Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Бүтін сандық координаттары бар түрлердің математикасы
Mathematics of varieties with integer coordinates
Математикада Диофантиандық геометрия – алгебралық геометрияның күшті әдістері арқылы Диофантиандық теңдеулерді зерттеу саласы. 20 ғасырда кейбір математиктерге алгебралық геометрия әдістері осы теңдеулерді зерттеу үшін өте тиімді құрал екені анық болды. Диофантиандық геометрия – арифметикалық геометрияның кеңірек саласының бір бөлігі. Диофантиандық геометриядағы маңызды төрт теорема:
In mathematics, Diophantine geometry is the study of Diophantine equations by means of powerful methods in algebraic geometry. By the 20th century it became clear for some mathematicians that methods of algebraic geometry are ideal tools to study these equations. Diophantine geometry is part of the broader field of arithmetic geometry. Four theorems in Diophantine geometry that are of fundamental importance include:
Бір теңдеу гипербетті анықтайды, ал бір мезгілде Диофанти теңдеулері K артындағы жалпы алгебралық алуантүрлілікті V тудырады; ең көп қойылатын сұрақ – V(K) жинағының, яғни K-дағы координаттары бар V нүктелерінің сипаты туралы. Биіктік функциялары арқылы осы шешімдердің "өлшемі" туралы сандық сұрақтар, сондай-ақ нүктелердің болуы және олардың саны шексіз ме, жоқ па деген сапалық мәселелер де қарастырылады. Геометриялық тәсілді ескере отырып, гомогенді теңдеулер мен гомогенді координаттарды қарастыру маңызды, өйткені проективтік геометрия алгебралық геометрияда басымдыққа ие болуының себептері де осыған байланысты. Сондықтан рационал сандардағы шешімдер ең бастысы болып табылады; бірақ бүтін сандардағы шешімдерді (яғни торлық нүктелерді) проективтік алуантүрліліктің шексіз нүктелері бар аффиндік алуантүрлілік ретінде қарастыруға болады. Диофанти геометриясының жалпы тәсілі Фальтингс теоремасымен (Л. Дж. Морделлдің болжамы) көрсетілген, онда рационал сандар бойынша g > 1 туындағы алгебралық қисық C тек шекті рационал нүктелерге ғана ие. Осы сияқты алғашқы нәтиже Гилберт пен Хурвицтің g = 0 жағдайын қарастыратын теоремасы болуы мүмкін. Теория теоремалармен қатар көптеген болжамдар мен ашық сұрақтардан тұрады.
A single equation defines a hypersurface, and simultaneous Diophantine equations give rise to a general algebraic variety V over K; the typical question is about the nature of the set V(K) of points on V with co ordinates in K, and by means of height functions, quantitative questions about the "size" of these solutions may be posed, as well as the qualitative issues of whether any points exist, and if so whether there are an infinite number. Given the geometric approach, the consideration of homogeneous equations and homogeneous co ordinates is fundamental, for the same reasons that projective geometry is the dominant approach in algebraic geometry. Rational number solutions therefore are the primary consideration; but integral solutions (i. e. lattice points) can be treated in the same way as an affine variety may be considered inside a projective variety that has extra points at infinity. The general approach of Diophantine geometry is illustrated by Faltings's theorem (a conjecture of L. J. Mordell) stating that an algebraic curve C of genus g > 1 over the rational numbers has only finitely many rational points. The first result of this kind may have been the theorem of Hilbert and Hurwitz dealing with the case g = 0. The theory consists both of theorems and many conjectures and open questions.