Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Математика многообразий с целочисленными координатами
Mathematics of varieties with integer coordinates
В математике диофантова геометрия — это изучение диофантовых уравнений с помощью мощных методов алгебраической геометрии. К XX веку некоторым математикам стало ясно, что методы алгебраической геометрии являются идеальными инструментами для изучения этих уравнений. Диофантова геометрия является частью более широкой области арифметической геометрии. Четыре теоремы в диофантовой геометрии, имеющие фундаментальное значение, включают:
In mathematics, Diophantine geometry is the study of Diophantine equations by means of powerful methods in algebraic geometry. By the 20th century it became clear for some mathematicians that methods of algebraic geometry are ideal tools to study these equations. Diophantine geometry is part of the broader field of arithmetic geometry. Four theorems in Diophantine geometry that are of fundamental importance include:
Одно уравнение определяет гиперповерхность, а система диофантовых уравнений порождает общее алгебраическое многообразие V над K. Типичный вопрос касается природы множества V(K) точек на V с координатами в K, и с помощью функций высоты можно задавать количественные вопросы о "размере" этих решений, а также качественные вопросы о существовании каких-либо точек, и если они существуют, то конечно или бесконечно. Учитывая геометрический подход, рассмотрение однородных уравнений и однородных координат является фундаментальным, по тем же причинам, что и проективная геометрия – доминирующий подход в алгебраической геометрии. Поэтому решения в рациональных числах являются основным объектом изучения; однако целочисленные решения (точки решетки) можно рассматривать аналогичным образом, поскольку аффинное многообразие можно рассматривать как подмножество проективного многообразия, содержащего дополнительные точки на бесконечности. Общий подход диофантовой геометрии иллюстрируется теоремой Фальтинга (предположением Л. Дж. Морделла), утверждающей, что алгебраическая кривая C рода g > 1 над полем рациональных чисел имеет лишь конечное число рациональных точек. Первым результатом подобного рода, возможно, была теорема Гильберта и Хурвица, касающаяся случая g = 0. Теория включает в себя как теоремы, так и множество гипотез и нерешенных вопросов.
A single equation defines a hypersurface, and simultaneous Diophantine equations give rise to a general algebraic variety V over K; the typical question is about the nature of the set V(K) of points on V with co ordinates in K, and by means of height functions, quantitative questions about the "size" of these solutions may be posed, as well as the qualitative issues of whether any points exist, and if so whether there are an infinite number. Given the geometric approach, the consideration of homogeneous equations and homogeneous co ordinates is fundamental, for the same reasons that projective geometry is the dominant approach in algebraic geometry. Rational number solutions therefore are the primary consideration; but integral solutions (i. e. lattice points) can be treated in the same way as an affine variety may be considered inside a projective variety that has extra points at infinity. The general approach of Diophantine geometry is illustrated by Faltings's theorem (a conjecture of L. J. Mordell) stating that an algebraic curve C of genus g > 1 over the rational numbers has only finitely many rational points. The first result of this kind may have been the theorem of Hilbert and Hurwitz dealing with the case g = 0. The theory consists both of theorems and many conjectures and open questions.