивная теория множеств – это любая из нескольких теорий множеств, используемых при обсуждении основ математики. В отличие от аксиоматических теорий множеств, которые определяются с помощью формальной логики, наивная теория множеств определяется неформально, естественным языком. Она описывает аспекты математических множеств, знакомые из дискретной математики (например, диаграммы Венна и символические рассуждения об их булевой алгебре), и достаточна для повседневного использования понятий теории множеств в современной математике. Множества имеют большое значение в математике; в современных формальных подходах большинство математических объектов (числа, отношения, функции и т.д.) определяются через множества. Наивной теории множеств достаточно для многих задач, а также она служит отправной точкой для более формальных подходов.

Метод

Наивная теория в смысле "наивной теории множеств" – это неформализованная теория, то есть теория, использующая естественный язык для описания множеств и операций над ними. Такая теория рассматривает множества как платонические абсолютные объекты. Слова "и", "или", "если… то", "не", "для некоторых", "для всех" используются в том же значении, что и в обычной математике. Для удобства использование наивной теории множеств и её формализма сохраняется даже в высшей математике, включая более формальные построения самой теории множеств. Первым развитием теории множеств была наивная теория множеств, созданная в конце XIX века Георгом Кантором в рамках его изучения бесконечных множеств и развитая Готлобом Фреге в его работе "Grundgesetze der Arithmetik". Термин "наивная теория множеств" может относиться к нескольким существенно различающимся понятиям: к неформальному изложению аксиоматической теории множеств, например, как в книге Пола Халмоса "Naive Set Theory", к ранним или поздним версиям теории Георга Кантора и другим неформальным системам, а также к явно противоречивым теориям (аксиоматическим или нет), таким как теория Готлоба Фреге, приведшая к парадоксу Рассела, и теории Джузеппе Пеано и Рихарда Дедекинда.

Парадоксальные ситуации

Предположение о том, что любое свойство может быть использовано для формирования множества без ограничений, приводит к парадоксам. Одним из распространенных примеров является парадокс Рассела: не существует множества, состоящего из «всех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента». Следовательно, непротиворечивые системы наивной теории множеств должны включать некоторые ограничения на принципы, используемые для формирования множеств.

Теория Кантора

Некоторые полагают, что теория множеств Георга Кантора на самом деле не была причиной возникновения парадоксов теории множеств (см. Frápolli 1991). Одна из сложностей в установлении этого с уверенностью заключается в том, что Кантор не предоставил аксиоматизацию своей системы. К 1899 году Кантор знал о некоторых парадоксах, вытекающих из неограниченного толкования его теории, например, о парадоксе Кантора и парадоксе Бурали-Форти, и не считал, что они опровергают его теорию. Парадокс Кантора на самом деле можно вывести из вышеупомянутого (неверного) предположения – что любое свойство P(x) может быть использовано для формирования множества – взяв за P(x) условие "x является кардинальным числом". Фреге явно аксиоматизировал теорию, в которой можно интерпретировать формализованную версию наивной теории множеств, и именно эту формальную теорию Бертран Рассел рассматривал, представляя свой парадокс, а не обязательно ту теорию, о которой думал Кантор, который, как уже упоминалось, был знаком с несколькими парадоксами и, вероятно, имел их в виду.

Аксиоматические теории

Аксиоматическая теория множеств была разработана в ответ на эти ранние попытки понять множества, с целью точного определения допустимых операций и условий их применения.

Последовательность

Наивная теория множеств не обязательно является противоречивой, если она корректно определяет, какие множества допустимо рассматривать. Это можно сделать посредством определений, которые выступают в качестве неявных аксиом. Возможно явно сформулировать все аксиомы, как это сделано в наивной теории множеств Халмоса, которая фактически представляет собой неформальное изложение обычной аксиоматической теории множеств Цермело — Френкеля. Она называется "наивной" из-за использования языка и обозначений, характерных для обычной неформальной математики, а также из-за отсутствия рассмотрения вопросов согласованности или полноты аксиоматической системы. Аналогично, аксиоматическая теория множеств не обязательно является согласованной: она не обязательно свободна от парадоксов. Из теорем Гёделя о неполноте следует, что достаточно сложная система логики первого порядка (которая включает в себя большинство распространенных аксиоматических теорий множеств) не может быть доказана согласованной средствами самой теории – даже если она фактически согласована. Однако общепринятые аксиоматические системы обычно считаются согласованными; их аксиомы исключают некоторые парадоксы, такие как парадокс Рассела. Основываясь на теореме Гёделя, мы просто не знаем – и никогда не сможем узнать – существуют ли вообще какие-либо парадоксы в этих теориях или в любой теории множеств первого порядка. Термин "наивная теория множеств" до сих пор в некоторых источниках используется для обозначения теорий множеств, изучавшихся Фреге и Кантором, а не неформальных аналогов современной аксиоматической теории множеств.

Утилита

Выбор между аксиоматическим подходом и другими подходами во многом определяется удобством. В обычной математической практике лучшим выбором может быть неформальное использование аксиоматической теории множеств. Ссылки на конкретные аксиомы обычно появляются только тогда, когда этого требует традиция, например, аксиома выбора часто упоминается при её применении. Аналогично, формальные доказательства используются лишь тогда, когда это оправдано особыми обстоятельствами. Такое неформальное использование аксиоматической теории множеств может (в зависимости от используемых обозначений) выглядеть точно так же, как наивная теория множеств, описанная ниже. Оно значительно легче читается и записывается (при формулировании большинства утверждений, доказательств и ходе рассуждений) и менее подвержено ошибкам, чем строго формальный подход.

Набор, членство и равенство

В наивной теории множеств множество описывается как чётко определённое объединение объектов. Эти объекты называются элементами или членами множества. Объектами могут быть любые: числа, люди, другие множества и так далее. Например, 4 является элементом множества всех чётных целых чисел. Очевидно, что множество чётных чисел бесконечно; не существует требования, чтобы множество было конечным. Определение множеств восходит к Георгу Кантору. В своей статье 1915 года «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre» он писал:

“Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.” – Georg Cantor
“Множество – это объединение в единое целое определённых, различных объектов нашего восприятия или нашего мышления, которые называются элементами множества.” – Georg Cantor

Примечание о последовательности

Из этого определения не следует, каким образом формируются множества и какие операции над множествами приводят к образованию нового множества. Термин "хорошо определенный" в выражении "хорошо определенное множество объектов" сам по себе не гарантирует непротиворечивость и однозначность того, что именно является множеством, а что – нет. Попытка добиться этого относится к области аксиоматической теории множеств или аксиоматической теории классов. Проблема, в данном контексте, с неформально сформулированными теориями множеств, не вытекающими из (и не подразумевающими) какой-либо конкретной аксиоматической теории, заключается в том, что может существовать несколько существенно различающихся формализованных версий, которые имеют как различные множества, так и различные правила формирования новых множеств, но при этом все соответствуют исходному неформальному определению. Например, дословное определение Кантора допускает значительную свободу в определении того, что может составлять множество. С другой стороны, вряд ли Кантор проявлял особый интерес к множествам, содержащим кошек и собак, а скорее – к множествам, содержащим исключительно математические объекты. Примером такого класса множеств может служить Вселенная фон Неймана. Но даже при фиксации рассматриваемого класса множеств не всегда ясно, какие правила формирования множеств допустимы без введения парадоксов. Для целей дальнейшего обсуждения термин "хорошо определенный" следует понимать как намерение, подкрепленное явными или неявными правилами (аксиомами или определениями), исключить противоречия. Цель состоит в том, чтобы отделить часто сложные и трудные вопросы непротиворечивости от обычно более простого рассматриваемого контекста. Явное исключение всех возможных противоречий (парадоксов) в любом случае недостижимо для аксиоматической теории множеств в силу второй теоремы о неполноте Гёделя, поэтому это нисколько не умаляет полезности наивной теории множеств по сравнению с аксиоматической теорией множеств в простых контекстах, рассматриваемых ниже. Это лишь упрощает обсуждение. Начиная с этого момента, непротиворечивость принимается как данность, если не указано иное.

Членство

Если x является элементом множества A, то также говорят, что x принадлежит A, или что x находится в A. Это обозначается как x ∈ A. Символ ∈ является производным от строчной греческой буквы эпсилон, "ε", введенной Джузеппе Пеано в 1889 году и является первой буквой слова ἐστί (означает "является"). Символ ∉ часто используется для записи x ∉ A, что означает "x не принадлежит A".

Равенство

Два множества A и B считаются равными, если они содержат одни и те же элементы, то есть, если каждый элемент множества A является элементом множества B и каждый элемент множества B является элементом множества A. (См. аксиому экстенсиональности.) Следовательно, множество полностью определяется своими элементами; способ его описания несущественен. Например, множество, содержащее элементы 2, 3 и 5, равно множеству всех простых чисел, меньших 6. Если множества A и B равны, это обозначается символически как A = B (как обычно).

Пустой набор

Пустое множество, обозначаемое как ∅ и иногда {}, представляет собой множество, не содержащее ни одного элемента. Поскольку множество полностью определяется своими элементами, может существовать только одно пустое множество. (См. аксиому о пустом множестве.) Хотя пустое множество не содержит элементов, оно может являться элементом других множеств. Например, ∅ ∈ {∅}, поскольку первое не содержит элементов, а второе содержит один элемент.