Кеңістік өлшемі

Кіріспе

Математикалық кеңістіктің қасиеттері – кеңістіктің өлшемдері. Физика мен математикада математикалық кеңістіктің (немесе объектінің) өлшемдері, оның ішіндегі кез келген нүктені анықтау үшін қажетті ең аз координаттар саны ретінде бейресми түрде анықталады. Демек, түзудің өлшемдері бір (1D), себебі оның нүктесін көрсету үшін бір ғана координат жеткілікті, мысалы, сандар түзуіндегі 5 нүктесі. Цилиндр немесе шардың беті сияқты бет екі өлшемді (2D), өйткені ондағы нүктені көрсету үшін екі координат қажет. Мысалы, шардың бетіндегі нүктені табу үшін ендік және бойлық координаттары қажет. Екі өлшемді Евклид кеңістігі – жазықтықтағы екі өлшемді кеңістік. Кубтың, цилиндрдің немесе шардың ішкі жағы үш өлшемді (3D), себебі осы кеңістіктердегі нүктені анықтау үшін үш координат қажет. Классикалық механикада кеңістік пен уақыт – екі бөлек санат, абсолютті кеңістік пен уақытқа сілтеме жасайды. Әлемді осылай – төрт өлшемді кеңістік ретінде қарастыруға болады, бірақ электромагнетизмді сипаттау үшін мұндай тұжырым қажет болған жоқ. Уақыт-кеңістіктің төрт өлшемдері (4D) – кеңістікте және уақытта абсолютті түрде анықталмаған, бірақ бақылаушының қозғалысына қатысты белгілі болатын оқиғалардан тұрады. Минковский кеңістігі алдымен гравитациясыз ғаламды жуықтап көрсетеді, ал жалпы салыстырмалылық теориясының псевдо-Риманн көптүрліліктері материя мен гравитациямен бірге уақыт-кеңістікті сипаттайды. 10 өлшем суперструна теориясын сипаттау үшін қолданылады (6D гиперғарыш + 4D), 11 өлшем супергравитация мен M-теориясын сипаттауға мүмкіндік береді (7D гиперғарыш + 4D), ал кванттық механиканың күй кеңістігі – шексіз өлшемді функция кеңістігі болып табылады. Өлшем ұғымы тек физикалық объектілермен ғана шектелмейді, ол математика мен ғылымда жиі кездеседі. Бұл Евклид кеңістіктері немесе жалпы параметрлік кеңістіктер, немесе Лагранж және Гамильтон механикасындағы сияқты конфигурациялық кеңістіктер болуы мүмкін; бұл физикалық кеңістікке тәуелсіз абстрактті кеңістіктер.

Математикадан

Математикада, объектінің өлшемділігі, шамамен айтқанда, осы объектіде қозғалатын нүктенің еркіндік дәрежелерінің саны. Басқаша айтқанда, өлшемділігі – объектіде болуға шектелген нүктенің орнын анықтау үшін қажетті тәуелсіз параметрлер немесе координаттар саны. Мысалы, нүктенің өлшемділігі нөлге тең; түзудің өлшемділігі бір, себебі нүкте түзуде тек бір бағытта (немесе оның кері бағытында) ғана қозғала алады; жазықтықтың өлшемділігі екі және т.б. Өлшемділік – объектінің ішкі қасиеті, ол объект орналасқан немесе орналасуы мүмкін кеңістіктің өлшемділігіне тәуелді емес. Мысалы, шеңбер сияқты қисық сызықтың өлшемділігі бір, себебі қисық сызықтағы нүктенің орны қисық бойымен қисықтағы белгілі бір нүктеге дейінгі арақашықтығымен анықталады. Бұл қисық сызық болмаса, екіден төмен өлшемді Евклид кеңістігіне енгізілмейтіндігіне тәуелсіз. Евклидтік n кеңістігінің өлшемділігі 'E'^(n) – n-ге тең. Басқа кеңістік түрлеріне көшуге тырысқанда, «'E'^(n) неліктен n өлшемді?» деген сұрақ туындайды. Бір жауап: 'E'^(n) кеңістігіндегі белгілі бір шарды радиусы ε-ға тең кішкентай шарлармен жабу үшін ε^(−n) шамасындағы кішкентай шарлар қажет. Бұл байқау Минковский өлшемділігінің және оның күрделі түрі – Хаусдорф өлшемділігінің анықтамасына әкеледі, бірақ бұл сұраққа басқа да жауаптар бар. Мысалы, 'E'^(n) кеңістігіндегі шардың шекарасы жергілікті түрде 'E'^(n-1) сияқты көрінеді, бұл индуктивті өлшемділік ұғымына алып келеді. Бұл ұғымдар 'E'^(n) үшін сәйкес келсе де, олар одан да жалпы кеңістіктерді қарастырғанда әртүрлі болып шығады. Тессеракт – төрт өлшемді объектінің мысалы. Математикадан тыс жерде «өлшемділік» термині мынадай мағынада қолданылады: «Тессеракттың төрт өлшемділігі бар», ал математиктер әдетте оны былай түйіндейді: «Тессеракттың өлшемділігі 4», немесе: «Тессеракт 4 өлшемді» немесе: 4D. Жоғары өлшемдер туралы түсінік Рене Декартқа дейін жетеді, бірақ жоғары өлшемді геометрияның маңызды дамуы тек 19 ғасырда Артур Кейли, Уильям Рован Гамильтон, Людвиг Шлефли және Бернхард Риманның еңбектері арқылы басталды. Риманның 1854 жылғы Habilitationsschrift еңбегі, Шлефлидің 1852 жылғы Theorie der vielfachen Kontinuität еңбегі және Гамильтонның кватерниондарды, ал Джон Т. Грейвстің 1843 жылғы октониондарды ашқандығы жоғары өлшемді геометрияның бастауын белгіледі. Осы бөлімнің қалған бөлігінде өлшемділіктің кейбір маңызды математикалық анықтамалары қарастырылады.

In mathematics, the dimension of an object is, roughly speaking, the number of degrees of freedom of a point that moves on this object. In other words, the dimension is the number of independent parameters or coordinates that are needed for defining the position of a point that is constrained to be on the object. For example, the dimension of a point is zero; the dimension of a line is one, as a point can move on a line in only one direction (or its opposite); the dimension of a plane is two etc. The dimension is an intrinsic property of an object, in the sense that it is independent of the dimension of the space in which the object is or can be embedded. For example, a curve, such as a circle, is of dimension one, because the position of a point on a curve is determined by its signed distance along the curve to a fixed point on the curve. This is independent from the fact that a curve cannot be embedded in a Euclidean space of dimension lower than two, unless it is a line. The dimension of Euclidean n space 'E'^(n) is n. When trying to generalize to other types of spaces, one is faced with the question "what makes 'E'^(n) n dimensional?" One answer is that to cover a fixed ball in 'E'^(n) by small balls of radius ε, one needs on the order of ε^(−n) such small balls. This observation leads to the definition of the Minkowski dimension and its more sophisticated variant, the Hausdorff dimension, but there are also other answers to that question. For example, the boundary of a ball in 'E'^(n) looks locally like 'E'^(n 1) and this leads to the notion of the inductive dimension. While these notions agree on 'E'^(n), they turn out to be different when one looks at more general spaces. A tesseract is an example of a four dimensional object. Whereas outside mathematics the use of the term "dimension" is as in: "A tesseract has four dimensions", mathematicians usually express this as: "The tesseract has dimension 4", or: "The dimension of the tesseract is 4" or: 4D. Although the notion of higher dimensions goes back to René Descartes, substantial development of a higher dimensional geometry only began in the 19th century, via the work of Arthur Cayley, William Rowan Hamilton, Ludwig Schläfli and Bernhard Riemann. Riemann's 1854 Habilitationsschrift, Schläfli's 1852 Theorie der vielfachen Kontinuität, and Hamilton's discovery of the quaternions and John T. Graves' discovery of the octonions in 1843 marked the beginning of higher dimensional geometry. The rest of this section examines some of the more important mathematical definitions of dimension.

Векторлық кеңістіктер

Векторлық кеңістіктің өлшемі – кеңістіктің кез келген базисіндегі векторлардың саны, яғни кез келген векторды анықтау үшін қажетті координаталар саны. Бұл өлшем түсінігі (базистің кардиналдығы) көбінесе Гамель өлшемі немесе алгебралық өлшем деп аталады, оны өлшемнің басқа түсініктерден ажырату мақсатында. Егер кеңістік еркін болмаса, бұл түсінік модульдің ұзындығы түсінігіне дейін жалпыланады.

Манифольдер

Әрбір байланысты топологиялық көпқабаттың бірегей анықталған өлшемін есептеуге болады. Байланысты топологиялық көптік Евклидтік n кеңістігіне жергілікті түрде гомеоморфты, онда n саны – көпқабаттың өлшемі. Байланысты дифференциалданатын көпқабаттар үшін өлшем кез келген нүктедегі жанама векторлық кеңістіктің өлшемімен бірдей. Геометриялық топологияда көпқабаттар теориясы 1 және 2 өлшемдерінің салыстырмалы түрде қарапайым екендігімен, жоғары өлшемді жағдайлардың "жұмыс істеуге" қосымша кеңістік болғандықтан оңайлатылатындығымен сипатталады; ал 3 және 4 өлшемдер кейбір жағдайларда ең қиын болып табылады. Бұл жағдай Поанкаре болжамының әртүрлі жағдайларында айқын байқалды, онда төрт түрлі дәлелдеу әдісі қолданылды.

Күрделі өлшем

Көптүрліліктің өлшемдері Евклид кеңістігі анықталатын базалық өріске байланысты. Анализ көбінесе көптүрлілік нақты сандар үстінде құрылған деп есептейді, бірақ күрделі көптүрліліктер мен алгебралық сорттарды зерттеу үшін күрделі сандар үстінде жұмыс істеу кейде тиімді. Күрделі сан (x + iy) нақты бөлігі x және жорамал бөлігі y-дан тұрады, мұнда x және y екеуі де нақты сандар; демек, күрделі өлшем нақты өлшемнің жартысына тең. Керісінше, алгебралық шектеулер жоқ жағдайларда, екі нақты өлшемді объектіге бір күрделі координаттар жүйесі қолданылуы мүмкін. Мысалы, қалыпты екі өлшемді шар бетіне күрделі метрика берілгенде, ол бір күрделі өлшемді Риман сферасына айналады.

Түрлері

Алгебралық түрліліктің өлшемі әртүрлі теңдей жолдармен анықталуы мүмкін. Ең интуитивті жолы – алгебралық түрліліктің кез келген тұрақты нүктесіндегі жанама кеңістіктің өлшемі. Тағы бір интуитивті тәсіл – өлшемді, түрлілік нүктелердің шекті санына дейін тоғысып қалатын қиылысуға жеткізу үшін қажетті гипержазықтықтар саны ретінде анықтау (өлшем нөл). Бұл анықтама сорттың гипержазықтықпен қиылысуы өлшемді бірге кемітеді, егер гипержазықтық сортты қамтымаса. Алгебралық жиын алгебралық түрліліктердің шекті біріктігі болғандықтан, оның өлшемі оның құраушы бөліктерінің өлшемдерінің ең жоғарғысы болып табылады. Бұл берілген алгебралық жиынның кіші түрліліктерінің тізбектерінің ең ұзын ұзындығына тең (мұндай тізбектің ұзындығы ""). Әр түрлілік алгебралық стек ретінде қарастырылуы мүмкін, және оның түрлілік ретіндегі өлшемі, стек ретіндегі өлшемімен сәйкес келеді. Дегенмен, түрліліктерге сәйкес келмейтін көптеген стектер бар, және олардың кейбіреулері теріс өлшемге ие. Атап айтқанда, егер V – өлшемі m түрлілігі болса және G – V-ге әсер ететін n өлшемді алгебралық топ болса, онда [V/G] бөліктік стегінің өлшемі m – n-ге тең болады.

Крулдың өлшемі

Коммутативті сақинаның Крулл өлшемі – ондағы жай идеалдар тізбектерінің ең ұзын ұзындығы, ал n ұзындығындағы тізбек – кіріктіру арқылы байланысқан жай идеалдардың тізбегі болып табылады. Ол алгебралық сан түрлерінің өлшемімен тығыз байланысты, себебі сан түріндегі көпмүшелер сақинасының кіші түрлері мен жай идеалдары арасында табиғи сәйкестік бар. Егер және тек қана оның Крулл өлшемі 0 болса, онда өріс үстіндегі алгебраның векторлық кеңістік ретіндегі өлшемі шекті болады.

Топологиялық кеңістіктер

Кез келген қалыпты топологиялық X кеңістігі үшін X-тің Лебег қаптама өлшемі, келесі шарт орындалатын ең кіші бүтін сан n деп анықталады: кез келген ашық қаптаманың ашық тазартуы бар (әрбір элементі бірінші қаптамадағы элементтің ішкі жиыны болатын екінші ашық қаптама), онда ешбір нүкте n+1 элементтен артық кірмейді. Бұл жағдайда dim. Егер X – көпқырлы болса, онда бұл өлшем жоғарыда аталған өлшеммен сәйкес келеді. Егер мұндай n бүтін саны болмаса, онда X-тің өлшемі шексіз деп есептеледі және dim деп жазылады. Сонымен қатар, X-тің өлшемі -1, яғни dim, тек қана X бос болған жағдайда ғана болады. Қаптама өлшемінің бұл анықтамасын «қалыпты кеңістіктер» класынан барлық Tychonoff кеңістіктеріне, анықтамадағы «ашық» терминін «функционалдық ашық» терминімен алмастыру арқылы кеңейтуге болады. Индуктивті өлшем индуктивті түрде келесідей анықталады. Нүктелердің дискретті жиыны (мысалы, нүктелердің шекті жиыны) 0 өлшемді деп есептелінеді. 0 өлшемді нысанды қандай да бір бағытта жылжыту арқылы 1 өлшемді нысан алынады. 1 өлшемді нысанды жаңа бағытта жылжыту арқылы 2 өлшемді нысан алынады. Жалпы алғанда, n өлшемді нысанды жаңа бағытта жылжыту арқылы (n+1) өлшемді нысан алынады. Топологиялық кеңістіктің индуктивті өлшемі кішкентай индуктивті өлшемге немесе үлкен индуктивті өлшемге сілтеме жасай алады және метрикалық кеңістіктерде шарлардың n өлшемді шекаралары бар деген ұқсастыққа негізделген, ашық жиындардың шекараларының өлшемдеріне сүйенетін индуктивті анықтаманы құруға мүмкіндік береді. Сонымен қатар, нүктелердің дискретті жиынының шекарасы бос жиын болып табылады, сондықтан бос жиынды 0 өлшемді деп қарастыруға болады. Сол сияқты, CW кешендер класы үшін нысанның өлшемі – n скелеті бөлшекті емес ең үлкен n саны болып табылады. Бұны интуитивті түрде былай түсіндіруге болады: егер бастапқы кеңістікті күрделі беттерінде біріктірілген жоғары өлшемді үшбұрыштар жиынына үздіксіз түрлендіруге болады, онда нысанның өлшемі осы үшбұрыштардың өлшемімен анықталады.

For any normal topological space X, the Lebesgue covering dimension of X is defined to be the smallest integer n for which the following holds: any open cover has an open refinement (a second open cover in which each element is a subset of an element in the first cover) such that no point is included in more than n + 1 elements. In this case dim For X a manifold, this coincides with the dimension mentioned above. If no such integer n exists, then the dimension of X is said to be infinite, and one writes dim Moreover, X has dimension −1, i. e. dim if and only if X is empty. This definition of covering dimension can be extended from the class of normal spaces to all Tychonoff spaces merely by replacing the term "open" in the definition by the term "functionally open". An inductive dimension may be defined inductively as follows. Consider a discrete set of points (such as a finite collection of points) to be 0 dimensional. By dragging a 0 dimensional object in some direction, one obtains a 1 dimensional object. By dragging a 1 dimensional object in a new direction, one obtains a 2 dimensional object. In general one obtains an (n + 1) dimensional object by dragging an n dimensional object in a new direction. The inductive dimension of a topological space may refer to the small inductive dimension or the large inductive dimension, and is based on the analogy that, in the case of metric spaces, balls have n dimensional boundaries, permitting an inductive definition based on the dimension of the boundaries of open sets. Moreover, the boundary of a discrete set of points is the empty set, and therefore the empty set can be taken to have dimension 1. Similarly, for the class of CW complexes, the dimension of an object is the largest n for which the n skeleton is nontrivial. Intuitively, this can be described as follows: if the original space can be continuously deformed into a collection of higher dimensional triangles joined at their faces with a complicated surface, then the dimension of the object is the dimension of those triangles.

Хаусдорф өлшемдері

Хаусдорф өлшемдері күрделі құрылымды жиындықтарды, әсіресе фракталдарды зерттеуге көмектеседі. Хаусдорф өлшемдері барлық метрикалық кеңістіктер үшін анықталады және жоғарыда қарастырылған өлшемдерден өзгеше, бүтін емес нақты мәндерге де ие болуы мүмкін. Қорап өлшем немесе Минковский өлшем – осы идеяның бір түрі. Жалпы алғанда, өте ретсіз жиындықтар үшін қолданылатын және бүтін емес оң нақты мәндерге жететін фракталдық өлшемдердің көптеген анықтамалары бар.

Гилберт кеңістіктері

Әрбір Гильберт кеңістігі ортонормалды негізге ие, және нақты бір кеңістік үшін кез келген екі мұндай негіздің кардиналдығы бірдей болады. Бұл кардиналдылық Гильберт кеңістігінің өлшемі деп аталады. Бұл өлшем шекті, егер және ғана егер кеңістіктің Хамель өлшемі шекті болса, және осы жағдайда екі өлшем сәйкес келеді.

Уақыт

Уақыт өлшемі, немесе уақыт бойынша өлшем – уақыттың бір өлшемі. Осы себепті уақыт көбінесе «төртінші өлшем» деп аталады, бірақ бұл оның кеңістіктік өлшем екенін білдірмейді. Уақыт өлшемі – физикалық өзгерістерді өлшеудің бір жолы. Ол үш кеңістіктік өлшемнен өзгеше қабылданады, себебі одан тек біреу ғана бар, және біз уақытта еркін қозғала алмаймыз, тек бір бағытта субъективті түрде қозғаламыз. Физикада шындықты модельдеуге қолданылатын теңдеулер уақытты адамдардың әдетте қабылдайтын тәсілмен қарастырмайды. Классикалық механика теңдеулері уақытқа қатысты симметриялы, ал кванттық механика теңдеулері әдетте, уақыт пен басқа шамалар (мысалы, заряд және паритет) кері қайтарылғанда симметриялы болады. Бұл модельдерде уақыттың бір бағытта ағып жатқанындай сезілуі – термодинамика заңдарының салдары (біз уақытты энтропияның арту бағытында ағып жатқандай түсінеміз). Уақытты өлшем ретінде ең жақсы танылған қарастырылуы – Пуанкаре мен Эйнштейннің арнайы салыстырмалылық теориясы (және жалпы салыстырмалылыққа дейін кеңейтілгені), ол қабылданатын кеңістік пен уақытты төрт өлшемді көптіктердің құрамдас бөліктері ретінде қарастырады, ол кеңістік-уақыт деп аталады, ал ерекше, тегіс жағдайда – Минковский кеңістігі. Уақыт басқа кеңістіктік өлшемдерден өзгеше, себебі уақыт барлық кеңістіктік өлшемдерде әрекет етеді. Уақыт бірінші, екінші және үшінші, сондай-ақ төртінші кеңістіктік өлшем сияқты теориялық кеңістіктік өлшемдерде де әрекет етеді. Дегенмен, уақыт геометриялық нүкте ретінде анықталған абсолютті шексіздіктің бір нүктесінде болмайды, себебі шексіз кішкентай нүктеде өзгеріс болмайды, демек уақыт та болмайды. Дәл сол сияқты, зат кеңістіктегі орнын өзгертетіндей, ол уақыт аралығында да орнын өзгертеді. Осы мағынада, кез келген затты өзгертуге итермелейтін күш – уақыт.

Қосымша өлшемдер

Физикада кеңістіктің үш өлшемі және уақыттың бір өлшемі қабылданған норма болып табылады. Дегенмен, төрт негізгі күшті біріктіруге тырысатын, қосымша өлшемдер/гиперкөлікті енгізетін теориялар бар. Ең танымал мысал – суперкөз теориясы, ол 10 кеңістік-уақыт өлшемін қажет етеді және бұрынғы бес түрлі суперкөз теориясын қамтитын, шамамен М теориясы деп аталатын 11 өлшемді теориядан туындайды. Супергравитация теориясы да 11D кеңістік = 7D гиперкөлік + 4 ортақ өлшемді ұсынады. Бүгінгі күнге дейін осы қосымша өлшемдердің бар екенін тікелей эксперименттік немесе байқау арқылы растауға мүмкіндік болған жоқ. Егер гиперкөлік болса, ол бізден белгілі бір физикалық механизм арқылы жасырылуы керек. Жақсы зерттелген мүмкіндіктердің бірі – қосымша өлшемдердің қазіргі эксперименттерге көрінбейтіндей өте кішкентай масштабтарда «жиырылуы» мүмкін. 1921 жылы Калуза-Клейн теориясы кеңістіктің қосымша өлшемін қоса алғанда 5D ұсынды. Кванттық өріс теориясы деңгейінде Калуза-Клейн теориясы ауырлықты өлшегіш өзара әрекеттесулермен біріктіреді, өйткені кішкентай, ықшам қосымша өлшемдерде таралатын ауырлық, ұзақ қашықтықтағы өлшегіш өзара әрекеттесулерге тең екендігі анықталды. Атап айтқанда, қосымша өлшемдердің геометриясы тривиальды болса, ол электромагнетизмді қайта жасайды. Бірақ жеткілікті жоғары энергияда немесе қысқа қашықтықта, бұл модель кванттық гравитацияны сипаттауға кедергі келтіретін патологиялардан әлі де зардап шегеді. Сондықтан бұл модельдер әлі де сап теориясы қамтамасыз етуге тырысатын УФ-толықтыруды қажет етеді. Атап айтқанда, суперкөз теориясы алты ықшам өлшемді (6D гиперкөлікті) талап етеді, олар Калаби-Яу көптігін құрайды. Осылайша, Калуза-Клейн теориясын өздігінен толық емес сипаттама ретінде немесе сап теориясының модельдік құрылысының бөлігі ретінде қарастыруға болады. Кішкентай және жиырылған қосымша өлшемдерге қоса, біздің көрінетін ғаламымен байланысты материя (3+1) өлшемді кіші кеңістікте орналасқандықтан, көрінбейтін қосымша өлшемдер болуы мүмкін. Сондықтан қосымша өлшемдер кішкентай да, ықшам да болуы міндетті емес, бірақ үлкен қосымша өлшемдер болуы мүмкін. D-брандар – бұл струн теориясы болжаған, осы рөлді атқара алатын әр түрлі өлшемді динамикалық кеңейтілген объектілер. Олардың қасиеттері сонымен, өлшегіш өзара әрекеттесулермен байланысты ашық струнның қоздырулары олардың соңғы нүктелерімен бранға шектеледі, ал гравитациялық өзара әрекеттесуді жүзеге асыратын жабық струндар бүкіл кеңістікте немесе «көлемде» еркін таралуға мүмкіндік алады. Бұл гравитацияның басқа күштерге қарағанда экспоненциалды түрде әлсіз болуына себеп болуы мүмкін, өйткені ол жоғары өлшемді көлемге тарағанда тиімді түрде сұйынады. Бран физикасының кейбір аспектілері космологияға қолданылды. Мысалы, брандық газ космологиясы топологиялық және термодинамикалық қарастыруларды пайдаланып, кеңістіктің үш өлшемінің болуын түсіндіруге тырысады. Бұл идеяға сәйкес, үштік сандар жалпы қиылысатын кеңістік өлшемдерінің ең үлкен саны болғандықтан. Егер бастапқыда ықшам өлшемдерде көптеген иілмелер болса, кеңістік осы иілмелер жойылғаннан кейін ғана макроскопиялық өлшемдерге кеңейе алады, бұл олардың бір-бірін тауып жоюы үшін қарама-қарсы иілген иілмелерді қажет етеді. Бірақ иілмелер үш өлшемде ғана тиімді жылдамдықпен бір-бірін таба алады, сондықтан тек үш өлшемді кеңістік осындай бастапқы конфигурациямен өсуіне рұқсат етіледі. Қосымша өлшемдер, егер барлық өрістерде таралу еркіндігі бірдей болса, әмбебап деп есептеледі.

In physics, three dimensions of space and one of time is the accepted norm. However, there are theories that attempt to unify the four fundamental forces by introducing extra dimensions/hyperspace. Most notably, superstring theory requires 10 spacetime dimensions, and originates from a more fundamental 11 dimensional theory tentatively called M theory which subsumes five previously distinct superstring theories. Supergravity theory also promotes 11D spacetime = 7D hyperspace + 4 common dimensions. To date, no direct experimental or observational evidence is available to support the existence of these extra dimensions. If hyperspace exists, it must be hidden from us by some physical mechanism. One well studied possibility is that the extra dimensions may be "curled up" at such tiny scales as to be effectively invisible to current experiments. In 1921, Kaluza–Klein theory presented 5D including an extra dimension of space. At the level of quantum field theory, Kaluza–Klein theory unifies gravity with gauge interactions, based on the realization that gravity propagating in small, compact extra dimensions is equivalent to gauge interactions at long distances. In particular when the geometry of the extra dimensions is trivial, it reproduces electromagnetism. However at sufficiently high energies or short distances, this setup still suffers from the same pathologies that famously obstruct direct attempts to describe quantum gravity. Therefore, these models still require a UV completion, of the kind that string theory is intended to provide. In particular, superstring theory requires six compact dimensions (6D hyperspace) forming a Calabi–Yau manifold. Thus Kaluza Klein theory may be considered either as an incomplete description on its own, or as a subset of string theory model building. In addition to small and curled up extra dimensions, there may be extra dimensions that instead are not apparent because the matter associated with our visible universe is localized on a (3 + 1) dimensional subspace. Thus the extra dimensions need not be small and compact but may be large extra dimensions. D branes are dynamical extended objects of various dimensionalities predicted by string theory that could play this role. They have the property that open string excitations, which are associated with gauge interactions, are confined to the brane by their endpoints, whereas the closed strings that mediate the gravitational interaction are free to propagate into the whole spacetime, or "the bulk". This could be related to why gravity is exponentially weaker than the other forces, as it effectively dilutes itself as it propagates into a higher dimensional volume. Some aspects of brane physics have been applied to cosmology. For example, brane gas cosmology attempts to explain why there are three dimensions of space using topological and thermodynamic considerations. According to this idea it would be since three is the largest number of spatial dimensions in which strings can generically intersect. If initially there are many windings of strings around compact dimensions, space could only expand to macroscopic sizes once these windings are eliminated, which requires oppositely wound strings to find each other and annihilate. But strings can only find each other to annihilate at a meaningful rate in three dimensions, so it follows that only three dimensions of space are allowed to grow large given this kind of initial configuration. Extra dimensions are said to be universal if all fields are equally free to propagate within them.

Компьютерлік графика және кеңістіктік деректер саласында

Геометриялық пішіндерді сақтау, талдау және визуализациялауға негізделген бірнеше түрлі цифрлық жүйелер бар, оның ішінде иллюстрациялық бағдарламалық қамтамасыз ету, компьютерлік көмекпен жобалау және географиялық ақпараттық жүйелер. Әртүрлі векторлық жүйелер пішіндерді көрсету үшін әр түрлі дерек құрылымдарын пайдаланады, бірақ олардың көпшілігі кеңістіктік өлшемдерге сәйкес келетін геометриялық примитивтер жиынтығына негізделген: нүкте (0 өлшемді) – Картезиандық координаттар жүйесіндегі жалғыз координата. Сызық немесе полилиния (1 өлшемді) – әдетте, үздіксіз сызықтан алынған нүктелердің реттелген тізімі түрінде көрсетіледі, содан кейін бағдарламалық қамтамасыз ету сызықтың аралық бөліктерін түзу немесе қисық сызық сегменттері ретінде интерполяциялайды деп күтіледі. Көпбұрыш (2 өлшемді) – әдетте, екі өлшемді аймақтың шекарасын білдіретін, ұштары біріккен сызық ретінде көрсетіледі. Бағдарламалық жасақтама осы шекараны пайдаланып, екі өлшемді кеңістікті ішкі және сыртқы бөліктерге бөледі деп күтіледі. Үстіңгі бет (3 өлшемді) – байланысқан көпбұрышты жақтары бар көпбұрыш сияқты, әртүрлі стратегияларды қолдана отырып көрсетіледі. Бағдарламалық жасақтама осы бетті 3 өлшемді кеңістікті ішкі және сыртқы бөліктерге бөлуге пайдаланады деп күтіледі. Көбінесе, әсіресе ГИС және картографияда, нақты әлемдегі құбылыстың көрсетілісі, көрсетілген құбылыстан өзгеше (әдетте, төмен) өлшемге ие болуы мүмкін. Мысалы, қала (екі өлшемді аймақ) нүкте ретінде немесе жол (үш өлшемді материал көлемі) сызық ретінде көрсетілуі мүмкін. Бұл өлшемдік жалпылау кеңістіктік танымдағы бейімділіктермен байланысты. Мысалы, екі қала арасындағы қашықтықты сұрағанда, қалалардың тұжырымдамалық моделі нүктелер ретінде қарастырылады, ал "жоғары", "төмен" немесе "жол бойымен" жүруге қатысты бағыттар беру бір өлшемді тұжырымдамалық модельді білдіреді. Бұл көбінесе деректердің тиімділігі, визуалды қарапайымдылығы немесе танымдық тиімділігі үшін жасалады және егер көрсетілім мен көрсетілген нысан арасындағы айырмашылық түсінілсе, қабылданады, бірақ ақпаратты пайдаланушылар цифрлық пішін шындықтың толық бейнесі деп есептесе, шатасу тудыруы мүмкін (яғни, жолдар шын мәнінде сызықтар деп сену).

Several types of digital systems are based on the storage, analysis, and visualization of geometric shapes, including illustration software, Computer aided design, and Geographic information systems. Different vector systems use a wide variety of data structures to represent shapes, but almost all are fundamentally based on a set of geometric primitives corresponding to the spatial dimensions:
Point (0 dimensional), a single coordinate in a Cartesian coordinate system. Line or Polyline (1 dimensional), usually represented as an ordered list of points sampled from a continuous line, whereupon the software is expected to interpolate the intervening shape of the line as straight or curved line segments. Polygon (2 dimensional), usually represented as a line that closes at its endpoints, representing the boundary of a two dimensional region. The software is expected to use this boundary to partition 2 dimensional space into an interior and exterior. Surface (3 dimensional), represented using a variety of strategies, such as a polyhedron consisting of connected polygon faces. The software is expected to use this surface to partition 3 dimensional space into an interior and exterior. Frequently in these systems, especially GIS and Cartography, a representation of a real world phenomena may have a different (usually lower) dimension than the phenomenon being represented. For example, a city (a two dimensional region) may be represented as a point, or a road (a three dimensional volume of material) may be represented as a line. This dimensional generalization correlates with tendencies in spatial cognition. For example, asking the distance between two cities presumes a conceptual model of the cities as points, while giving directions involving travel "up," "down," or "along" a road imply a one dimensional conceptual model. This is frequently done for purposes of data efficiency, visual simplicity, or cognitive efficiency, and is acceptable if the distinction between the representation and the represented is understood, but can cause confusion if information users assume that the digital shape is a perfect representation of reality (i. e., believing that roads really are lines).