Кіріспе
Екінші дәрежелі көпмүшенің нөлдерінің локусы Математикада, квадрик немесе квадрик бет (жоғары өлшемдерде квадрик гипербет), конус қималарының (эллипстер, параболалар және гиперболалар) жалпылама түрі болып табылады. Бұл (D+1) өлшемді кеңістіктегі (D өлшемді) гипербет және ол D+1 айнымалыдағы екінші дәрежелі азайтылмайтын көпмүшенің нөлдік жиыны ретінде анықталады; мысалы, конус қималары жағдайында 1 = D = 1. Егер анықталған көпмүше абсолютті түрде азайтылмайтын болса, нөлдік жиынтық әдетте квадрик деп есептелмейді, бірақ оны көбінесе дегенеративті квадрик немесе азайтылатын квадрик деп атайды. x1, x2, ..., xD+1 координаталарындағы жалпы квадрик векторлық және матрицалық нотацияда ықшам түрде жазылатын алгебралық теңдеумен анықталады:
In mathematics, a quadric or quadric surface (quadric hypersurface in higher dimensions), is a generalization of conic sections (ellipses, parabolas, and hyperbolas). It is a hypersurface (of dimension D) in a (D + 1) dimensional space, and it is defined as the zero set of an irreducible polynomial of degree two in D + 1 variables; for example, 1=D = 1 in the case of conic sections. When the defining polynomial is not absolutely irreducible, the zero set is generally not considered a quadric, although it is often called a degenerate quadric or a reducible quadric. In coordinates x1, x2, , xD+1, the general quadric is thus defined by the algebraic equation
which may be compactly written in vector and matrix notation as:
where 1=x = (x1, x2, , xD+1) is a row vector, xT is the transpose of x (a column vector), Q is a (D + 1) × (D + 1) matrix and P is a (D + 1) dimensional row vector and R a scalar constant. The values Q, P and R are often taken to be over real numbers or complex numbers, but a quadric may be defined over any field. A quadric is an affine algebraic variety, or, if it is reducible, an affine algebraic set. Quadrics may also be defined in projective spaces; see , below.
мұнда 1=x = (x1, x2, ..., xD+1) – жол векторы, xT – x-тің транспозі (бағандық вектор), Q – (D+1) × (D+1) матрицасы, ал P – (D+1) өлшемді жол векторы және R – скаляр тұрақты. Q, P және R мәндері көбінесе нақты немесе кешенді сандармен беріледі, бірақ квадрик кез келген өрісте анықталуы мүмкін. Квадрик – аффиндік алгебралық түрлілік немесе, егер ол азайтылатын болса, аффиндік алгебралық жиын. Квадриктер проекциялық кеңістіктерде де анықталуы мүмкін; қараңыз, төменде.
In mathematics, a quadric or quadric surface (quadric hypersurface in higher dimensions), is a generalization of conic sections (ellipses, parabolas, and hyperbolas). It is a hypersurface (of dimension D) in a (D + 1) dimensional space, and it is defined as the zero set of an irreducible polynomial of degree two in D + 1 variables; for example, 1=D = 1 in the case of conic sections. When the defining polynomial is not absolutely irreducible, the zero set is generally not considered a quadric, although it is often called a degenerate quadric or a reducible quadric. In coordinates x1, x2, , xD+1, the general quadric is thus defined by the algebraic equation
which may be compactly written in vector and matrix notation as:
where 1=x = (x1, x2, , xD+1) is a row vector, xT is the transpose of x (a column vector), Q is a (D + 1) × (D + 1) matrix and P is a (D + 1) dimensional row vector and R a scalar constant. The values Q, P and R are often taken to be over real numbers or complex numbers, but a quadric may be defined over any field. A quadric is an affine algebraic variety, or, if it is reducible, an affine algebraic set. Quadrics may also be defined in projective spaces; see , below.
Евклид жазықтығы
Евклидтік жазықтықтың өлшемі екі болғандықтан, Евклидтік жазықтықтағы квадриктердің өлшемі бірге тең және осылайша олар жазықтық сызықтары болып табылады. Олар конус қималары немесе коникалар деп аталады.
Өрістердегі проекциялық квадриктер
Нақты проективті кеңістіктегі проективті квадриктің анықтамасы (жоғарыда қараңыз) бір өрістегі n өлшемді проективті кеңістікте проективті квадрикті анықтау арқылы формалды түрде бейімделуі мүмкін. Координаттармен жұмыс істеуден аулақ болу үшін проективті квадрик әдетте векторлық кеңістіктегі квадратық формадан басталып анықталады.
Жобалау төртбұрышы
Векторлық кеңістіктегі квадраттық форма, байланысты проекциялық кеңістіктегі квадриканы, яғни, мысалдар: (E1): үшін коника пайда болады. (E2): үшін теңдеулері және болатын түзулер жұбы алынады. Олар нүктесінде қиылысады.
Examples in . :
(E1): For one obtains a conic. (E2): For one obtains the pair of lines with the equations and , respectively. They intersect at point ;
For the considerations below it is assumed that .
Төмендегі қарастырулар үшін деп есептейміз.
Examples in . :
(E1): For one obtains a conic. (E2): For one obtains the pair of lines with the equations and , respectively. They intersect at point ;
For the considerations below it is assumed that .
Квадриктік жиындардың жалпылауы: Квадриктік жиындар
Төртбұрыштардың анықтамасын нақты қисық өрістердегі (бөлу сақиналары) кеңістікке ресми түрде кеңейту дұрыс емес. Себебі, төртбұрышта екіден астам нүктеден өтетін жанасушы сызықтар пайда болады, бұл қалыпты төртбұрыштардан мүлдем өзгеше. Бұның себебі мына теоремада: Бөлу сақинасы коммутативті болады, егер және тек қана егер кез келген x² = a теңдеуінің ең көп дегенде екі шешімі болса. Төртбұрыштардың жалпылама түрі – квадрикалық жиындар. Квадраттық жиын – проективті кеңістіктегі нүктелер жиыны, төртбұрыш сияқты геометриялық қасиеттерге ие: кез келген түзу квадраттық жиынмен ең көп дегенде екі нүктеде қиылысады немесе жиынның ішінде орналасады.