Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Алгебралық қисық
Algebraic curve
математикалық қисық
the mathematical curve
Математикада эллиптік қисық – бұл бір туысы бар тегіс, проективті алгебралық қисық, онда O нүктесі белгіленген. Эллиптік қисық K өрісінде анықталады және K-нің өзімен-өзінің картезиан көбейтіндісіндегі, яғни K × K нүктелерін сипаттайды. Егер өрістің сипаттамасы 2 және 3-тен өзгеше болса, онда қисықты (x, y) шешімдерінен тұратын жазықтық алгебралық қисық ретінде сипаттауға болады:
In mathematics, an elliptic curve is a smooth, projective, algebraic curve of genus one, on which there is a specified point O. An elliptic curve is defined over a field K and describes points in , the Cartesian product of K with itself. If the field's characteristic is different from 2 and 3, then the curve can be described as a plane algebraic curve which consists of solutions (x, y) for:
кейбір a және b коэффициенттері үшін K өрісінен. Қисық жекешеліктері болмауы керек, яғни оның өзіне-өзі қиылыстары немесе үшкір бұрыштары болмауы керек. (Бұл 4a³ + 27b² ≠ 0 шартына тең, яғни x бойынша толық квадрат емес болуы керек.) Қисық проективті жазықтықта орналасқан деп есептеледі, ал O нүктесі – шексіздіктегі жалғыз нүкте. Көптеген көздер эллиптік қисықты осы формадағы теңдеумен берілген қисық деп анықтайды. (Егер коэффициент өрісінің сипаттамасы 2 немесе 3 болса, жоғарыдағы теңдеу барлық жекешеліктері жоқ кубтық қисықтарды қамту үшін жеткілікті жалпы емес; төмендегіге қараңыз.) Эллиптік қисық – абельдік алгебралық сан түрі, яғни алгебралық түрде анықталған топтық заңы бар, оған қатысты ол абельдік топ болып табылады, ал O – бірлік элементі. Егер y² = P(x) болса, мұнда P – x-тен қайталанатын түбірлері жоқ үшінші дәрежелі полином, онда шешімдер жиыны – бірінші туысы бар жекешеліктері жоқ жазықтық қисық, яғни эллиптік қисық. Егер P төртінші дәрежелі болса және толық квадрат емес болса, онда бұл теңдеу де жекешеліктері жоқ жазықтық қисықты сипаттайды; алайда, оның бірлік элементін табиғи түрде таңдау мүмкін емес. Жалпы алғанда, бір туысы бар кез келген алгебралық қисық, мысалы, үш өлшемді проективті кеңістікте орналасқан екі квадрик бетінің қиылысуы, егер ол сәйкестік ретінде әрекет ететін белгіленген нүктемен жабдықталған болса, эллиптік қисық деп аталады. Эллиптік функциялар теориясын пайдаланып, күрделі сандар үстінде анықталған эллиптік қисықтардың күрделі проективті жазықтықта тордың орналасуына сәйкес келетінін көрсетуге болады. Тор да абельдік топ болып табылады, ал бұл сәйкестік те топтық изоморфизм болып табылады. Эллиптік қисықтар сандар теориясында ерекше маңызды және қазіргі зерттеулердің маңызды саласын құрайды; мысалы, олар Эндрю Уайлстың Ферманың соңғы теоремасын дәлелдеуінде қолданылды. Олар эллиптік қисық криптографиясында (ECC) және бүтін сандарды жіктеуде де қолданылады. Эллиптік қисық – проективті коника мағынасындағы эллипс емес, оның туысы нөлге тең: терминнің шығу тегі үшін эллиптік интегралға қараңыз. Алайда, гиперболалық жазықтықтағы эллипс ретінде j ≥ 1 формасы өзгермейтін нақты эллиптік қисықтардың табиғи бейнесі бар. Атап айтқанда, белгілі бір тұрақты бұрыш қасиеттерімен сипатталатын төртбұрышты беттермен Минковский гиперболоидтарының қиылыстары Штайнер эллипстерін (коллинеацияны сақтайтын бағдар арқылы пайда болады) береді. Сонымен қатар, бұл эллипстердің ортогональды траекториялары j ≤ 1 эллиптік қисықтарды қамтиды, ал екі ошаққа қатысты локус ретінде сипатталған кез келген эллипс екі Штайнер эллипсінің эллиптік қисық қосындысы болып табылады, ол әр ортогональды траекториядағы қиылысу жұптарын қосу арқылы алынады. Мұнда гиперболоидтың төбесі әрбір траекториялық қисықтың сәйкестігі ретінде қызмет етеді. Топологиялық тұрғыдан қарасақ, күрделі эллиптік қисық – тор, ал күрделі эллипс – сфера.
for some coefficients a and b in K. The curve is required to be non singular, which means that the curve has no cusps or self intersections. (This is equivalent to the condition 4a^(3) + 27b^(2) ≠ 0, that is, being square free in x.) It is always understood that the curve is really sitting in the projective plane, with the point O being the unique point at infinity. Many sources define an elliptic curve to be simply a curve given by an equation of this form. (When the coefficient field has characteristic 2 or 3, the above equation is not quite general enough to include all non singular cubic curves; see below.) An elliptic curve is an abelian variety – that is, it has a group law defined algebraically, with respect to which it is an abelian group – and O serves as the identity element. If 1=y^(2) = P(x), where P is any polynomial of degree three in x with no repeated roots, the solution set is a nonsingular plane curve of genus one, an elliptic curve. If P has degree four and is square free this equation again describes a plane curve of genus one; however, it has no natural choice of identity element. More generally, any algebraic curve of genus one, for example the intersection of two quadric surfaces embedded in three dimensional projective space, is called an elliptic curve, provided that it is equipped with a marked point to act as the identity. Using the theory of elliptic functions, it can be shown that elliptic curves defined over the complex numbers correspond to embeddings of the torus into the complex projective plane. The torus is also an abelian group, and this correspondence is also a group isomorphism. Elliptic curves are especially important in number theory, and constitute a major area of current research; for example, they were used in Andrew Wiles's proof of Fermat's Last Theorem. They also find applications in elliptic curve cryptography (ECC) and integer factorization. An elliptic curve is not an ellipse in the sense of a projective conic, which has genus zero: see elliptic integral for the origin of the term. However, there is a natural representation of real elliptic curves with shape invariant j ≥ 1 as ellipses in the hyperbolic plane Specifically, the intersections of the Minkowski hyperboloid with quadric surfaces characterized by a certain constant angle property produce the Steiner ellipses in (generated by orientation preserving collineations). Further, the orthogonal trajectories of these ellipses comprise the elliptic curves with j ≤ 1, and any ellipse in described as a locus relative to two foci is uniquely the elliptic curve sum of two Steiner ellipses, obtained by adding the pairs of intersections on each orthogonal trajectory. Here, the vertex of the hyperboloid serves as the identity on each trajectory curve. Topologically, a complex elliptic curve is a torus, while a complex ellipse is a sphere.
Вайерштрасс емес қисықтар
Вейерштрасс қалыпты түрінде емес кубикалық қисық үшін, оның тоғыз бұрылыс нүктесінің біреуін O сәйкестігі ретінде белгілеп, топ құрылымын анықтауға болады. Проективті жазықтықта, әр түзу кубикалық қисықты көптілігін ескере отырып, үш нүктеде қиып өтеді. P нүктесі үшін, -P, O және P нүктелерінен өтетін түзудің бірегей үшінші нүктесі ретінде анықталады. Кез келген P және Q нүктелері үшін, P + Q, P және Q нүктелерінен өтетін түзудің бірегей үшінші нүктесі R арқылы анықталатын -R ретінде беріледі. Вейерштрасс емес қисықтардағы топтық заңның мысалы ретінде Гессиан қисықтарын қарастырыңыз.
For a cubic curve not in Weierstrass normal form, we can still define a group structure by designating one of its nine inflection points as the identity O. In the projective plane, each line will intersect a cubic at three points when accounting for multiplicity. For a point P, −P is defined as the unique third point on the line passing through O and P. Then, for any P and Q, P + Q is defined as −R where R is the unique third point on the line containing P and Q. For an example of the group law over a non Weierstrass curve, see Hessian curves.
Рационалдық сандар бойынша эллиптік қисықтар
Рационалдық сандар өрісінде анықталған E қисығы нақты сандар өрісінде де анықталған. Сондықтан, (нақты координаттары бар нүктелерді) жанама және кескіш әдісімен қосу заңы E-ге қолданылуы мүмкін. Анық формулалар екі нүкте P және Q-ның рационалды координаттарының қосындысы да рационалды координаттарға ие екенін көрсетеді, себебі P және Q нүктелерін қосатын түзудің коэффициенттері рационалды. Осылайша, E қисығының рационалды нүктелер жиыны E қисығының нақты нүктелер тобының кіші тобын құрайды.
A curve E defined over the field of rational numbers is also defined over the field of real numbers. Therefore, the law of addition (of points with real coordinates) by the tangent and secant method can be applied to E. The explicit formulae show that the sum of two points P and Q with rational coordinates has again rational coordinates, since the line joining P and Q has rational coefficients. This way, one shows that the set of rational points of E forms a subgroup of the group of real points of E.