Кіріспе
Функциялық кеңістіктердің туысы, дәрежесі және өлшемі арасындағы қатынас. Риман-Рох теоремасы – математикадағы, әсіресе күрделі талдау және алгебралық геометрия салаларындағы маңызды теорема. Ол белгіленген нөлдері мен рұқсат етілген полюстері бар мероморфтық функциялар кеңістігінің өлшемін есептеуге арналған. Теорема, компактты Риман бетінің күрделі талдауын, беттің таза топологиялық туысы g-мен байланыстырады, бұл байланыс тұтас алгебралық жағдайларға көшірілуі мүмкін. Бастапқыда Риманның теңсіздігі ретінде дәлелденген, теорема Риманның өмірі қысқа болған шәкіртінің жұмысынан кейін Риман беттері үшін түпкілікті түрін алды. Кейін ол алгебралық қисықтарға, жоғары өлшемді әртүрліліктерге және одан да әрі жалпыландырылды.
The Riemann–Roch theorem is an important theorem in mathematics, specifically in complex analysis and algebraic geometry, for the computation of the dimension of the space of meromorphic functions with prescribed zeros and allowed poles. It relates the complex analysis of a connected compact Riemann surface with the surface's purely topological genus g, in a way that can be carried over into purely algebraic settings. Initially proved as Riemann's inequality by , the theorem reached its definitive form for Riemann surfaces after work of Riemann's short lived student It was later generalized to algebraic curves, to higher dimensional varieties and beyond.
Желілік бумалар үшін Риманн-Рох
Риман бетіндегі бөлгіштер мен голоморфты сызық түйіндерінің арасындағы тығыз сәйкестікті пайдаланып, теореманы басқа, бірақ эквивалентті түрде де тұжырымдауға болады: L X-тегі голоморфты сызық түйіні болсын. L-дің голоморфты қималарының кеңістігін деп белгілейік. Бұл кеңістік шекті өлшемді болады; оның өлшемі арқылы белгіленеді. K X-тегі каноникалық түйінді белгілесін. Онда, Риман-Рох теоремасы былай тұжырымдалады:
Алдыңғы бөлімдегі теорема, L нүктелік түйін болған жағдайдағы ерекше жағдай болып табылады. Теореманы K-ның g сызықтық тәуелсіз голоморфты қималары немесе X-тегі g бір формасы бар екенін көрсету үшін қолдануға болады. L-ді тривиалды түйін деп есептесек, себебі X-тегі жалғыз голоморфты функциялар тұрақтылар. L-дің дәрежесі нөлге тең, ал тривиалды түйін болып табылады. Осылайша,
Демек, , g голоморфты бір форманың бар екенін дәлелдейді.
Бірегейліктері бар жазық қисықтардың түрі
Д дәрежелі азайтылмайтын жазықтық алгебралық қисықтың (d-1)(d-2)/2 – g сингулярлықтері болады, егер олар дұрыс есептелсе. Осыдан, егер қисықта (d-1)(d-2)/2 түрлі сингулярлық болса, онда ол рационалды қисық болып табылады және, демек, рационалды параметрлеуге ие болады.
Риманның Хурвиц формуласы
Риманн беттері немесе алгебралық қисықтар арасындағы (тараулы) бейнелеулерге қатысты Риманн-Хурвиц формуласы Риманн-Рох теоремасының салдары болып табылады.
Клиффордтың арнайы бөлгіштер туралы теоремасы
Клиффордтың арнайы бөлгіштер туралы теоремасы да Риманн-Рох теоремасының салдары болып табылады. Ол, егер арнайы бөлгіш (яғни, ) болса, келесі теңсіздік орындалады деп мәлімдейді:
Алгебралық қисықтарды дәлелдеу
Алгебралық қисықтар үшін бұл теореманы Серре дуалдылығын қолдана отырып дәлелдеуге болады. Бұл бүтін сан – D-ге қатысты сызықтық топтаманың глобальды кесінділері кеңістігінің өлшемі (қ. Картье бөлгіші). Шеке кохомологиясы тұрғысынан қарағанда, бізде бар , және сондай-ақ . Бірақ, сингуляр емес проективті сорттар үшін Серре дуалдылығы қисық жағдайында былай тұжырымдалады: қос кеңістікке изоморфты. Сол жақ бөлік, осылайша, D бөлгіштің Эйлер сипаттамасына тең. Егер D = 0 болса, онда құрылымдық шоқ үшін Эйлер сипаттамасы анықтама бойынша болады. Жалпы бөлгіш үшін теореманы дәлелдеу үшін, бөлгішке бір-бірлеп нүктелер қосып, Эйлер сипаттамасының оң жаққа сәйкес түрленетінін қамтамасыз ету керек.
Жігітті Риман бетін тексеру
Жайлы Риман беттерінің теоремасын Чоу теоремасы мен GAGA принципін қолданып алгебралық нұсқадан шығаруға болады: шындығында, кез келген жайлы Риман беті кейбір күрделі проективті кеңістікте алгебралық теңдеулермен анықталады. (Чоу теоремасы проективті кеңістіктің кез келген жабық аналитикалық ішкі әртүрлілігі алгебралық теңдеулермен анықталады, ал GAGA принципі алгебралық санның бушақ кохомологиясы сол теңдеулермен анықталған аналитикалық санның бушақ кохомологиясымен сәйкес келеді). Шоу теоремасын қолданудан аулақ болу үшін, алгебралық қисықтар жағдайындағы дәлелге ұқсас аргументтерді қолдануға болады, бірақ оны мероморфтық функциялардың h бушағымен алмастыру арқылы, мұнда бөлгіштің барлық коэффициенттері оң немесе нөл болады. Бұл жерде Эйлер сипаттамасы бөлгішке нүкте қосылғанда қалағандай өзгеретіні, P нүктесіндегі аспан қыртысының бушағынан туындаған ұзын дәл тізбектен көрініп тұр, ал картасы th Лоран коэффициентін қайтарады, мұнда .
where is the skyscraper sheaf at P, and the map returns the th Laurent coefficient, where .
Риманн-Рох теоремасының жалпылаулары
Риманн-Рох қисықтарға арналған теоремасы 1850 жылдары Риманн мен Рохтың Риманн беттері үшін, ал 1931 жылы Фридрих Карл Шмидттың шекті сипаттағы кемелді өрістерде жұмыс істеген кезде алгебралық қисықтар үшін дәлелденді. Питер Рокеттің айтуынша, Ф.К. Шмидттің ең маңызды жетістігі – Риманн-Рохтың классикалық теоремасын ықшам Риманн беттерінен шекті базалық өріске ауыстыру мүмкіндігін табу болды. Шындығында, оның Риманн-Рох теоремасын дәлелдеуі кез келген кемелді базалық өрістер үшін жұмыс істейді, міндетті түрде шекті емес. Бұл іргелі болып табылады, себебі қисықтарға қатысты келесі теория оның нәтижелерін жақсартуға тырысады (мысалы, Брилл-Нотер теориясында). Тиісті бөлгіш немесе сызықтық буда туралы түсінік үшін жоғары өлшемдердегі нұсқалары бар. Олардың жалпы тұжырымы теореманы екі бөлікке бөлуге байланысты. Бірі, қазір Серре дуалдығы деп аталатын, терминді бірінші когомология тобының өлшемі ретінде түсіндіреді; нөлдік когомология тобының немесе қималар кеңістігінің өлшемімен теореманың сол жағы Эйлер сипаттамасына айналады, ал оң жағы Риманн бетінің топологиясына сәйкес түзетілген дәреже ретінде есептеледі. Екінші өлшемдегі алгебралық геометрияда итальян мектебінің геометрлері осындай формула тапты; беттер үшін Риманн-Рох теоремасы дәлелденді (бірнеше нұсқа бар, біріншісі Макс Нотерге тиесілі болуы мүмкін). n өлшемді жалпылау, Хирцебрух-Риманн-Рох теоремасы, Фридрих Хирцебрух тарапынан алгебралық топологиядағы сипаттамалық кластарды қолдану ретінде табылып, дәлелденді; оған Кунихико Кодайраның жұмысы зор әсер етті. Сол кезде Жан-Пьер Серре Серре дуалдығының қазіргідегі жалпы түрін берді. Александр Гротендик 1957 жылы кең ауқымды жалпылауды дәлелдеді, ол қазір Гротендик-Риманн-Рох теоремасы деп аталады. Оның еңбегі Риманн-Рох теоремасын түр туралы емес, екі түрдің арасындағы морфизм туралы қайта қарастырады. Дәлелдердің толық мәліметтері 1958 жылы Арман Борель мен Жан-Пьер Серре жариялады. Кейін Гротендик пен оның серіктестері дәлелді жеңілдетіп, жалпылады. Соңында алгебралық топологияда да жалпы нұсқасы табылды. Бұл дамулардың барлығы 1950-1960 жылдар аралығында жүзеге асты. Одан кейін Атиях-Сингер индексі теоремасы жалпылаудың тағы бір жолын ашты. Салдарынан, когерентті қаптың Эйлер сипаттамасын есептеуге болады. Тек бір қосылғыш үшін, баламалы қосынды ішінде, жоғалу теоремалары сияқты қосымша аргументтерді қолдану қажет.
The first main achievement of F. K. Schmidt is the discovery that the classical theorem of Riemann–Roch on compact Riemann surfaces can be transferred to function fields with finite base field. Actually, his proof of the Riemann–Roch theorem works for arbitrary perfect base fields, not necessarily finite. It is foundational in the sense that the subsequent theory for curves tries to refine the information it yields (for example in the Brill–Noether theory). There are versions in higher dimensions (for the appropriate notion of divisor, or line bundle). Their general formulation depends on splitting the theorem into two parts. One, which would now be called Serre duality, interprets the term as a dimension of a first sheaf cohomology group; with the dimension of a zeroth cohomology group, or space of sections, the left hand side of the theorem becomes an Euler characteristic, and the right hand side a computation of it as a degree corrected according to the topology of the Riemann surface. In algebraic geometry of dimension two such a formula was found by the geometers of the Italian school; a Riemann–Roch theorem for surfaces was proved (there are several versions, with the first possibly being due to Max Noether). An n dimensional generalisation, the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem, was found and proved by Friedrich Hirzebruch, as an application of characteristic classes in algebraic topology; he was much influenced by the work of Kunihiko Kodaira. At about the same time Jean Pierre Serre was giving the general form of Serre duality, as we now know it. Alexander Grothendieck proved a far reaching generalization in 1957, now known as the Grothendieck–Riemann–Roch theorem. His work reinterprets Riemann–Roch not as a theorem about a variety, but about a morphism between two varieties. The details of the proofs were published by Armand Borel and Jean Pierre Serre in 1958. Later, Grothendieck and his collaborators simplified and generalized the proof. Finally a general version was found in algebraic topology, too. These developments were essentially all carried out between 1950 and 1960. After that the Atiyah–Singer index theorem opened another route to generalization. Consequently, the Euler characteristic of a coherent sheaf is reasonably computable. For just one summand within the alternating sum, further arguments such as vanishing theorems must be used.