Алгебралық геометрия

Кіріспе

Математиканың саласы

Алгебралық геометрия – математиканың абстрактілі алгебралық әдістерді, негізінен коммутативтік алгебрадан, геометриялық мәселелерді шешу үшін қолданатын саласы. Классикалық түрде ол көптүсті полиномиалдардың нөлдерін зерттейді; қазіргі тәсіл мұны бірнеше түрлі аспектілерде жалпылайды. Алгебралық геометрияның негізгі зерттеу объектілері – алгебралық сорттар, олар полиномиялық теңдеулер жүйелерінің шешімдерінің геометриялық көрінісі болып табылады. Алгебралық сорттардың ең көп зерттелетін сыныптарының мысалдары – сызықтар, шеңберлер, параболалар, эллипстер, гиперболалар, эллиптік қисықтар сияқты кубтық қисықтар және лемнискаттар мен Кассини овалдары сияқты кварктық қисықтар. Бұл – жазықты алгебралық қисықтар. Егер оның координаттары берілген полиномиалдық теңдеуді қанағаттандырса, жазықтықтың нүктесі алгебралық қисық сызықта жатыр. Негізгі сұрақтар ерекше қызығушылық тудыратын нүктелерді, мысалы, жеке нүктелерді, бұрылыс нүктелерін және шексіз нүктелерді зерттеуді қамтиды. Алдыға қойылған сұрақтар қисықтың топологиясы мен әр түрлі теңдеулер арқылы анықталатын қисықтар арасындағы қатынасты қамтиды. Алгебралық геометрия қазіргі заманғы математикада орталық орын алады және күрделі талдау, топология және сандар теориясы сияқты әртүрлі салалармен көптеген тұжырымдамалық байланыстарға ие. Бірнеше айнымалыдағы полиномиялық теңдеулер жүйелерін зерттеу ретінде алгебралық геометрияның тақырыбы теңдеулерді шешу арқылы нақты шешімдерді табудан басталады, содан кейін теңдеулер жүйесінің барлық шешімдерінің ішкі қасиеттерін түсінуге кіріседі. Бұл түсінік тұжырымдамалық теорияны да, есептеу техникасын да қажет етеді. 20 ғасырда алгебралық геометрия бірнеше кіші салаларға бөлінді. Алгебралық геометрияның негізгі ағымы алгебралық сорттардың күрделі нүктелерін зерттеуге және жалпы алгебралық жабық өрісте координаттары бар нүктелерге арналған. Нақты алгебралық геометрия – нағыз алгебралық сорттарды зерттеу. Диофантикалық геометрия және, жалпы алғанда, арифметикалық геометрия – алгебралық түрде жабық емес өрістердегі алгебралық сорттарды зерттеу және, атап айтқанда, алгебралық сандар теориясындағы қызығушылықтың өрістері, мысалы, рационалдық сандар, сандар өрістері, шекті өрістер, функция өрістері және p-адик өрістер. Сингулярлық теорияның үлкен бөлігі алгебралық сорттардың сингулярлықтарына арналған. Есептеулік алгебралық геометрия – бұл алгебралық геометрия мен компьютерлік алгебраның қиылысында пайда болған, компьютерлердің пайда болуымен байланысты сала. Ол негізінен алгоритмдерді жобалаудан және белгілі бір алгебралық сорттардың қасиеттерін зерттеу үшін бағдарламалық жасақтаманы әзірлеуден тұрады. Алгебралық геометрияның 20 ғасырдағы негізгі ағынының дамуының көп бөлігі абстрактілі алгебралық негізде болды, ал алгебралық сорттардың «ішкі» қасиеттеріне басымдық берілді, олар айналадағы координаттық кеңістіктегі сорттарды ендірудің қандай да бір ерекше әдісіне тәуелді емес; бұл топология, дифференциалдық және күрделі геометрияның дамуына параллель. Бұл абстрактілі алгебралық геометрияның негізгі жетістіктерінің бірі – Гротендиктің схемалық теориясы, ол бушақ теориясын алгебралық сорттарды зерттеу үшін дифференциалдық және аналитикалық көптүрліліктерді зерттеуде қолданылуына өте ұқсас жолмен пайдалануға мүмкіндік береді. Бұл нүкте ұғымын кеңейту арқылы алынады: Классикалық алгебралық геометрияда аффиналық сорттың нүктесін Хилберттің Nullstellensatz арқылы координаттар сақинасының максималдық идеалымен анықтауға болады, ал сәйкес аффиналық схеманың нүктелері осы сақинаның барлық алғашқы идеалдары болып табылады. Бұл дегеніміз, мұндай схеманың нүктесі әдеттегі нүкте немесе субсорт болуы мүмкін. Бұл тәсіл сонымен қатар классикалық алгебралық геометрияның, негізінен күрделі нүктелерді және алгебралық сан теориясын біріктіруге мүмкіндік береді. Уайлстың Ферманың соңғы теоремасы деп аталатын ұзақ уақыттан бері келе жатқан жорамалға дәлел келтіруі осы әдістің күшін көрсетеді.

Algebraic geometry is a branch of mathematics which uses abstract algebraic techniques, mainly from commutative algebra, to solve geometrical problems. Classically, it studies zeros of multivariate polynomials; the modern approach generalizes this in a few different aspects. The fundamental objects of study in algebraic geometry are algebraic varieties, which are geometric manifestations of solutions of systems of polynomial equations. Examples of the most studied classes of algebraic varieties are lines, circles, parabolas, ellipses, hyperbolas, cubic curves like elliptic curves, and quartic curves like lemniscates and Cassini ovals. These are plane algebraic curves. A point of the plane lies on an algebraic curve if its coordinates satisfy a given polynomial equation. Basic questions involve the study of points of special interest like singular points, inflection points and points at infinity. More advanced questions involve the topology of the curve and the relationship between curves defined by different equations. Algebraic geometry occupies a central place in modern mathematics and has multiple conceptual connections with such diverse fields as complex analysis, topology and number theory. As a study of systems of polynomial equations in several variables, the subject of algebraic geometry begins with finding specific solutions via equation solving, and then proceeds to understand the intrinsic properties of the totality of solutions of a system of equations. This understanding requires both conceptual theory and computational technique. In the 20th century, algebraic geometry split into several subareas. The mainstream of algebraic geometry is devoted to the study of the complex points of the algebraic varieties and more generally to the points with coordinates in an algebraically closed field. Real algebraic geometry is the study of the real algebraic varieties. Diophantine geometry and, more generally, arithmetic geometry is the study of algebraic varieties over fields that are not algebraically closed and, specifically, over fields of interest in algebraic number theory, such as the field of rational numbers, number fields, finite fields, function fields, and p adic fields. A large part of singularity theory is devoted to the singularities of algebraic varieties. Computational algebraic geometry is an area that has emerged at the intersection of algebraic geometry and computer algebra, with the rise of computers. It consists mainly of algorithm design and software development for the study of properties of explicitly given algebraic varieties. Much of the development of the mainstream of algebraic geometry in the 20th century occurred within an abstract algebraic framework, with increasing emphasis being placed on "intrinsic" properties of algebraic varieties not dependent on any particular way of embedding the variety in an ambient coordinate space; this parallels developments in topology, differential and complex geometry. One key achievement of this abstract algebraic geometry is Grothendieck's scheme theory which allows one to use sheaf theory to study algebraic varieties in a way which is very similar to its use in the study of differential and analytic manifolds. This is obtained by extending the notion of point: In classical algebraic geometry, a point of an affine variety may be identified, through Hilbert's Nullstellensatz, with a maximal ideal of the coordinate ring, while the points of the corresponding affine scheme are all prime ideals of this ring. This means that a point of such a scheme may be either a usual point or a subvariety. This approach also enables a unification of the language and the tools of classical algebraic geometry, mainly concerned with complex points, and of algebraic number theory. Wiles' proof of the longstanding conjecture called Fermat's Last Theorem is an example of the power of this approach.

Қалыпты функциялар

Тұрақты функциялар топологиялық кеңістіктердегі табиғи бейнелеулер және тегіс функциялар дифференциалданатын көпүрліліктердегі табиғи бейнелеулер сияқты, алгебралық жиынтықтағы функциялардың табиғи класы бар, олар тұрақты функциялар немесе полиномдық функциялар деп аталады. An-те орналасқан V алгебралық жиынтығындағы тұрақты функция – An-тегі тұрақты функцияның V-ге шектелуі. Комплекс сандар өрісінде анықталған алгебралық жиын үшін тұрақты функциялар тегіс және тіпті аналитикалық болады. Тұрақты функцияның әрқашан айналадағы кеңістікке кеңейтілуі керек деген талап табиғи емес сияқты көрінуі мүмкін, бірақ бұл жағдай қалыпты топологиялық кеңістіктегі Тиецтің кеңейту теоремасымен ұқсас, онда жабық ішкі жиынтықтағы үздіксіз функция әрқашан айналадағы топологиялық кеңістікке кеңейтіледі. Аффиндік кеңістіктегі тұрақты функциялар сияқты, V-дегі тұрақты функциялар сақина құрайды, оны k[V] деп белгілейміз. Бұл сақина V-дің координаталық сақинасы деп аталады. V-дегі тұрақты функциялар An-дегі тұрақты функциялардан туындағандықтан, координаталық сақиналар арасында байланыс бар. Атап айтқанда, егер V-дегі тұрақты функция k[An]-дағы f және g функцияларының шектеуі болса, онда f – g полиномдық функциясы болады, ол V-де нөлге тең және осылайша I(V)-ке жатады. Осылайша, k[V] k[An]/I(V) ретінде анықталады.

Афиналы сорттардың морфизмі

Аффиналық түрден А1-ге дейінгі тұрақты функцияларды пайдаланып, біз бір аффиналық түрден екіншісіне тұрақты бейнелеулерді анықтай аламыз. Біріншіден, әртүрліліктен аффиндік кеңістікке тұрақты бейнелеуді анықтаймыз: V, An-да орналасқан әртүрлілік болсын. V-дегі m тұрақты функцияны таңдап, оларды f1, ..., fm деп атайық. Біз f = (f1, ..., fm) деп белгілеп, V-ден Am-ге дейінгі f тұрақты бейнелеуін анықтаймыз. Яғни, әр fi, f бейнелеуінің бір координатасын анықтайды.

Егер V′, Am-де орналасқан әртүрлілік болса, f бейнелеуінің мәні V′-де орналасқан жағдайда, f, V-ден V′-ге дейінгі тұрақты бейнелеу деп айтамыз. Тұрақты бейнелеулердің анықтамасы алгебралық жиындықтарға да қолданылады. Тұрақты бейнелеулер морфизмдер деп те аталады, себебі олар барлық аффиналық алгебралық жиындықтарды бір категорияға біріктіреді, онда объектілер аффиналық алгебралық жиындықтар, ал морфизмдер – тұрақты бейнелеулер. Аффиналық әртүрліліктер алгебралық жиындықтар категориясының ішкі категориясы болып табылады. V-ден V′-ге дейінгі g тұрақты бейнелеуі және k[V′] алгебрасының f тұрақты функциясы берілген болса, онда f ∘ g ∈ k[V]. f → f ∘ g бейнелеуі k[V′] алгебрасынан k[V] алгебрасына сақиналық гомоморфизм болып табылады. Керісінше, k[V′] алгебрасынан k[V] алгебрасына кез келген сақиналық гомоморфизм V-ден V′-ге дейінгі тұрақты бейнелеуді анықтайды. Бұл алгебралық жиындықтар категориясы мен шекті түрде туындыланған қысқартылған k алгебраларының кері категориясы арасындағы категориялардың эквиваленттігін анықтайды. Бұл эквиваленттілік схемалар теориясының бастапқы тұсының бірі болып табылады.

Рационалдық функция және бирационалдық балама

Алдыңғы бөлімдерден айырмашылығы, бұл бөлім тек сорттарды қарастырады, ал алгебралық жиынтықтарды емес. Екінші жағынан, анықтамалар табиғи түрде проективті сорттарға (келесі бөлімде) кеңейтіледі, себебі аффиндік сорт пен оның проективті толықтыруы бірдей функциялар өрісіне ие. Егер V аффиндік сорт болса, оның координаталық сақинасы интегралды домен болып табылады және осыған байланысты k(V деп белгіленетін бөлшек өрісіне ие, бұл V-дегі рационалды функциялар өрісі немесе қысқаша V функциялық өрісі деп аталады. Оның элементтері – V-ні қамтитын аффиндік кеңістіктегі рационалды функциялардың V-ге шектелуі. Рационалды функция f-тың анықталу облысы V емес, бірақ f-тың бөлімі нөлге тең болатын субсорттың (гипербет) толықтырғышы. Регулярлы бейнелеулердегідей, V сортынан V' сортына рационалды бейнелеуді анықтауға болады. Регулярлы бейнелеулердегідей, V-ден V'-ға дейінгі рационалды бейнелеулер k(V')-ден k(V)-ға дейінгі өріс гомоморфизмдерімен сәйкес келеді. Егер олардың арасында бір-біріне кері болатын және екеуі де анықталған аймақтардағы екі рационалды функция болса, онда екі аффиндік сорт бирационалды теңдес болады. Сондай-ақ, егер олардың функциялық өрістері изоморфты болса, олар бирационалды теңдес болады. Аффиндік сорт, егер ол аффиндік кеңістікке бирационалды теңдес болса, рационалды сорт болып табылады. Бұл сорттың рационалды параметрлеуге ие екенін білдіреді, яғни рационалды функциялармен берілген параметрлеуге. Мысалы, теңдеуімен берілген шеңбер рационалды қисық болып табылады, себебі оның параметрлік теңдеуі бар, оны түзуден шеңберге рационалды бейнелеу ретінде қарастыруға болады. Сингулярлықтарды жою мәселесі – әрбір алгебралық сорттың проективті толықтыруы сингуляр емес сортқа бирационалды теңдес болатынын анықтау болып табылады (сонымен қатар, тегіс толықтыруды қараңыз). Бұл мәселе 1964 жылы Хэйсуке Хиронака 0 сипатта оң шешім тапты, бірақ шекті сипатта әлі де шешілмеген.

Жобалау сұрыптары

Екінші, үшінші және төртінші дәрежелі көпмүшелердің түбірлері үшін берілген формулалар, нақты сандарды күрделі сандардың алгебралық жағынан толыққандай кеңістігіне кеңейтуді ұсынатын сияқты, алгебралық сорттардың көптеген қасиеттері аффиндік кеңістікті геометриялық жағынан толыққандай проективтік кеңістікке кеңейтуді ұсынады. Күрделі сандар x² + 1 көпмүшесінің түбірі – i санын қосу арқылы алынады, ал проективтік кеңістік параллель түзулердің қиылысатын нүктелеріне сәйкес келетін нүктелерді, яғни «шексіздіктегі» нүктелерді қосу арқылы алынады. Мұның қалай болатынын түсіну үшін V(y – x²) сортын қарастырайық. Оны салсақ, парабола аламыз. x оң шексіздікке қашан жетсе, координаталардың басынан (x, x²) нүктесіне дейінгі түзудің бұрышы да оң шексіздікке қашан жетеді. x теріс шексіздікке қашан жетсе, дәл сол түзудің бұрышы теріс шексіздікке қашан жетеді. Бұл V(y – x³) сортына салыстырайық. Бұл – кубтық қисық. x оң шексіздікке қашан жетсе, координаталардың басынан (x, x³) нүктесіне дейінгі түзудің бұрышы бұрынғыдай оң шексіздікке қашан жетеді. Бірақ бұрынғыдан айырмашылығы, x теріс шексіздікке қашан жетсе, дәл сол түзудің бұрышы да оң шексіздікке қашан жетеді; параболаның керісі. Демек, V(y – x³) сортының «шексіздіктегі» мінез-құлқы V(y – x²) сортының «шексіздіктегі» мінез-құлқынан өзгеше. Екі қисықтың проективтік толықтыруын, яғни проективтік жазықтықтағы олардың «шексіздікке» қарай ұзартылуын қарастыру, осы айырмашылықты анықтауға мүмкіндік береді: параболаның шексіздіктегі нүктесі – тұрақты нүкте, оның жанамасы – шексіздіктегі түзу, ал кубтық қисықтың шексіздіктегі нүктесі – тұғыр. Сонымен қатар, екі қисық та рационалды, өйткені олар x арқылы параметрленген, ал Риман-Рох теоремасы кубтық қисықта сингулярлық болуы керек екенін көрсетеді, ол шексіздікте болуы керек, өйткені аффиндік кеңістіктегі барлық нүктелері тұрақты. Осылайша, алгебралық сорттардың көптеген қасиеттері, соның ішінде бирационалдық эквиваленттілік және барлық топологиялық қасиеттер «шексіздіктегі» мінез-құлыққа байланысты, сондықтан сорттарды проективтік кеңістікте зерттеу орынды. Бұдан әрі, проективтік әдістерді енгізу алгебралық геометриядағы көптеген теоремаларды қарапайымдап, нақтырақ етті: мысалы, Безу теоремасы екі сорт арасындағы қиылысу нүктелерінің саны туралы проективтік кеңістікте ғана ең нақты түрінде айтылуы мүмкін. Осы себептерге байланысты проективтік кеңістік алгебралық геометриядағы негізгі рөл атқарады. Қазіргі кезде n өлшемді проективтік кеңістік Pn әдетте n + 1 өлшемді аффиндік кеңістіктегі координаталардың басы ретінде қарастырылатын нүктеден өтетін түзулер жиынтығы ретінде немесе n + 1 өлшемді векторлық кеңістіктегі векторлық түзулер жиынтығы ретінде анықталады. n + 1 өлшемді кеңістікте координаттар жүйесі таңдалғанда, түзудің барлық нүктелері k элементіне көбейтілгенге дейін бірдей координаттар жиынтығына ие болады. Бұл Pn нүктесінің біртекті координаттарын k базалық өрістің n + 1 элементтерінің тізбегі ретінде анықтайды, олар k нөлден өзге элементке көбейтілгенге дейін анықталады (тізбектегі барлық элементтер үшін бірдей). n + 1 айнымалыдағы көпмүше, егер және тек егер ол біртекті болса, координаталардың басы арқылы өтетін түзудің барлық нүктелерінде нөлге тең болады. Бұл жағдайда, көпмүше Pn-нің сәйкес нүктесінде нөлге тең дейміз. Бұл Pn-дегі проективтік алгебралық жиынтықты V(f₁, …, fk) жиынтығы ретінде анықтауға мүмкіндік береді, мұнда {f₁, …, fk} гомогенді көпмүшелердің шекті жиынтығы нөлге тең болады. Аффиндік алгебралық жиынтықтарға ұқсас, проективтік алгебралық жиынтықтар мен оларды анықтайтын азайтылған гомогендік идеалдар арасында биекция бар. Проективтік сорттар – бұл анықтауыш идеалдары жай болатын проективтік алгебралық жиынтықтар. Басқаша айтқанда, проективтік сорт – бұл гомогенді координаттар сақинасы интегралды домен болатын проективтік алгебралық жиын, проективтік координаттар сақинасы n + 1 айнымалыдағы көпмүшелердің үлесі ретінде сортты анықтайтын гомогенді (азайтылған) идеалмен анықталады. Кез келген проективтік алгебралық жиынтықты проективтік сорттардың шекті одағына бірегей түрде жіктеуге болады. Проективтік сортта дұрыс анықталуы мүмкін жалғыз тұрақты функциялар – тұрақты функциялар. Сондықтан бұл ұғым проективтік жағдайларда қолданылмайды. Екінші жағынан, рационалдық функциялардың өрісі немесе функциялық өріс пайдалы ұғым болып табылады, ол аффиндік жағдайға ұқсас, гомогенді координаттар сақинасындағы бірдей дәрежедегі екі гомогенді элементтердің үлестерінің жиынтығы ретінде анықталады.

Just as the formulas for the roots of second, third, and fourth degree polynomials suggest extending real numbers to the more algebraically complete setting of the complex numbers, many properties of algebraic varieties suggest extending affine space to a more geometrically complete projective space. Whereas the complex numbers are obtained by adding the number i, a root of the polynomial x2 + 1, projective space is obtained by adding in appropriate points "at infinity", points where parallel lines may meet. To see how this might come about, consider the variety V(y − x2). If we draw it, we get a parabola. As x goes to positive infinity, the slope of the line from the origin to the point (x, x2) also goes to positive infinity. As x goes to negative infinity, the slope of the same line goes to negative infinity. Compare this to the variety V(y − x3). This is a cubic curve. As x goes to positive infinity, the slope of the line from the origin to the point (x, x3) goes to positive infinity just as before. But unlike before, as x goes to negative infinity, the slope of the same line goes to positive infinity as well; the exact opposite of the parabola. So the behavior "at infinity" of V(y − x3) is different from the behavior "at infinity" of V(y − x2). The consideration of the projective completion of the two curves, which is their prolongation "at infinity" in the projective plane, allows us to quantify this difference: the point at infinity of the parabola is a regular point, whose tangent is the line at infinity, while the point at infinity of the cubic curve is a cusp. Also, both curves are rational, as they are parameterized by x, and the Riemann Roch theorem implies that the cubic curve must have a singularity, which must be at infinity, as all its points in the affine space are regular. Thus many of the properties of algebraic varieties, including birational equivalence and all the topological properties, depend on the behavior "at infinity" and so it is natural to study the varieties in projective space. Furthermore, the introduction of projective techniques made many theorems in algebraic geometry simpler and sharper: For example, Bézout's theorem on the number of intersection points between two varieties can be stated in its sharpest form only in projective space. For these reasons, projective space plays a fundamental role in algebraic geometry. Nowadays, the projective space Pn of dimension n is usually defined as the set of the lines passing through a point, considered as the origin, in the affine space of dimension n + 1, or equivalently to the set of the vector lines in a vector space of dimension n + 1. When a coordinate system has been chosen in the space of dimension n + 1, all the points of a line have the same set of coordinates, up to the multiplication by an element of k. This defines the homogeneous coordinates of a point of Pn as a sequence of n + 1 elements of the base field k, defined up to the multiplication by a nonzero element of k (the same for the whole sequence). A polynomial in n + 1 variables vanishes at all points of a line passing through the origin if and only if it is homogeneous. In this case, one says that the polynomial vanishes at the corresponding point of Pn. This allows us to define a projective algebraic set in Pn as the set V(f1, , fk), where a finite set of homogeneous polynomials {f1, , fk} vanishes. Like for affine algebraic sets, there is a bijection between the projective algebraic sets and the reduced homogeneous ideals which define them. The projective varieties are the projective algebraic sets whose defining ideal is prime. In other words, a projective variety is a projective algebraic set, whose homogeneous coordinate ring is an integral domain, the projective coordinates ring being defined as the quotient of the graded ring or the polynomials in n + 1 variables by the homogeneous (reduced) ideal defining the variety. Every projective algebraic set may be uniquely decomposed into a finite union of projective varieties. The only regular functions which may be defined properly on a projective variety are the constant functions. Thus this notion is not used in projective situations. On the other hand, the field of the rational functions or function field is a useful notion, which, similarly to the affine case, is defined as the set of the quotients of two homogeneous elements of the same degree in the homogeneous coordinate ring.

Нақты алгебралық геометрия

Нақты алгебралық геометрия — нақты алгебралық сорттарды зерттеу пәні. Мұндай зерттеуде нақты сандар өрісі реттелген өріс екенін ескермеуге болмайды. Мысалы, теңдеумен анықталған қисық егер болса, шеңбер болады, ал егер болса, нақты нүктелері болмайды. Нақты алгебралық геометрия, сондай-ақ, полиномдық теңсіздіктер жүйесінің шешімдері болып табылатын жартылай алгебралық жиындарды да зерттейді. Мысалы, теңдеумен анықталған гиперболаның екі тармағының ешқайсысы нақты алгебралық сорт емес. Дегенмен, бірінші ширектейдегі тармақ — және шарттарымен анықталған жартылай алгебралық жиын. Нақты алгебралық геометриядағы ашық мәселелердің бірі — Хилберттің он алтыншы мәселесінің келесі бөлігі: 8-дәрежелі емес жеңіл жазық қисығының овалдары үшін қандай өзара орналасулар мүмкін екенін анықтау.

Цилиндрлік алгебралық ыдырау (CAD)

CAD – 1973 жылы G. Collins ұсынған, нақты сандардағы сандық жою туралы Тарски-Сайденберг теоремасын қабылдауға мүмкіндік беретін алгоритм. Бұл теорема бірінші реттік логиканың формулаларына қатысты, олардың атомдық формулалары – нақты коэффициенттері бар полиномиялар арасындағы полиномиялық теңдіктер немесе теңсіздіктер. Осы формулалар атомдық формулалардан және (∧), немесе (∨), емес (¬), барлық (∀) және бар (∃) логикалық операторлары арқылы құрастырылады. Тарски теоремасы мұндай формуладан сандық белгілерсіз (∀, ∃) эквивалентті формуланы есептеуге болатынын көрсетеді. CAD алгоритмінің күрделілігі айнымалылар санына қатысты екі рет экспоненциалды. Бұл, теориялық тұрғыда, CAD-дің нақты алгебралық геометрияның кез келген мәселесін шешуге мүмкіндік беретінін білдіреді, яғни нақты берілген сорттар мен жартылай алгебралық жиынтарға қатысты барлық мәселелерді. Гробнер негізін есептеу сирек жағдайларда ғана екі рет экспоненциалдық күрделілікке ие болса, CAD-де көбінесе осы жоғары күрделілік кездеседі. Осыдан келіп, егер кіріс деректеріндегі көпшелектердің көпшілігі сызықтық болмаса, онда CAD төрттен астам айнымалысы бар мәселелерді шеше алмайды. 1973 жылдан бері осы тақырыптағы зерттеулердің көп бөлігі CAD-ді жақсартуға немесе жалпы маңызы бар ерекше жағдайларда баламалы алгоритмдерді табуға бағытталған. Мысалы, жартылай алгебралық жиынның әрбір байланысқан компонентінде кем дегенде бір нүкте табуға және осылайша жартылай алгебралық жиынның бос екенін тексеруге мүмкіндік беретін тиімді алгоритмдер бар. Алайда, қазіргі таңдағы тәжірибеде CAD байланысқан компоненттердің санын есептеу үшін ең жақсы алгоритм болып табылады.

Асимптотикалық күрделілік пен практикалық тиімділік

Есептеу геометриясының негізгі жалпы алгоритмдері екі есе экспоненциалды ең нашар күрделілікке ие. Нақтырақ айтқанда, егер d – кіріс полиномдарының ең жоғары дәрежесі болса және n – айнымалылардың саны болса, олардың күрделілігі ең көп дегенде кейбір тұрақты c үшін, ал кейбір кірістер үшін күрделілік кем дегенде басқа тұрақты c′ үшін тең болады. 20-шы ғасырдың соңғы 20 жылында күрделілігі жақсырақ нақты қосалқы мәселелерді шешу үшін әртүрлі алгоритмдер енгізілді. Бұл алгоритмдердің көпшілігі күрделілікке ие. Гробнер негіздерімен шешілетін мәселелердің қосалқы мәселелерін шешетін алгоритмдердің ішінде аффиналық түрдің бос екенін тексеру және шешімдерінің саны шектеулі гомогенді емес полиномдық жүйелерді шешуді атауға болады. Мұндай алгоритмдер сирек іске асырылады, өйткені көптеген жағдайларда Фужеренің F4 және F5 алгоритмдері жақсырақ практикалық тиімділікке және, мүмкін, ұқсас немесе жақсырақ күрделілікке ие (мүмкін, өйткені Gröbner негізіндегі алгоритмдердің күрделілігін нақты кіріс класы бойынша бағалау қиын міндет, және ол тек бірнеше ерекше жағдайларда орындалды). CAD-пен шешілетін мәселені шешетін нақты алгебралық геометрияның негізгі алгоритмдері жартылай алгебралық жиынтардың топологиясына қатысты. Мысал ретінде, байланысты компоненттердің санын санау, екі нүктенің бірдей компонентте орналасқандығын тексеру немесе нақты алгебралық жиынның Уитни стратификациясын есептеуді келтіруге болады. Олардың күрделілігі тең, бірақ O нотациясымен байланысты тұрақты соншалықты жоғары, оларды CAD-мен тиімді шешілетін кез келген маңызды емес мәселені шешу үшін пайдалану мүмкін емес, тіпті әлемдегі барлық есептеу қуатын қолдансаңыз да. Сондықтан бұл алгоритмдер ешқашан іске асырылмаған, және жақсы асимптотикалық күрделілікке және жақсы практикалық тиімділікке ие алгоритмдерді іздеу – қазіргі таңдағы белсенді зерттеу саласы болып табылады.

Абстрактілі заманауи көзқарас

Қазіргі заманғы алгебралық геометрия тәсілдері схемаларға, формальды схемаларға, инд-схемаларға, алгебралық кеңістіктерге, алгебралық стектерге және т.б. әртүрлі жалпылық деңгейлеріндегі негізгі объектілердің ауқымын қайта анықтайды және тиімді кеңейтеді. Мұндай қажеттілік түрлер теориясының пайдалы идеяларынан туындайды, мысалы, Зарискидің формальды функцияларын құрылымдық сақиналарға нильпотент элементтерді қосу арқылы қарастыруға болады; циклдар мен доғалар кеңістіктерін қарастыру, топтық әрекеттер бойынша бөлулерді құру және табиғи қиылысу теориясы мен деформация теориясының формальды негіздерін дамыту кейбір қосымша кеңейтулерге алып келеді. Ең қызығы, 1950 жылдардың соңында алгебралық сорттар Александр Гротендиктің схема тұжырымдамасына енгізілді. Олардың жергілікті объектілері аффиндік схемалар немесе негізгі спектрлер болып табылады, олар жергілікті сақиналы кеңістіктерді құрайды, бұл коммутативті бірлік сақиналар санатына антиэквивалентті категорияны құрайды, сондай-ақ k өрісіндегі аффиндік алгебралық сорттар санаты мен шекті түрде туындаған k-алгебралар санаты арасындағы дуалистікті кеңейтеді. Жіктеу Зариски топологиясы бойынша жүзеге асырылады; біреу жергілікті сақиналы кеңістіктер санатында, сондай-ақ Йонеда енгізуді пайдаланып, аффиндік схемалар санатынан қарағанда жиынтықтардың прешевтерінің абстрактілі санатында жіктеуге болады. Жиынтық-теориялық мағынадағы Зариски топологиясы Гротендик топологиясымен ауыстырылады. Гротендик Гротендик топологияларын экзотикалық, бірақ геометриялық тұрғыдан нәзік және сезімтал мысалдарды ескере отырып енгізді, атап айтқанда эталь топологиясы және екі жалпақ Гротендик топологиясы: fppf және fpqc; қазіргі уақытта Нисевич топологиясы сияқты басқа да мысалдар маңызды болды. Шешпелер одан әрі Гротендик мағынасындағы стектерге жалпыланады, әдетте Артин стектеріне алып келетін кейбір қосымша бейнелеуге қабілетті шарттармен, тіпті одан да жақсырақ Делинье-Мамфорд стектері, екеуі де көбінесе алгебралық стектер деп аталады. Кейде аффиндік схемалар санатын басқа алгебралық сайттар ауыстырады. Мысалы, Николай Дуров коммутативті алгебралық монадтарды жалпыланған алгебралық геометриядағы жергілікті объектілердің жалпылануы ретінде енгізді. Бұл жағдайда тропикалық геометрияның, бір элементтің өрісіндегі абсолюттік геометрияның және Аракелов геометриясының алгебралық аналогының нұсқалары жүзеге асырылды. Әлемдік алгебралық геометрияға тағы бір формальды жалпылау мүмкін, онда алгебралардың әрбір түрінің өзіндік алгебралық геометриясы бар. Алгебралардың түрі терминін алгебралық сорттармен шатастыруға болмайды. Схемалардың, стектердің және жалпылаулардың тілі геометриялық ұғымдармен жұмыс істеудің құнды тәсілі болып танылды және қазіргі алгебралық геометрияның негізгі тастарына айналды. Алгебралық стектерді одан әрі жалпылауға болады және деформация теориясы мен қиылысу теориясы сияқты көптеген практикалық мәселелер үшін бұл көбінесе ең табиғи тәсіл. Аффиндік схемалардың Гротендик сайты алынған аффиндік схемалардың жоғары категориялық сайтына, коммутативті сақиналарды дифференциалдық градуирленген коммутативті алгебралардың шексіз санатымен немесе симплициалдық коммутативті сақиналармен немесе осыған ұқсас санатпен, Гротендик топологиясының тиісті түрімен ауыстыру арқылы кеңейтілуі мүмкін. Сонымен қатар, жиынтықтардың прешевтерін симплициалдық жиынтықтардың (немесе шексіз топтардың) прешевтерімен ауыстыруға болады. Содан кейін, тиісті гомотоптық құралдардың болуы кезінде, алынған аффиндік схемалардың шексіз санаты бойынша алынған стек туралы түсінік қалыптасады, бұл шеп аксиомасының белгілі бір шексіз категориялық нұсқасын қанағаттандырады (және алгебралық болу үшін, индуктивті түрде бейнелеу шарттарының тізбегі). Квиленнің модельдік санаттары, Сегал санаттары және квазикатегориялар - бұл алынған алгебралық геометрияны формализациялау үшін ең көп қолданылатын құралдардың бірі, оны Карлос Симпсон мектебі енгізді, оның ішінде Андре Хиршовиц, Бертран Тоэн, Габриэль Веззози, Мишель Ваки және басқалар; және Джейкоб Лурье, Бертран Тоэн және Габриэль Веззози одан әрі дамытты. А.бескінелік категорияларды пайдалана отырып, алынған алгебралық геометрияның басқа (коммутативті емес) нұсқасын Максим Концевич және оның ізбасарлары 1990 жылдардың басында әзірледі.

The modern approaches to algebraic geometry redefine and effectively extend the range of basic objects in various levels of generality to schemes, formal schemes, ind schemes, algebraic spaces, algebraic stacks and so on. The need for this arises already from the useful ideas within theory of varieties, e. g. the formal functions of Zariski can be accommodated by introducing nilpotent elements in structure rings; considering spaces of loops and arcs, constructing quotients by group actions and developing formal grounds for natural intersection theory and deformation theory lead to some of the further extensions. Most remarkably, in the late 1950s, algebraic varieties were subsumed into Alexander Grothendieck's concept of a scheme. Their local objects are affine schemes or prime spectra which are locally ringed spaces which form a category which is antiequivalent to the category of commutative unital rings, extending the duality between the category of affine algebraic varieties over a field k, and the category of finitely generated reduced k algebras. The gluing is along Zariski topology; one can glue within the category of locally ringed spaces, but also, using the Yoneda embedding, within the more abstract category of presheaves of sets over the category of affine schemes. The Zariski topology in the set theoretic sense is then replaced by a Grothendieck topology. Grothendieck introduced Grothendieck topologies having in mind more exotic but geometrically finer and more sensitive examples than the crude Zariski topology, namely the étale topology, and the two flat Grothendieck topologies: fppf and fpqc; nowadays some other examples became prominent including Nisnevich topology. Sheaves can be furthermore generalized to stacks in the sense of Grothendieck, usually with some additional representability conditions leading to Artin stacks and, even finer, Deligne–Mumford stacks, both often called algebraic stacks. Sometimes other algebraic sites replace the category of affine schemes. For example, Nikolai Durov has introduced commutative algebraic monads as a generalization of local objects in a generalized algebraic geometry. Versions of a tropical geometry, of an absolute geometry over a field of one element and an algebraic analogue of Arakelov's geometry were realized in this setup. Another formal generalization is possible to universal algebraic geometry in which every variety of algebras has its own algebraic geometry. The term variety of algebras should not be confused with algebraic variety. The language of schemes, stacks and generalizations has proved to be a valuable way of dealing with geometric concepts and became cornerstones of modern algebraic geometry. Algebraic stacks can be further generalized and for many practical questions like deformation theory and intersection theory, this is often the most natural approach. One can extend the Grothendieck site of affine schemes to a higher categorical site of derived affine schemes, by replacing the commutative rings with an infinity category of differential graded commutative algebras, or of simplicial commutative rings or a similar category with an appropriate variant of a Grothendieck topology. One can also replace presheaves of sets by presheaves of simplicial sets (or of infinity groupoids). Then, in presence of an appropriate homotopic machinery one can develop a notion of derived stack as such a presheaf on the infinity category of derived affine schemes, which is satisfying certain infinite categorical version of a sheaf axiom (and to be algebraic, inductively a sequence of representability conditions). Quillen model categories, Segal categories and quasicategories are some of the most often used tools to formalize this yielding the derived algebraic geometry, introduced by the school of Carlos Simpson, including Andre Hirschowitz, Bertrand Toën, Gabrielle Vezzosi, Michel Vaquié and others; and developed further by Jacob Lurie, Bertrand Toën, and Gabriele Vezzosi. Another (noncommutative) version of derived algebraic geometry, using A infinity categories has been developed from the early 1990s by Maxim Kontsevich and followers.

XVI ғасырдан бұрын

Алгебралық геометрияның кейбір бастаулары б.з.б. V ғасырдағы ежелгі гректердің еңбектеріне дейін жетеді. Мысалы, Делиан мәселесі – берілген a және b қабырғалары үшін x қабырғалы кубтың көлемі a²b тіктөртбұрышты қораптың көлемімен тең болатындай x ұзындығын табу еді. Менахм (шамамен б.з.б. 350 ж.) бұл мәселені геометриялық тұрғыдан, ay = x² және xy = ab екі коникалық қисығын қиыстыру арқылы қарастырды. Б.з.б. 3 ғасырда Архимед пен Аполлоний координаталарды қолдана отырып, коникалық қисықтар бойынша қосымша мәселелерді жүйелі түрде зерттеді. Оның анықтама сызықтарын, диаметрді және жанаманы қолдануы қазіргі координаттық жүйені пайдаланудан ешқандай айырмасы жоқ, онда жанама нүктесінен диаметр бойымен өлшенген қашықтықтар абсциссалар, ал жанамаға параллель және ось пен қисық арасындағы кесінділер координаталар болып табылады. Ол параболалар мен қисықтар сияқты геометриялық әдістерді қолдану арқылы абсциссалар мен сәйкес координаталар арасындағы қатынастарды одан әрі дамытты. Орта ғасыр математиктері, соның ішінде Омар Хаям, Пизалық Леонардо, Герсонид және Николь Оресме орта ғасырларда кейбір кубтық және квадраттық теңдеулерді таза алгебралық тәсілдермен шешіп, нәтижелерді геометриялық тұрғыдан түсіндірді. Парсы математигі Омар Хаям (1048 ж.т.) арифметика, алгебра және геометрия арасында байланыс бар деп сенді. Бұл Джеффри Оукс тарапынан сынға ұшырады, ол қисықтарды теңдеулер арқылы зерттеу он жетінші ғасырда Декартпен бірге басталды деп мәлімдейді.

Қайта өрлеу дәуірі

Геометриялық конструкцияларды алгебралық проблемаларға қолданудың осындай әдістерін Ренессанс дәуірінің математиктері, мысалы, Героламо Кардано мен Николо Фонтана "Тарталья" текше теңдеуді зерттеуде қабылдады. Құрылыс мәселелеріне алгебралық емес, геометриялық тәсілді 16-шы және 17-ші ғасырдағы математиктердің көпшілігі, әсіресе геометрияда алгебралық және аналитикалық әдістерді қолдануға қарсы болған Блез Паскаль жақты көрді. Француз математиктері Франсискус Виета, кейіннен Рене Декарт пен Пьер де Ферма координаталық геометрияны енгізу арқылы құрылыс проблемалары туралы ойлаудың дәстүрлі тәсілін өзгертті. Олар негізінен алгебралық қисықтардың қасиеттеріне қызығушылық танытты, мысалы, Диофанти теңдеулерімен анықталған (Ферма жағдайында) және классикалық гректердің коникалар мен кубиктер туралы еңбектерінің алгебралық қайта құрылуы (Декарт жағдайында). Сол кезеңде Блез Паскаль мен Жерар Десарг геометрияға басқа көзқараспен қарады, проективті геометрияның синтетикалық ұғымдарын дамытты. Паскаль мен Десарг қисықтарды да зерттеді, бірақ таза геометриялық тұрғыдан: гректердің сызғышы мен циркулінің аналогы. Ақырында, Декарт пен Ферманың аналитикалық геометриясы жеңіске жетті, себебі ол 18-ші ғасыр математиктерін физикалық проблемаларды Ньютон мен Лейбництің жаңа есебін қолдана отырып зерттеуге қажетті нақты сандық құралдармен қамтамасыз етті. Дегенмен, 18-ші ғасырдың соңында координаталық геометрияның алгебралық сипатының көп бөлігі Лагранж бен Эйлердің шексіз шағын есебіне сіңірілді.

XIX ғасыр және XX ғасырдың басында

19 ғасырда Евклидтік емес геометрия мен Абель интегралдарының бірдей дамуы ескі алгебралық идеяларды геометриялық салаға қайтаруға мүмкіндік берді. Бұл жаңа жетістіктердің алғашқысын Эдмонд Лагерр мен Артур Кейли қолға алды, олар проективті кеңістіктің жалпыланған метрикалық қасиеттерін анықтауға тырысты. Кейли проективті кеңістікте гомогенді полиномиалдық формалар, әсіресе квадраттық формалар туралы идеяны енгізді. Кейіннен Феликс Клейн проективті геометрияны (геометрияның басқа түрлерімен бірге) зерттеді, кеңістіктегі геометрия кеңістіктегі белгілі бір түрлендірулер класына енгізілген деген тұжырымдаманы қолданды. 19 ғасырдың соңында проективті геометрия проективті кеңістіктегі фигуралардағы түрлендірулердің жалпы түрлерін зерттеді. Проективті кеңістіктегі негізгі Клейн геометриясын анықтайтын проективті сызықтық түрлендірулерден гөрі, олар жоғары дәрежелі бирационалдық түрлендірулерге де назар аударды. Конгруэнцияның осы әлсіз түсінігі кейін 20 ғасырдың итальяндық алгебралық геометрия мектебінің өкілдерін алгебралық беттерді бирационалдық изоморфизмге дейін жіктеуге итермеледі. 19 ғасырдың басындағы екінші даму – Абель интегралдары Бернхард Риманды Риман беттерін дамытуға жетеледі. Сол кезеңде коммутативтік алгебра арқылы алгебралық геометрияны алгебралық ету басталды. Бұл бағыттағы маңызды нәтижелер – Гильберттің негіз теоремасы және Гильберттің Нөлдік теоремасы (Nullstellensatz), олар алгебралық геометрия мен коммутативтік алгебра арасындағы байланыстың негізін құрайды, сондай-ақ жою теориясының негізі болып табылатын Маколейдің көп айнымалы нәтижесі. Көп айнымалы нәтижелерді есептеудің күрделілігіне байланысты, жою теориясы 20 ғасырдың ортасында ұмытылып, сингулярлық теория мен есептеу алгебралық геометриясының арқасында қайта жаңартылды.

20 ғасыр

Б. Л. ван дер Вэрден, Оскар Зариски және Андре Вейль заманауи коммутативтік алгебраға негізделген алгебралық геометрияның негізін қалады, оның ішінде бағалау теориясы және идеалдар теориясы да бар. Мақсаттарының бірі – итальяндық алгебралық геометрия мектебінің нәтижелерін дәлелдеу үшін қатаң негіздеме беру болды. Атап айтқанда, бұл мектеп нақты анықтамасыз «жалпы нүкте» ұғымын жүйелі түрде қолданды, ал осы авторлар оны 1930 жылдары алғаш рет берген. 1950-1960 жылдары Жан-Пьер Серр және Александр Гротендик бушақтар теориясын пайдаланып, негіздерді қайта қарастырды. Кейіннен, шамамен 1960 жылдан бастап, көбінесе Гротендиктің жетекшілігімен, гомологиялық техниканың өте жетілдірілген құралдарымен бірге схемалар идеясы әзірленді. Он жылдық қарқынды дамудан кейін бұл сала 1970 жылдары тұрақтанды, және сандар теориясына, сондай-ақ алгебралық сорттар, сингулярлықтар, модульдер және формальды модульдерге қатысты классикалық геометриялық сұрақтарға жаңа қолданыстар енгізілді. Олардың анықтамалық теңдеулерінен тікелей түсінілмейтін сорттардың маңызды класы – абельдік сорттар, яғни нүктелері абельдік топ құрайтын проективтік сорттар. Типтік мысалдар – эллипстік қисықтар, олардың бай теориясы бар. Олар Ферманың соңғы теоремасын дәлелдеуде маңызды рөл атқарды және эллипстік қисық криптографиясында да қолданылады. Алгебралық геометрияның абстрактты бағытымен қатар, ол сорттар туралы жалпы мәлімдемелермен айналысады, нақты берілген сорттармен тиімді есептеу әдістері де әзірленді, бұл есептеу алгебралық геометриясының жаңа саласына алып келді. Бұл саланың негізін қалаушы әдістерінің бірі – 1965 жылы Бруно Бухбергер енгізген Грёбнер негіздері теориясы. Тағы бір негізін қалаушы әдіс, көбінесе нақты алгебралық геометрияға арналған, – 1973 жылы Джордж Э. Коллинз енгізген цилиндрлік алгебралық декомпозиция. Қараңыз: туынды алгебралық геометрия.

Аналитикалық геометрия

Аналитикалық түрлiлiк – аналитикалық функцияларды қамтитын бірнеше теңдеулердiң ортақ шешiмдерi жиынтығы ретiнде жергiлiк түрде анықталады. Ол нақты немесе кешендi алгебралық түрлiлiктер ұғымына ұқсас. Кез келген кешендi көптүрлiлiк – аналитикалық түрлiлiк. Аналитикалық түрлiлiктерде жекеше нүктелер болуы мүмкiн болғандықтан, барлық аналитикалық түрлiлiктер көптүрлiлiктер болып табылмайды. Қазiргi заманғы аналитикалық геометрия, Жан-Пьер Серр өзiнiң GAGA атты мақаласында көрсiткендей, негізінен нақты және кешендi алгебралық геометриямен теңдес. Дегенмен, екі сала да ерекше болып қалады, себебi дәлелдеу әдiстерi әртүрлi және алгебралық геометрия шектеулі сипаттағы геометрияны да қамтиды.

Қолданбалар

Алгебралық геометрия қазір статистика, басқару теориясы, робототехника, қателерді түзету кодтары, филогенетика және геометриялық модельдеу салаларында қолданыс табады. Одан әрі, ол сап теориясы, ойын теориясы, графтарды сәйкестендіру, солитон және бүтін сандық бағдарламалаумен де байланысты.