Тензорлық есептеу – векторлық есептеудің кеңейтілген түрі. Физика, инженерия, машиналық оқуда қолданылады. Эйнштейннің теориясында маңызды рөл атқарады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Векторлық есептеудің тензорларға кеңейтілуі
Extension of vector calculus to tensors
Математикада тензорлық есептеу, тензорлық талдау немесе Риччи есептеулері – векторлық есептеудің тензорлық өрістерге (көптүрлілікте өзгеруі мүмкін тензорлар, мысалы, кеңістік-уақытта) кеңейтілуі болып табылады. Грегорио Риччи Курбастро және оның шәкірті Туллио Леви-Чивита жасаған бұл әдіс Альберт Эйнштейннің жалпы салыстырмалылық теориясын жасау үшін қолданылды. Инфинитезимальды есептеуден өзгеше, тензорлық есептеу физикалық теңдеулерді көптүрліліктің координаттарын таңдауға тәуелсіз түрде беруге мүмкіндік береді. Тензорлық есептеу физика, инженерия және компьютерлік ғылымдарда, соның ішінде серпімділік, үздіксіз механика, электромагнетизм (электромагниттік өрістің математикалық сипаттамаларына қараңыз), жалпы салыстырмалылық теориясы (жалпы салыстырмалылықтың математикасына қараңыз), кванттық өріс теориясы және машиналық оқыту салаларында көптеген қолданымдарға ие. Сыртқы есептеудің жақтаушысы Ели Картанмен бірге жұмыс істеген, ықпалды геометр Шиинг Шен Черн тензорлық есептеудің рөлін былай қорытындылайды: «Біздің дифференциалдық геометриямызда, көптүрліліктер туралы сөйлегенде, геометрия координаттармен сипатталады, бірақ координаттардың өзінің мәні жоқ. Олар өзгеріске ұшырауы мүмкін. Мұндай жағдайды шешу үшін маңызды құрал – тензорлық талдау немесе Риччи есептеулері, бұл математиктер үшін жаңалық болды. Математикада сіз функцияны жазасыз, есептейсіз, қосасыз, көбейтісіз немесе дифференциалдайсыз. Сізде өте нақты нәрсе болады. Геометрияда геометриялық жағдай сандармен сипатталады, бірақ сіз сандарды кез келген түрде өзгерте аласыз. Сондықтан мұны шешу үшін Риччи есептеулері қажет.»
In mathematics, tensor calculus, tensor analysis, or Ricci calculus is an extension of vector calculus to tensor fields (tensors that may vary over a manifold, e. g. in spacetime). Developed by Gregorio Ricci Curbastro and his student Tullio Levi Civita, it was used by Albert Einstein to develop his general theory of relativity. Unlike the infinitesimal calculus, tensor calculus allows presentation of physics equations in a form that is independent of the choice of coordinates on the manifold. Tensor calculus has many applications in physics, engineering and computer science including elasticity, continuum mechanics, electromagnetism (see mathematical descriptions of the electromagnetic field), general relativity (see mathematics of general relativity), quantum field theory, and machine learning. Working with a main proponent of the exterior calculus Elie Cartan, the influential geometer Shiing Shen Chern summarizes the role of tensor calculus:In our subject of differential geometry, where you talk about manifolds, one difficulty is that the geometry is described by coordinates, but the coordinates do not have meaning. They are allowed to undergo transformation. And in order to handle this kind of situation, an important tool is the so called tensor analysis, or Ricci calculus, which was new to mathematicians. In mathematics you have a function, you write down the function, you calculate, or you add, or you multiply, or you can differentiate. You have something very concrete. In geometry the geometric situation is described by numbers, but you can change your numbers arbitrarily. So to handle this, you need the Ricci calculus.
Синтаксисі
Тензорлық белгілеу объектілердегі жоғарғы және төменгі индекстерді пайдаланады, олар өзгермелі объектіні ковариантты (төменгі индекс), контравариантты (жоғарғы индекс) немесе аралас ковариантты және контравариантты (жоғарғы және төменгі индекстері бар) деп белгілеуге мүмкіндік береді. Шындығында, дәстүрлі математикалық синтаксисте біз ковариантты индекстерді Картезиандық координаттар жүйесімен жиі жұмыс істегенде пайдаланамыз, бірақ бұл тензорлық белгілеудің ковариантты индекстелген компоненттер ретінде шектеулі қолданылуы екенін көбінесе түсінбейміз. Тензорлық белгілеу объектідегі жоғарғы индекске рұқсат береді, ол дәстүрлі математикалық синтаксистегі әдеттегі дәрежелеу операцияларымен шатастырылуы мүмкін.
Tensor notation makes use of upper and lower indexes on objects that are used to label a variable object as covariant (lower index), contravariant (upper index), or mixed covariant and contravariant (having both upper and lower indexes). In fact in conventional math syntax we make use of covariant indexes when dealing with Cartesian coordinate systems frequently without realizing this is a limited use of tensor syntax as covariant indexed components. Tensor notation allows upper index on an object that may be confused with normal power operations from conventional math syntax.
Вектордың ыдырауы
Тензорлық белгілеу векторды Эйнштейн қосындысына жіктеуге мүмкіндік береді, ол негізгі вектордың (немесе ) компоненттік вектормен (немесе ) тензорлық жиырылуын білдіреді. Кез келген вектордың екі түрлі бейнеленуі бар: біреуі – ковариантты негізге ие контравариантты компонент, ал екіншісі – контравариантты негізге ие ковариантты компонент. Барлық жоғарғы индекстері бар тензор объектілері контравариантты, ал барлық төменгі индекстері бар тензор объектілері ковариантты деп аталады. Контравариантты және ковариантты ажырату қажеттілігі кездейсоқ векторды оның негіздік векторымен белгілі бір координаттар жүйесіне байланысты көбейту кезінде туындайды. Осы көбейтуді негіздік вектордың кездейсоқ векторға проекциясы ретінде, немесе кездейсоқ вектордың негіздік векторға проекциясы ретінде қарастыруға болады. Екі түсіндіру де толыққанды эквивалентті, бірақ әртүрлі компоненттері мен әртүрлі негіздік векторлары бар.
Tensors notation allows a vector to be decomposed into an Einstein summation representing the tensor contraction of a basis vector ( or ) with a component vector ( or ). Every vector has two different representations, one referred to as contravariant component with a covariant basis , and the other as a covariant component with a contravariant basis Tensor objects with all upper indexes are referred to as contravariant, and tensor objects with all lower indexes are referred to as covariant. The need to distinguish between contravariant and covariant arises from the fact that when we dot an arbitrary vector with its basis vector related to a particular coordinate system, there are two ways of interpreting this dot product, either we view it as the projection of the basis vector onto the arbitrary vector, or we view it as the projection of the arbitrary vector onto the basis vector, both views of the dot product are entirely equivalent, but have different component elements and different basis vectors:
Мысалы, физикада векторлық өрістен бастап, оны ковариантты негізге қатысты жіктесек, контравариантты координаттарды аламыз. Ортонормалды картезиялық координаттар үшін ковариантты және контравариантты негіздер бірдей, себебі бұл жағдайда негіздік жиын тек бірлік матрицасынан тұрады. Алайда, полярлық немесе сфералық сияқты аффиндік емес координаттар жүйесі үшін координаттар жүйесінің компоненттерін алу үшін контравариантты немесе ковариантты негізді қолдану арқылы жіктеуді ажырату қажет.
For example, in physics you start with a vector field, you decompose it with respect to the covariant basis, and that's how you get the contravariant coordinates. For orthonormal cartesian coordinates, the covariant and contravariant basis are identical, since the basis set in this case is just the identity matrix, however, for non affine coordinate system such as polar or spherical there is a need to distinguish between decomposition by use of contravariant or covariant basis set for generating the components of the coordinate system.