Кіріспе

Математикада алгебралық тор, бір өлшемді торы әдетте , , немесе деп белгіленеді, – проективті алгебралық геометрия және торилік геометрияда жиі кездесетін коммутативті аффиндік алгебралық топтың бір түрі. Жоғары өлшемді алгебралық торлар алгебралық топтардың көбейтіндісі ретінде модельделуі мүмкін. Бұл топтар Ли тобы теориясындағы торлар теориясына ұқсастық бойынша аталды (Картан подтобын қараңыз). Мысалы, комплекс сандар арқылы қарағанда алгебралық тор топтық схемаға изоморфты болады, ол Ли тобының схемалық аналогы болып табылады. Шындығында, күрделі векторлық кеңістіктегі кез келген әрекетті, нақты манифольд ретінде қосу арқылы, әрекетке кері тартуға болады. Торлар алгебралық топтар мен Ли топтарының теориясында және олармен байланысты геометриялық объектілерді, мысалы симметриялық кеңістіктер мен құрылыстарды зерттеуде маңызды рөл атқарады.

Алгебралық тори өрістер бойынша

Көптеген жағдайларда біз базалық өріс толық деп есептейміз (мысалы, шекті немесе нөлдік сипаттамалы). Бұл гипотеза тегіс топтық схеманың болуын талап етеді, себебі алгебралық топтың сипаттамасы бойынша тегіс болуы үшін, карталар жеткілікті үлкен үшін геометриялық түрде қысқартылған болуы керек, яғни сәйкес картаның бейнесі жеткілікті үлкен үшін тегіс болуы тиіс. Жалпы жағдайда, алгебралық жабылулардың орнына ажыратылатын жабылуларды пайдалану қажет.

Даланың көбейту тобы

Егер – өріс болса, онда – өріс үстіндегі көбейту тобы алгебралық топ болады, сондықтан кез келген өріс кеңейтуі үшін – нүктелері топқа изоморфты болады. Оны алгебралық топ ретінде дұрыс анықтау үшін, – координаталары бар – өрісі үстіндегі аффиндік жазықтықтағы теңдеумен анықталған аффиндік сортын алуға болады. Көбейтуді – рационалдық картасын шектеу арқылы анықталады, ал кері амалды – рационалдық картасын шектеу арқылы анықталады.

Анықтама

Алгебралық жабылуы бар өріс болсын. Содан кейін торус – көбейту тобының шекті көшірмелерінің көбейтіндісіне изоморфты алгебралық топ, бұл топ өріс үстінен анықталған. Яғни, егер G тобы болса, онда ол торус болып табылады, егер және тек қана G тобы кейбір n үшін 𝔾m-нің n көшірмесіне изоморфты болса. Торустарға қатысты негізгі терминология келесідей: торустың рангі немесе абсолюттік рангі – бұл сан. Торус өріс кеңейтімі K үстінен бөлінеді, егер K үстінен торусқа изоморфты болатын белгілі бір бөлінген торус болса. Торус үстінен бөлінетін ең кішкентай шекті кеңейту бар, ол торустың бөліну өрісі деп аталады. Торустың рангі – оның бөлінген субторусының ең үлкен рангі. Торус бөлінген, егер және тек қана оның рангі абсолюттік рангіне тең болса. Торус анизотропты деп аталады, егер оның рангі нөлге тең болса.

Изогендер

Алгебралық топтар арасындағы изогендік — шекті ядросы бар сюръективті морфизм; егер бірінші тордан екінші торға изогендік болса, онда екі тор изогенді деп аталады. Торлар арасындағы изогендер ерекше жақсы қасиеттерге ие: кез келген изогендік үшін "қос" изогендік болады, осылайша құрастырылады. Атап айтқанда, изогендік болу — торлар арасындағы эквиваленттік қатынас.

Алгебралық жабық өріс үстінде

Кез келген алгебралық жабық өріс үстінде, изоморфизмге дейін, кез келген берілген рангі бойынша бірегей тор болады. Раңгі алгебралық торы үшін бұл топтық схемамен беріледі. Жоғарыда келтірілген екі мысал осының ерекше жағдайлары: компактты нақты тор — бұл өріс нормасының ядросы, ал анизотроптық тор — бұл өріс нормасының ядросы.

Торидің сызықтық бейнелері

Жоғарыдағы мысалдарда көрсетілгендей, торилер сызықтық топтар ретінде ұсынылуы мүмкін. Торилердің тағы бір анықтамасы:

Сызықтық алгебралық топ, егер және тек алгебралық жабылуда диагональға келтірілсе, торус болып табылады. Торус, егер және тек осы өрісте диагональға келтірілсе, сол өрісте бөлінеді.

Жазық субкеңістіктер мен симметриялық кеңістіктердің қатары

Егер – жартылай қарапайым Лай тобы болса, онда оның нақты рангі жоғарыда анықталғандай рангі болып табылады (нақты нүктелер тобы -ға изоморфты кез келген алгебралық топ үшін), яғни, кіріктіру болатын ең үлкен . Мысалы, -ның нақты рангі -ға тең, ал -ның нақты рангі -ға тең. Егер – -мен байланысты симметриялық кеңістік болса және – максималды бөлінген тор болса, онда -да бірегей орбита бар, ол – толығымен геодезиялық, жазық қосалқы кеңістік болып табылады. Шындығында, бұл максималды жазық қосалқы кеңістік және барлық мұндай максималды кеңістіктер осылай, бөлінген торлардың орбиталары ретінде алынады. Осылайша, нақты рангінің геометриялық анықтамасы бар, ол – жазық қосалқы кеңістіктің максималды өлшемі болып табылады.

Қалқалардың Q-қатары

Егер Ли тобы рационалдық өрістегі алгебралық топтың нақты нүктелері ретінде алынса, онда оның рангі геометриялық мағынаға ие. Оған жету үшін, берілген Ли тобымен байланысты арифметикалық топты енгізу керек, ол шамамен алғанда, берілген алгебралық топтың бүтін нүктелерінің тобы болып табылады, және одан шығатын quotient кеңістігі, Риман орбифолдысы және де метрикалық кеңістік. Содан кейін, оның кез келген асимптотикалық конусы, ранге тең өлшемді жоғарғы өлшемді симплекстері бар шекті симплекстік кешенге гомеоморфты болады. Атап айтқанда, егер және тек қана ол анизотроп болса, онда ол компактты болады. Бұл, жартылай қарапайым Ли тобындағы кез келген тордың рангін, оның асимптотикалық конусының өлшемі ретінде анықтауға мүмкіндік беретінін ескеріңіз.

Ғимараттар

Егер - үстіндегі жартылай қарапайым топ болса, онда - дағы максималды бөлінетін торлар Брюа-Титс ғимаратының - ға байланысты пәтерлеріне сәйкес келеді. Атап айтқанда, өлшемі топтың рангіне тең.

Анықтама

S негізін ескере отырып, алгебралық тор S үстіндегі топтық схема ретінде анықталады, ол S үстіндегі Gm/S көбейтуші топтық схемасының шекті көбейтіндісіне fpqc жергілікті изоморфты. Яғни, X-тің кез келген нүктесі үшін U ашық жақын маңайы бар, оның бейнесі S-тің ашық аффиндік кіші-схемасы болып табылады, және U-ға базалық өзгеріс жасағанда GL1,U = Gm/U көшірмелерінің шекті көбейтіндісі алынады. Ерекше маңызды жағдай – S, K өрісінің спектрі болғанда, S үстіндегі тор алгебралық топ болып табылады, оның кейбір шекті ажыратылатын L кеңейтіміне кеңейтілуі Gm/L көшірмелерінің шекті көбейтіндісі болып табылады. Жалпы, осы көбейтіндінің көптігі (яғни схеманың өлшемі) тордың рангі деп аталады, және ол S-де жергілікті тұрақты функция болып табылады.

Көбінесе өрістер үстіндегі торлар үшін анықталған ұғымдар осы жалпы жағдайға көшеді.

Мысалдар

Алгебралық тордың бір кең таралған мысалы — проективтік схеманың аффинді конусын қарастыру. Содан кейін нөлдік нүкте алынып тасталса, туындаған проекциялық бейнелеу алгебралық тор құрылымын береді.

Салмағы

Жалпы базалық схема S үшін салмақтар мен тең салмақтар S-дегі еркін абельдік топтардың fpqc шоқтары ретінде анықталады. Олар базаның негізгі группоидтарының fpqc топологиясына қатысты бейнелеуін береді. Егер торус эталь топологиясы сияқты нашаррақ топологияға қатысты жергілікті түрде тривиалды болса, онда топтардың шоқтары сол топологияларға төмендейді және бұл бейнелеулер тиісті бөліктелген группоидтар арқылы факторланады. Атап айтқанда, этальды шоқ квази-изотривиалды торус тудырады, ал егер S жергілікті түрде ноэтериандық және нормальды болса (жалпырақ жағдайда, геометриялық жағынан біртарапты емес), торус изотривиалды болады. Шамалы керісінше, Гротендик теоремасы шекті типтегі кез келген торустың квази-изотривиалды екенін, яғни этальды сюръекциямен бөлінетінін мәлімдейді. S үстіндегі n дәрежелі торус T берілгенде, бұрмаланған форма – бұл S үстіндегі торус, он үшін S-тің fpqc жабыны бар, олардың базалық кеңейтулері изоморфты, яғни ол бірдей дәрежелі торус. Бөлінген торустың бұрмаланған формаларының изоморфизм кластары абелдік емес жазық когомологиямен параметрленеді, онда коэффициенттік топ тұрақты шоқ құрайды. Атап айтқанда, K өрісіндегі бөлінген T торусының бұрмаланған формалары Галуа когомологиясының элементтерімен параметрленеді. Бір өлшемді жағдайда коэффициенттер екінші реттік топты құрайды, ал Gm-нің бұрмаланған формаларының изоморфизм кластары K-нің ажыратылатын квадраттық кеңейтулерімен табиғи биекцияда болады. Салмақ торларын алу категориялардың эквиваленттігі болғандықтан, торустардың қысқа дәл тізбектері тиісті салмақ торлардың қысқа дәл тізбектеріне сәйкес келеді. Атап айтқанда, торустардың кеңейтулері Ext1 шоқтары бойынша жіктеледі. Бұл табиғи түрде жазық когомология топтарына изоморфты. Өріс үстінде кеңейтулер тиісті Галуа когомология тобының элементтерімен параметрленеді.