Манифольдтарға векторлық өрістерді тағайындау

Кіріспе

Векторлық өрістерді көптүрлілікке тағайындау. Математикада, көптүрліліктің жанама кеңістігі – жоғары өлшемдерде екі өлшемді кеңістіктегі қисықтарға жанасатын түзулердің және үш өлшемді кеңістіктегі беттерге жанасатын жазықтықтардың жалпылама түрі болып табылады. Физикалық тұрғыдан алғанда, көптүрліліктің бір нүктесіндегі жанама кеңістікті, көптүрлілікте қозғалатын бөлшектің мүмкін болатын жылдамдықтары кеңістігі ретінде қарастыруға болады.

Бейресми сипаттама

Дифференциалдық геометрияда, әрбір дифференциалданатын көптіктің нүктесіне тангенстік кеңістік – интуитивті түрде мүмкін болатын бағыттарды қамтитын нақты векторлық кеңістік қоса беріледі. Тангенстік кеңістіктің элементтері тангенстік векторлар деп аталады. Бұл, евклидтік кеңістікте берілген бастапқы нүктеде орналасқан вектор ұғымының жалпылануы болып табылады. Байланысты көптіктің кез келген нүктесіндегі тангенстік кеңістіктің өлшемі, көптіктің өзінің өлшемімен бірдей болады. Мысалы, егер берілген көптік сфера болса, онда тангенстік кеңістікті сол нүктеде сфераға жанасатын және сол нүкте арқылы өтетін сфераның радиусына перпендикуляр болатын жазықтық ретінде көзге елестетуге болады. Көбірек айтқанда, егер берілген көптік Евклид кеңістігінің еншілес ішкі көптігі ретінде қарастырылса, онда тангенстік кеңістікті осылай көрнекті түрде бейнелеуге болады. Бұл, параллель көшіруді анықтаудың дәстүрлі тәсілі. Дифференциалдық геометрия және жалпы салыстырмалылық теориясының көптеген авторлары оны қолданады. Нақтырақ айтқанда, бұл қазіргі терминологиямен сипатталған тангенстік векторлар кеңістігінен өзгеше аффиндік тангенстік кеңістікті анықтайды. Алгебралық геометрияда, керісінше, алгебралық сан алуандығының нүктесіндегі тангенстік кеңістіктің өзіндік анықтамасы бар, ол өзінің өлшемінен кем емес векторлық кеңістік береді. Тангенстік кеңістіктің өлшемі дәл сол өлшемге тең болатын нүктелер, ерекше емес нүктелер деп аталады; ал қалғандары ерекше нүктелер деп аталады. Мысалы, өзімен-өзі қиылысатын қисық сызықтың сол нүктеде бірегей жанама сызығы болмайды. Сан алуандық болу шарты орындалмаған нүктелер – ерекше нүктелер болып табылады. Зариски тангенстік кеңістігін қараңыз. Көптіктің тангенстік кеңістіктері енгізілгеннен кейін, кеңістікте қозғалатын бөлшектердің жылдамдық өрісінің абстракциясы болып табылатын векторлық өрістерді анықтауға болады. Векторлық өріс, көптіктің әрбір нүктесіне сол нүктедегі тангенстік кеңістіктен векторды тегіс түрде қосады. Мұндай векторлық өріс, көптіктегі жалпыланған қарапайым дифференциалдық теңдеуді анықтауға қызмет етеді: Мұндай дифференциалдық теңдеудің шешімі – кез келген нүктедегі туындысы векторлық өріспен сол нүктеге қосылған тангенстік векторға тең болатын көптіктегі дифференциалданатын қисық. Көптіктің барлық тангенстік кеңістіктерін түпнұсқалық көптіктің өлшемі екі еселенген жаңа дифференциалданатын көптік құру үшін «бір-біріне жабыстыруға» болады, оны көптіктің тангенстік шоғыры деп атайды.

In differential geometry, one can attach to every point of a differentiable manifold a tangent space—a real vector space that intuitively contains the possible directions in which one can tangentially pass through The elements of the tangent space at are called the tangent vectors at This is a generalization of the notion of a vector, based at a given initial point, in a Euclidean space. The dimension of the tangent space at every point of a connected manifold is the same as that of the manifold itself. For example, if the given manifold is a sphere, then one can picture the tangent space at a point as the plane that touches the sphere at that point and is perpendicular to the sphere's radius through the point. More generally, if a given manifold is thought of as an embedded submanifold of Euclidean space, then one can picture a tangent space in this literal fashion. This was the traditional approach toward defining parallel transport. Many authors in differential geometry and general relativity use it. More strictly, this defines an affine tangent space, which is distinct from the space of tangent vectors described by modern terminology. In algebraic geometry, in contrast, there is an intrinsic definition of the tangent space at a point of an algebraic variety that gives a vector space with dimension at least that of itself. The points at which the dimension of the tangent space is exactly that of are called non singular points; the others are called singular points. For example, a curve that crosses itself does not have a unique tangent line at that point. The singular points of are those where the "test to be a manifold" fails. See Zariski tangent space. Once the tangent spaces of a manifold have been introduced, one can define vector fields, which are abstractions of the velocity field of particles moving in space. A vector field attaches to every point of the manifold a vector from the tangent space at that point, in a smooth manner. Such a vector field serves to define a generalized ordinary differential equation on a manifold: A solution to such a differential equation is a differentiable curve on the manifold whose derivative at any point is equal to the tangent vector attached to that point by the vector field. All the tangent spaces of a manifold may be "glued together" to form a new differentiable manifold with twice the dimension of the original manifold, called the tangent bundle of the manifold.

Ресми анықтамалар

Жоғарыда келтірілген бейресми сипаттама көпқырлының қоршаған векторлық кеңістікке ену мүмкіндігіне сүйенді, соның арқасында жанама векторлар көпқырлыдан қоршаған кеңістікке "шығуы" мүмкін. Дегенмен, тангенстік кеңістік түсінігін тек қана көпқырлының өзіне негізделген түрде анықтау ыңғайлырақ. Көпқырлының тангенстік кеңістіктерін анықтаудың әртүрлі баламалы тәсілдері бар. Егер қисықтардың жылдамдығы арқылы берілген анықтама интуитивті жағынан ең оңай болса да, онымен жұмыс істеу қиын. Көбірек талғамды және абстрактілі тәсілдер төменде сипатталған.

Тангенттік қисықтар арқылы анықталу

Ендірілген көптүрлілік суретінде, нүктедегі тангенстік вектор нүкте арқылы өтетін қисықтың жылдамдығы ретінде қарастырылады. Сондықтан тангенстік векторды бір-біріне тангент болып, нүкте арқылы өтетін қисықтардың эквиваленттік класы ретінде анықтауға болады. Егер дифференциалданатын көптүрлілік (жұмсақтығымен) болса және координаталық диаграмма таңдалса, онда -ның ашық ішкі жиыны болады. Сонымен қатар, екі қисық берілген болсын, екеуі де обычайды мағынада дифференциалданатын (біз бұл қисықтарды бастамаланған дифференциалданатын қисықтар деп атаймыз). Онда және еквивалентті екендігі айтылады, егер және тек қана егер нүктесіндегі олардың туындылары сәйкес келсе. Бұл бастамаланған дифференциалданатын қисықтар жиынында эквиваленттілік қатынасын анықтайды, ал мұндай қисықтардың эквиваленттік кластары нүктесіндегі -ның тангенстік векторлары деп аталады. Кез келген мұндай қисықтың эквиваленттік класы символымен белгіленеді. нүктесіндегі -ның тангенстік кеңістігі, символымен белгіленеді, нүктесіндегі барлық тангенстік векторлар жиыны ретінде анықталады; ол таңдалған координаталық диаграммаға тәуелді емес. -дағы векторлық кеңістік операцияларын анықтау үшін диаграмманы пайдаланып, картаны былай анықтаймыз: , мұнда . картысы биективті болып шығады және -дағы векторлық кеңістік операцияларын үстіне көшіруге пайдаланылуы мүмкін, осылайша соңғы жиынтықты өлшемді нақты векторлық кеңістікке айналдырады. Тағы да, бұл құрылыстың нақты диаграмма мен қолданылатын қисыққа тәуелді емес екенін тексеру қажет, және шындығында ол тәуелді емес.

Жалпылау

Бұл анықтаманы, мысалы, күрделі көптүрліліктерге және алгебралық сорттарға қатысты жалпылауға болады. Дегенмен, функциялардың толық алгебрасынан туындыларды қарастырудың орнына, функциялардың түйіршіктері деңгейінде жұмыс істеу қажет. Бұның себебі – мұндай құрылымдар үшін құрылымдық шоғыр жеткілікті болмауы мүмкін. Мысалы, құрылымдық шоғыры болған алгебралық сортты қарастырайық. Онда, нүктесіндегі Зарискидің жанама кеңістігі – жергілікті өрісіндегі туындылардың жиынтығы болып табылады, мұнда – шоғырының нүктесіндегі сабағы.

Анықтамалардың теңдестігі

және дифференциалданатын қисық сызық үшін, мұндағы туындысы қалыпты мағынада есептеледі, себебі ол функциясы болып табылады. Бұл нүктеде туынды бар екенін және эквивалентті қисықтар бірдей туындыны беретінін анықтауға болады. Осылайша, эквиваленттік сынып үшін қисықтың кез келгенін таңдап, анықтай аламыз. Бұл бейнелеу эквиваленттік сыныптар кеңістігі мен нүктедегі туындылар кеңістігі арасындағы векторлық кеңістік изоморфизмі болып табылады.

Котангенттік кеңістіктер арқылы анықталу

Тағы да, біз көптік пен нүктеден бастаймыз. Оның идеалын қарастырайық, ол нүктеде нөлге тең болатын барлық тегіс функциялардан тұрады, яғни . Осылайша, және екеуі де нақты векторлық кеңістіктер болып табылады, ал бөлу кеңістігі Тейлор теоремасын қолдану арқылы котангенттік кеңістікке изоморфты екенін көрсетуге болады. Тангенстік кеңістік содан кейін котангенттік кеңістіктің қос кеңістігі ретінде анықталуы мүмкін. Бұл анықтама ең абстрактілі болғанымен, ол алгебралық геометрияда қарастырылатын сорттар сияқты басқа жағдайларға да оңай көшіріледі. Егер нүктеде деривация болса, онда кез келген үшін , яғни ол сызықтық бейнелеуді тудырады. Керісінше, егер сызықтық бейнелеу болса, онда ол нүктеде деривацияны анықтайды. Бұл деривациялар арқылы анықталған жанама кеңістіктер мен котангенттік кеңістіктер арқылы анықталған жанама кеңістіктер арасындағы эквиваленттілік береді.

Қасиеттері

Егер - -ның ашық ішкі жиыны болса, онда ол табиғи түрде көптеме болып табылады (координаталық кестелерді -ның ашық ішкі жиындары бойынша өзін-өзі сәйкестендірулер деп қарастырыңыз), ал жанама кеңістіктердің бәрі табиғи түрде -мен сәйкестендіріледі.

Бағытты туындылар ретінде тангенс векторлары

Тангентті векторларды тағы бір жолмен қарастыруға болады – бағыттық туындылар ретінде. Берілген вектор , бір нүктедегі тиісті бағыттық туындыны былай анықтайды:

Бұл оператор табиғи түрде туынды болып табылады. Сонымен қатар, нүктедегі кез келген туынды осы түрде болады. Сондықтан, векторлар (нүктедегі тангентті векторлар ретінде қарастырылатын) мен нүктедегі туындылар арасында бір-бірге сәйкестік бар. Басқаша айтқанда, тангентті векторлардың жалпы көптүрліліктегі нүктеде туындылар ретінде анықталуы оларды бағыттық туындылар деп қарастыруға мүмкіндік береді. Атап айтқанда, егер нүктедегі тангентті вектор болса (туынды ретінде қарастырылатын), онда бағыттық туындыны бағыт бойынша былай анықтаймыз:

Егер бізді дифференциалданатын қисықтың бастапқы жылдамдығы деп қарастырсақ, яғни , онда мынаны анықтаймыз: