Тензорное исчисление: расширение векторного анализа для тензорных полей. Применение в физике, инженерии, машинном обучении и общей теории относительности.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Расширение векторного исчисления на тензоры
Extension of vector calculus to tensors
В математике тензорное исчисление, тензорный анализ или исчисление Риччи — это расширение векторного исчисления на тензорные поля (тензоры, которые могут изменяться на многообразии, например, в пространстве-времени). Разработанное Грегорио Риччи Курбастро и его учеником Туллио Леви-Чивитой, оно было использовано Альбертом Эйнштейном при разработке его общей теории относительности. В отличие от дифференциального исчисления, тензорное исчисление позволяет представлять физические уравнения в форме, не зависящей от выбора координат на многообразии. Тензорное исчисление имеет множество применений в физике, инженерии и информатике, включая упругость, механику сплошных сред, электромагнетизм (см. математические описания электромагнитного поля), общую теорию относительности (см. математику общей теории относительности), квантовую теорию поля и машинное обучение. Работая с ведущим сторонником внешнего исчисления Эли Картаном, влиятельный геометр Шиинг Шен Черн резюмирует роль тензорного исчисления: В нашей области дифференциальной геометрии, где речь идет о многообразиях, одна из трудностей заключается в том, что геометрия описывается координатами, но сами координаты не имеют физического смысла. Им разрешено подвергаться преобразованиям. И для работы с такой ситуацией важным инструментом является так называемый тензорный анализ, или исчисление Риччи, которое было новым для математиков. В математике у вас есть функция, вы записываете функцию, вычисляете, складываете, умножаете или дифференцируете. У вас есть нечто вполне конкретное. В геометрии геометрическая ситуация описывается числами, но вы можете произвольно изменять эти числа. Поэтому для работы с этим вам необходимо исчисление Риччи.
In mathematics, tensor calculus, tensor analysis, or Ricci calculus is an extension of vector calculus to tensor fields (tensors that may vary over a manifold, e. g. in spacetime). Developed by Gregorio Ricci Curbastro and his student Tullio Levi Civita, it was used by Albert Einstein to develop his general theory of relativity. Unlike the infinitesimal calculus, tensor calculus allows presentation of physics equations in a form that is independent of the choice of coordinates on the manifold. Tensor calculus has many applications in physics, engineering and computer science including elasticity, continuum mechanics, electromagnetism (see mathematical descriptions of the electromagnetic field), general relativity (see mathematics of general relativity), quantum field theory, and machine learning. Working with a main proponent of the exterior calculus Elie Cartan, the influential geometer Shiing Shen Chern summarizes the role of tensor calculus:In our subject of differential geometry, where you talk about manifolds, one difficulty is that the geometry is described by coordinates, but the coordinates do not have meaning. They are allowed to undergo transformation. And in order to handle this kind of situation, an important tool is the so called tensor analysis, or Ricci calculus, which was new to mathematicians. In mathematics you have a function, you write down the function, you calculate, or you add, or you multiply, or you can differentiate. You have something very concrete. In geometry the geometric situation is described by numbers, but you can change your numbers arbitrarily. So to handle this, you need the Ricci calculus.
Синтаксис
Тензорная нотация использует верхние и нижние индексы у объектов для обозначения переменного объекта как ковариантного (нижний индекс), контравариантного (верхний индекс) или смешанного ковариантного и контравариантного (имеющего как верхние, так и нижние индексы). Фактически, в общепринятом математическом синтаксисе мы часто используем ковариантные индексы при работе с декартовыми системами координат, не осознавая, что это лишь ограниченное применение тензорного синтаксиса в виде ковариантно индексированных компонент. Тензорная нотация допускает использование верхнего индекса у объекта, что может быть ошибочно принято за обычные операции возведения в степень в общепринятом математическом синтаксисе.
Tensor notation makes use of upper and lower indexes on objects that are used to label a variable object as covariant (lower index), contravariant (upper index), or mixed covariant and contravariant (having both upper and lower indexes). In fact in conventional math syntax we make use of covariant indexes when dealing with Cartesian coordinate systems frequently without realizing this is a limited use of tensor syntax as covariant indexed components. Tensor notation allows upper index on an object that may be confused with normal power operations from conventional math syntax.
Разложение векторов
Тензорная нотация позволяет разложить вектор на сумму Эйнштейна, представляющую тензорное сокращение базисного вектора (или) с компонентным вектором (или). Каждый вектор имеет два различных представления: контравариантное, с ковариантным базисом , и ковариантное, с контравариантным базисом . Тензорные объекты со всеми верхними индексами называются контравариантными, а тензорные объекты со всеми нижними индексами – ковариантными. Необходимость различать контравариантные и ковариантные компоненты возникает из-за того, что при скалярном произведении произвольного вектора с его базисным вектором, связанным с конкретной системой координат, существуют два способа интерпретации этого скалярного произведения: либо как проекцию базисного вектора на произвольный вектор, либо как проекцию произвольного вектора на базисный вектор. Оба взгляда на скалярное произведение полностью эквивалентны, но приводят к различным компонентам и различным базисным векторам.
Tensors notation allows a vector to be decomposed into an Einstein summation representing the tensor contraction of a basis vector ( or ) with a component vector ( or ). Every vector has two different representations, one referred to as contravariant component with a covariant basis , and the other as a covariant component with a contravariant basis Tensor objects with all upper indexes are referred to as contravariant, and tensor objects with all lower indexes are referred to as covariant. The need to distinguish between contravariant and covariant arises from the fact that when we dot an arbitrary vector with its basis vector related to a particular coordinate system, there are two ways of interpreting this dot product, either we view it as the projection of the basis vector onto the arbitrary vector, or we view it as the projection of the arbitrary vector onto the basis vector, both views of the dot product are entirely equivalent, but have different component elements and different basis vectors:
Например, в физике мы начинаем с векторного поля, раскладываем его относительно ковариантного базиса, и таким образом получаем контравариантные координаты. Для ортонормальных декартовых координат ковариантный и контравариантный базисы совпадают, поскольку в этом случае базис представляет собой единичную матрицу. Однако для неаффинных систем координат, таких как полярная или сферическая, необходимо различать разложение с использованием контравариантного или ковариантного базиса для получения компонент системы координат.
For example, in physics you start with a vector field, you decompose it with respect to the covariant basis, and that's how you get the contravariant coordinates. For orthonormal cartesian coordinates, the covariant and contravariant basis are identical, since the basis set in this case is just the identity matrix, however, for non affine coordinate system such as polar or spherical there is a need to distinguish between decomposition by use of contravariant or covariant basis set for generating the components of the coordinate system.