Алгебралық қисықтардың және гипербеттердің қиылысу нүктелерінің саны

Кіріспе

Алгебралық қисықтар мен гипербеттердің қиылысу нүктелерінің саны, алгебралық геометриядағы қиылысу нүктелерінің саны. Безу теоремасы – алгебралық геометриядағы n полиномның n белгісізіндегі ортақ нөлдерінің санына қатысты мәлімдеме. Теореманың бастапқы түрінде, жалпы жағдайда ортақ нөлдердің саны полиномдар дәрежелерінің көбейтіндісіне тең делінеді. Ол Этьен Безудің құрметіне аталған. Кейбір қарапайым мәтіндерде Безу теоремасы екі айнымалының жағдайына ғана қатысты, және егер екі жазық алгебралық қисықтың дәрежелері ортақ компонентке ие болмаса, олардың қиылысу нүктелерінің саны, олардың көптігімен есептелгенде, сонымен қатар шексіз нүктелер мен күрделі координаталары бар нүктелерді қамтиды делінеді. Теореманың қазіргі тұжырымында, егер N – n+1 белгісіздегі гомогенді полиномдармен анықталған n проективті гипербеттің алгебралық жабық өрісіндегі ортақ нүктелер саны болса, онда N шексіз немесе полиномдар дәрежелерінің көбейтіндісіне тең болады. Аталған теорема бойынша, шекті жағдай көбінесе орын алады. Екі айнымалының жағдайында және аффинді гипербеттердің жағдайында, көптік пен шексіз нүктелер ескерілмесе, бұл теорема нүктелер санының жоғарғы шегін ғана көрсетеді, және бұл шек көбінесе қол жеткізіледі. Бұл шек жиі Безу шегі деп аталады. Безу теоремасы компьютерлік алгебра мен тиімді алгебралық геометрияда маңызды рөл атқарады, себебі көптеген мәселелердің есептеу күрделілігі өзгермелілер санына қатысты кемінде экспоненциалды болып табылады. Осыдан келіп, осы салалардағы ең жақсы күрделік Безу шегіне қатысты көпмүшелік күрделікке ие алгоритмдерде күтілуге болады.

Тарих

Жазық қисықтар жағдайында Безу теоремасын Исаак Ньютон 1687 жылы шыққан Principia еңбегінің 1-томындағы 28-лемасын дәлелдеу барысында айтқан. Онда ол екі қисықтың қиылысу нүктелерінің саны олардың дәрежелерінің көбейтіндісімен анықталады деп мәлімдеген. Ал жалпы теорема 1779 жылы Этьен Безудың «Алгебралық теңдеулердің жалпы теориясы» атты еңбегінде жарияланды. Ол теңдеулерді «толық» деп қарастырған, қазіргі терминологияда бұл – «жалпы» дегенмен мағынасы жақын. Егер көптіктер жалпы болса, шексіз нүктелер болмайды және барлық көптік саны бірге тең болады. Сондықтан Безудің тұжырымы дұрыс, бірақ оның дәлелі қазіргі заманғы қатаңдық талаптарына сай келмейді. Сонымен қатар, қиылысу көптігі туралы түсінік сол кездегі білім деңгейіне жетпегендіктен, кейбір авторлар оның дәлелі дұрыс емес және алғашқы дәлел де емес деген пікір білдірген. Көптіктерді ескеретін тұжырымды дәлелдеу үшін қиылысу көптігінің нақты анықтамасы қажет, демек, бұл 20 ғасырға дейін мүмкін емес еді. 20 ғасырдың бірінші жартысында берілген көптіктердің анықтамалары үздіксіз және инфинитезимальды деформацияларды қамтыды. Осының салдарынан, осы кезеңдегі дәлелдемелер тек комплекс сандар өрісіне ғана қатысты. Тек 1958 жылы Жан-Пьер Серр көптіктердің таза алгебралық анықтамасын берді, бұл кез келген алгебралық жабық өріс үшін жарамды дәлелге әкелді. Безу теоремасымен байланысты қазіргі зерттеулер, Бернштейн-Кушниренко теоремасы сияқты полиномдардың басқа қасиеттерін пайдалану арқылы полиномдар жүйесі үшін әртүрлі жоғарғы шекаралар тапты немесе оны Наш функциялары сияқты кең ауқымды функцияларға жалпылады.

Жазық қисықтар

X және Y – ортақ компоненті жоқ, F өрісінде анықталған екі жазық проективті қисықтар болсын (бұл жағдай X және Y оң дәрежелі ортақ бөлгіші жоқ көпмүшелермен анықталады дегенді білдіреді). Онда F-ты қамтитын алгебралық жабық E өрісіндегі X және Y қиылысқан нүктелердің жалпы саны, олардың көптіктерімен есептелгенде, X және Y дәрежелерінің көбейтіндісіне тең болады.

Бір-біріне ұқсас жағдай

Теореманың аффиндік жағдайы 1983 жылы Дэвид Массер мен Гисберт Вюстгольц дәлелдеген келесі мәлімдеме болып табылады. Алгебралық жабық өріс бойынша n айнымалыдағы n полиномиямен анықталатын n аффинді гипербеттерді қарастырайық. Одан кейін қиылысу нүктелерінің саны шексіз болады немесе қиылысу нүктелерінің саны, олардың көптігімен есептелгенде, ең көп дегенде көбейтіндіге тең болады. Егер гипербеттер салыстырмалы түрде жалпы жағдайда болса, онда қиылысу нүктелерінің саны дәл болады, барлығы 1 көптігімен. Бұл нұсқа жалпы жағдайдың тікелей салдары емес, себебі аффиндік кеңістікте шекті санда қиылысу нүктелері болуы мүмкін, ал шексіздікте – шексіз көп. Жоғарыдағы мәлімдеме – Массер мен Вюстгольц дәлелдеген нәтиженің ерекше жағдайы, ол жалпы мәлімдеме болып табылады. Жалпы нәтижені айту үшін, қиылысу нүктелері алгебралық жиын құрайтынын және қиылысу нүктелерінің саны шекті болса, қиылыстың барлық компоненттерінің өлшемі нөлге тең болуын еске алу керек (оң өлшемді алгебралық жиын алгебралық жабық өрісте шексіз көп нүктеге ие). Егер қиылысу нүктесі қиылыстың оң өлшемді компонентіне жатпаса, ол оқшауланған деп аталады; мұндай терминологияның мәні бар, себебі оқшауланған қиылысу нүктесінің маңында (Зариски топологиясы бойынша немесе күрделі гипербеттер жағдайындағы әдеттегі топология бойынша) басқа қиылысу нүктесі жоқ. Алгебралық жабық өріс бойынша n біртекті полиномиалдармен анықталатын n проекциялық гипербеттерді қарастырайық. Одан кейін оқшауланған қиылысу нүктелерінің көптіктерінің қосындысы ең көп дегенде көбейтіндіге тең болады. Нәтиже кез келген m гипербет саны үшін де жарамды болады, егер жағдайды белгілесеңіз және әйтпесе, дәрежелерді реттеп, ең кіші дәрежеге тең болса. Яғни, егер оқшауланған қиылысу нүктесі болмаса және әйтпесе, шектеу ең кіші дәреже мен ең үлкен дәрежелердің көбейтіндісіне тең болады.

The affine case of the theorem is the following statement, that was proven in 1983 by David Masser and Gisbert Wüstholz. Consider n affine hypersurfaces that are defined over an algebraically closed field by n polynomials in n variables, of degrees Then either the number of intersection points is infinite, or the number of intersection points, counted with their multiplicities, is at most the product If the hypersurfaces are in relative general position, then there are exactly intersection points, all with multiplicity 1. This version is not a direct consequence of the general case, because it is possible to have a finite number of intersection points in the affine space, with infinitely many intersection points at infinity. The above statement is a special case of a more general statement, which is the result that Masser and Wüstholz proved. For stating the general result, one has to recall that the intersection points form an algebraic set, and that there is a finite number of intersection points if and only if all component of the intersection have a zero dimension (an algebraic set of positive dimension has an infinity of points over an algebraically closed field). An intersection point is said isolated if it does not belong to a component of positive dimension of the intersection; the terminology make sense, since an isolated intersection point has neighborhoods (for Zariski topology or for the usual topology in the case of complex hypersurfaces) that does not contain any other intersection point. Consider n projective hypersurfaces that are defined over an algebraically closed field by n homogeneous polynomials in variables, of degrees Then, the sum of the multiplicities of their isolated intersection points is at most the product The result remains valid for any number m of hypersurfaces, if one sets in the case and, otherwise, if one orders the degrees for having That is, there is no isolated intersection point if and, otherwise, the bound is the product of the smallest degree and the largest degrees.

Екі жол

Евклид жазықтығындағы түзудің теңдеуі сызықтық, яғни ол бірінші дәрежелі көпмүшеге нөлдік теңдік қояды. Сондықтан, екі түзу үшін Безульдік шегі 1-ге тең, яғни екі түзу бір нүктеде қиылысады немесе қиылыспайды. Егер қиылыспаса, түзулер параллель болып, шексіздікте бір нүктеде түйіседі. Мұны теңдеулер арқылы тексеруге болады. Бірінші түзудің теңдеуін еңіс-қиылысу түрінде немесе проективтік координаттарда жазуға болады (егер түзу тік болса, x пен y-тің орнын ауыстыруға болады). Екінші түзудің теңдеуі (проективтік координаттарда) болса, y орнына қойғанда егер соңғы теңдеуді x-ке қатысты шешіп, 1=t=1 деп қойса, қиылысу нүктесінің x-координатын табамыз. Егер онда екі түзудің еңісі бірдей болғандықтан, олар параллель. Егер олар әртүрлі болса, онда қойылған теңдеу 1=t=0 нәтижесін береді. Бұл проективтік координаттардағы шексіз нүктені (1, s, 0) анықтайды.

Сызық пен қисық

Жоғарыда айтылғандай, проективті координаттарда түзудің теңдеуін былай жазуға болады: Егер қисық проективті координаттарда n дәрежелі гомогенді полиномиалмен берілсе, y-ді қою x және t-де n дәрежелі гомогенді полиномиалды тудырады. Алгебраның негізгі теоремасы оны сызықтық факторларға жіктеуге мүмкіндік береді. Әрбір фактор қиылысу нүктесінің x және t координаттарының қатынасын көрсетеді, ал фактордың көптігі қиылысу нүктесінің көптігіне тең. Егер t шексіздік координатасы ретінде қарастырылса, t-ге тең фактор шексіздіктегі қиылысу нүктесін білдіреді. Егер полиномиалдың р-нің кемінде бір жеке туындысы қиылысу нүктесінде нөлге тең болмаса, қисықтың осы нүктедегі жанамасы анықталады (қараңыз), ал қиылысудың көптігі бірден артық болады, егер және тек қана егер түзу қисыққа жанасатын болса. Егер барлық жеке туындылар нөлге тең болса, қиылысу нүктесі ерекше нүкте болып табылады, ал қиылысудың көптігі кемінде екіге тең.

Көптік

Көптік ұғымы Безоу теоремасы үшін маңызды, себебі ол күшті емес теңсіздік орнына теңдік болуына мүмкіндік береді. Интуитивті түрде, бірнеше полиномдардың ортақ нөлінің көптігі – коэффициенттер сәл өзгерген кезде ортақ нөлдің қанша нөлге бөлінуі мүмкін екенін көрсетеді. Мысалы, қисыққа жүргізілген жанама – қисықты бір нүктеде кесіп өтетін түзу, ал оны сәл жылдырса, ол бірнеше нүктеде қиылысады. Бұл сан әдетте екіге тең (қалыпты нүктелер), бірақ одан да жоғары болуы мүмкін (инфлексиялық нүктелер үшін үш, толқын тәрізді нүктелер үшін төрт және т.б.). Бұл сан – жанаманың «контактінің көптігі». Деформация арқылы анықталатын көптік 19 ғасырдың соңына дейін қолданылып келді, бірақ ол қазіргі заманғы анықтамаларға әкелген бірнеше мәселелерге ие: деформацияларды қолдану қиын; мысалы, біржазықты полиномның түбірі үшін, деформация арқылы алынған көптік полиномның сәйкес келетін сызықтық көбейткішінің көптігіне тең екенін дәлелдеу үшін түбірлердің коэффициенттердің үздіксіз функциялары екенін білу қажет. Деформацияларды оң мінездемелі өрістерде қолдануға болмайды. Сонымен қатар, ыңғайлы деформацияны анықтау қиын жағдайлар бар (мысалы, екіден астам жазық қисықтардың ортақ қиылысу нүктесі болғанда) және тіпті деформация мүмкін емес жағдайлар да кездеседі. Қазіргі уақытта Жан-Пьер Серрдің айтуынша, көптік әдетте көптік анықталатын нүктеге байланысты жергілікті сақинаның ұзындығы ретінде анықталады. Көптеген нақты анықтамалар Серрдің анықтамасының ерекше жағдайлары болып табылады. Безоу теоремасының жағдайында жалпы қиылысу теориясын қолданудан аулақ болуға болады, себебі теореманың кіріс деректеріне сәйкес келетін, теңдеулердің коэффициенттеріндегі полиномды анықтайтын дәлелдер бар (төменде қараңыз), ол әрқайсысы бір қиылысу нүктесіне сәйкес келетін сызықтық көбейткіштерге жіктеледі. Осылайша, қиылысу нүктесінің көптігі – сәйкес келетін көбейткіштің көптігі. Бұл көптіктің деформация арқылы алынған көптікке тең екенін дәлелдеу қиылысу нүктелерінің және жіктелген полиномның түбірлеріне үздіксіз түрде тәуелді екендігінен туындайды.

The concept of multiplicity is fundamental for Bézout's theorem, as it allows having an equality instead of a much weaker inequality. Intuitively, the multiplicity of a common zero of several polynomials is the number of zeros into which the common zero can split when the coefficients are slightly changed. For example, a tangent to a curve is a line that cuts the curve at a point that splits in several points if the line is slightly moved. This number is two in general (ordinary points), but may be higher (three for inflection points, four for undulation points, etc.). This number is the "multiplicity of contact" of the tangent. This definition of a multiplicities by deformation was sufficient until the end of the 19th century, but has several problems that led to more convenient modern definitions: Deformations are difficult to manipulate; for example, in the case of a root of a univariate polynomial, for proving that the multiplicity obtained by deformation equals the multiplicity of the corresponding linear factor of the polynomial, one has to know that the roots are continuous functions of the coefficients. Deformations cannot be used over fields of positive characteristic. Moreover, there are cases where a convenient deformation is difficult to define (as in the case of more than two plane curves having a common intersection point), and even cases where no deformation is possible. Currently, following Jean Pierre Serre, a multiplicity is generally defined as the length of a local ring associated with the point where the multiplicity is considered. Most specific definitions can be shown to be special case of Serre's definition. In the case of Bézout's theorem, the general intersection theory can be avoided, as there are proofs (see below) that associate to each input data for the theorem a polynomial in the coefficients of the equations, which factorizes into linear factors, each corresponding to a single intersection point. So, the multiplicity of an intersection point is the multiplicity of the corresponding factor. The proof that this multiplicity equals the one that is obtained by deformation, results then from the fact that the intersection points and the factored polynomial depend continuously on the roots.

Нәтижелі (жаҫы қисықтар) пайдалану

P және Q сандары x, y, t белгісіздеріндегі p және q дәрежелеріндегі екі біртекті полином болсын. Олардың нөлдері – екі проективтік қисықтың біртекті координаттары. Осылайша, олардың қиылысу нүктелерінің біртекті координаттары P және Q-ның ортақ нөлдері болып табылады. Бір белгісіз, мысалы y-тің дәрежелерін біріктіре отырып, x және t-дегі коэффициенттері біртекті полиномдар болатын бірөлшемді полиномдар алынады.

Техникалық себептерге байланысты, P және Q-ның y-ге қатысты дәрежелері олардың толық дәрежелеріне (p және q) тең болуы үшін координаттарды өзгерту қажет, сондай-ақ екі қиылысу нүктесінен өтетін кез келген түзу (0, 1, 0) нүктесінен өтпеуі керек (яғни, екі нүктеде бірдей декарттық x координатасы болмайды). P және Q-ның y-ге қатысты результанты R(x, t) – x және t-дегі келесі қасиеті бар біртекті полином: ол тек қана P және Q-ның ортақ нөлі болған жағдайда ғана ортақ нөл болады (қараңыз). Жоғарыдағы техникалық шарт оның бірегейлігін қамтамасыз етеді. Аталған бірінші техникалық шарт результантты анықтауда қолданылатын дәрежелер p және q екенін білдіреді; бұл R дәрежесінің pq-ға тең екенін білдіреді (қараңыз). R екі белгісіздегі біртекті полином болғандықтан, алгебраның негізгі теоремасы R-дің pq сызықтық полиномдардың көбейтіндісі екенін көрсетеді. Егер P және Q-ның ортақ нөлінің көптігін көбейтініштегі сәйкес фактордың қайталану саны ретінде анықтаса, Безу теоремасы осылай дәлелденеді. Жаңа анықталған қиылысу көптігі деформация тұрғысынан алынған анықтамамен тең екенін көрсету үшін, результанттың және оның сызықтық факторларының P және Q коэффициенттерінің үздіксіз функциялары екенін атап өту жеткілікті. Кесісу көптігінің басқа анықтамаларымен теңдікті дәлелдеу осы анықтамалардың техникалық ерекшеліктеріне байланысты, сондықтан бұл мақаланың шеңберінен тыс.

Нәтижелі пайдалану

XX ғасырдың басында Фрэнсис Соверби Маколей n біртекті полиномиалдың n белгісіздердегі көпөлшемді нәтижесін (сонымен қатар Маколей нәтижесі деп те аталады) енгізді, бұл екі полиномиалдың әдеттегі нәтижесінің жалпыламасы. Маколей нәтижесі – n гомогенді полиномиалдың коэффициенттерінің полиномиалдық функциясы, және бұл функция нөлге тең болады, егер және тек қана полиномиалдардың нөлдік емес (яғни, кемінде бір компоненті нөлдік емес) ортақ нөлі болса. U-нәтижесі – Маколейдің де енгізген Маколей нәтижесінің ерекше жағдайы. Егер n+1 белгісіздерде n гомогенді полиномиал берілген болса, U-нәтижесі және коэффициенттері қосымша белгісіздер болатын нәтиже болып табылады. U-нәтижесі – біртекті полиномиал, оның дәрежесі полиномиалдар дәрежелерінің көбейтіндісіне тең. Көпөлшемді полиномиал әдетте бөлшектік емес, бірақ U-нәтижесі алгебралық жабық өрісте, полиномиалдардың коэффициенттерін қамтитын өрісте, (а) бойынша сызықтық полиномиалдарға жіктеледі. Бұл сызықтық факторлар полиномиалдардың ортақ нөлдеріне сәйкес келеді: әрбір ортақ нөлге (а) сызықтық фактор сәйкес келеді, және керісінше. Бұл Безу теоремасын дәлелдейді, егер ортақ нөлдің көптігі U-нәтижесінің сәйкес сызықтық факторларының көптігі ретінде анықталса. Бұрынғы дәлелдегідей, бұл көптіктің деформация бойынша анықтамасымен теңдігі U-нәтижесінің полиномиалдардың коэффициенттеріне байланысты үздіксіздігінен туындайды. Бұл Безу теоремасының дәлелі қазіргі заманғы қатаңдық критерийлеріне сай келетін ең көне дәлел болып көрінеді.