Введение

В математике алгебраический тор, где одномерный тор обычно обозначается , , или , — это тип коммутативной аффинной алгебраической группы, часто встречающийся в проективной алгебраической геометрии и торической геометрии. Алгебраические торы более высокой размерности могут быть представлены как произведение алгебраических групп. Эти группы получили свое название по аналогии с теорией торов в теории групп Ли (см. подгруппу Картана). Например, над комплексными числами алгебраический тор изоморфен групповой схеме , которая является схемотеоретическим аналогом группы Ли. Фактически, любое действие на комплексном векторном пространстве можно перенести в действие из включения , рассматривая их как вещественные многообразия. Торы имеют фундаментальное значение в теории алгебраических групп и групп Ли, а также в изучении геометрических объектов, связанных с ними, таких как симметричные пространства и здания.

Алгебраическая тори над полями

В большинстве случаев мы предполагаем, что базовое поле является совершенным (например, конечным или характеристикой ноль). Это предположение необходимо для существования гладкой групповой схемы (см. стр. 64), поскольку для того, чтобы алгебраическая группа была гладкой над полем характеристики *p*, отображения должны быть геометрически редуцированными для достаточно больших *r*, что означает, что образ соответствующего отображения на Spec ℤ/rℤ гладкий для достаточно больших *r*. В общем случае вместо алгебраических замыканий следует использовать сепарабельные замыкания.

Умножающая группа поля

Если – поле, то мультипликативная группа над – это алгебраическая группа , такая что для любого расширения поля -точки изоморфны группе . Чтобы корректно определить её как алгебраическую группу, можно взять аффинное многообразие, заданное уравнением в аффинной плоскости над , с координатами . Умножение тогда задается ограничением регулярного рационального отображения , определенного , а обратное – ограничением регулярного рационального отображения .

Определение

Пусть будет поле с алгебраическим замыканием. Тогда тор — это алгебраическая группа, определенная над , которая изоморфна над конечному произведению копий мультипликативной группы. Иными словами, если — группа, то она является тором тогда и только тогда, когда для некоторого . Основная терминология, связанная с торами, следующая. Целое число называется рангом или абсолютным рангом тора. Тор называется расщепляемым над расширением поля , если существует единственное минимальное конечное расширение поля , над которым расщепляется, которое называется полем расщепления. Ранг тора — это максимальный ранг расщепляемого подтора. Тор расщепляем тогда и только тогда, когда его ранг равен его абсолютному рангу. Тор называется анизотропным, если его ранг равен нулю.

Изогены

Изогения между алгебраическими группами — это сюръективный морфизм с конечным ядром; два тора называются изогенными, если существует изогения из первого во второй. Изогении между торами особенно хорошо определены: для любой изогении существует "двойственная" изогения, такая что композиция этих изогений является картой возведения в степень. В частности, изогенность является отношением эквивалентности между торами.

Над алгебраически замкнутым полем

Над любым алгебраически замкнутым полем существует, с точностью до изоморфизма, единственный тор любого заданного ранга. Для тора алгебраического ранга над этим дается групповой схемой . Два приведенных выше примера являются частными случаями этого: компактный вещественный тор является ядром нормы поля , а анизотропный тор над является ядром нормы поля .

Линейные представления тори

Как видно из приведенных выше примеров, торы могут быть представлены в виде линейных групп. Альтернативное определение тора: линейная алгебраическая группа является тором тогда и только тогда, когда она диагонализуема над алгебраически замкнутым полем. Торус называется расщепляемым над полем, если и только если он диагонализуем над этим полем.

Плоские подпространства и ряд симметричных пространств

Если G – полупростая группа Ли, то её вещественный ранг равен рангу, как определено выше (для любой алгебраической группы, группа вещественных точек которой изоморфна G), иными словами, максимальному r такому, что существует вложение. Например, вещественный ранг SL(n, ℝ) равен n-1, а вещественный ранг Sp(n, ℝ) равен n.

Если X – симметрическое пространство, ассоциированное с G, а T – максимальный расщеплённый тор, то существует единственная орбита T в X, которая является полностно геодезическим плоским подпространством в X. Фактически, это максимальное плоское подпространство, и все такие максимальные подпространства получаются как орбиты расщеплённых торов таким образом. Таким образом, существует геометрическое определение вещественного ранга как максимальной размерности плоского подпространства в X.

Q-ряд решётки

Если группа Ли получена как множество вещественных точек алгебраической группы над полем рациональных чисел, то ранг этой группы также имеет геометрический смысл. Чтобы понять его, необходимо ввести арифметическую группу, ассоциированную с , которая, грубо говоря, представляет собой группу целочисленных точек , и фактор-пространство , являющееся римановым орбифолдом и, следовательно, метрическим пространством. Тогда любой асимптотический конус пространства гомеоморфен конечному симплициальному комплексу, у которого размерность верхних симплексов равна рангу . В частности, компактно тогда и только тогда, когда анизотропно. Следует отметить, что это позволяет определить ранг любой решетки в полупростой группе Ли как размерность её асимптотического конуса.

Здания

Если G – полупростая группа над K, то максимальные расщепляющиеся торы в G соответствуют квартирам здания Брухата-Титса, ассоциированного с G. В частности, размерность G равна K-рангу G.

Определение

При заданной базовой схеме S, алгебраический тор над S определяется как групповая схема над S, которая локально fpqc-изоморфна конечному произведению копий мультипликативной групповой схемы Gm/S над S. Иными словами, существует верно-плоское отображение X → S, такое что для любой точки в X существует квазикомпактное открытое окрестность U, образ которого является открытой аффинной подсхемой S, и изменение основания на U дает конечное произведение копий GL1,U = Gm/U. Особенно важным случаем является ситуация, когда S является спектром поля K, что делает тор над S алгебраической группой, расширение которой до некоторого конечного сепарабельного расширения L является конечным произведением копий Gm/L. В общем случае, кратность этого произведения (то есть размерность схемы) называется рангом тора, и это локально постоянная функция на S. Большинство понятий, определенных для торов над полями, переносятся на эту более общую ситуацию.

Примеры

Одним из распространенных примеров алгебраического тора является рассмотрение аффинного конуса проективной схемы. Затем, после удаления начала координат, индуцированное проективное отображение задает структуру алгебраического тора над .

Веса

Для общей базовой схемы S веса и ковеса определяются как fpqc-пучки свободных абелевых групп на S. Они обеспечивают представления фундаментальных группоидов базы относительно fpqc-топологии. Если тор локально тривиализуется относительно более слабой топологии, такой как этальная топология, то пучки групп спускаются к тем же топологиям, и эти представления факторизуются через соответствующие фактор-группоиды. В частности, этальный пучок приводит к квазиизотривиальному тору, и если S локально нётерово и нормальный (в более общем случае, геометрически однозначно ветвящийся), то тор является изотривиальным. Как частичный обратный результат, теорема Гротендика утверждает, что любой тор конечного типа является квазиизотривиальным, то есть расщепляемым этальным сюръективным отображением. Для тора ранга n, T, над S, скрученная форма – это тор над S, для которого существует fpqc-покрытие S, для которого их расширения базы изоморфны, то есть это тор того же ранга. Классы изоморфизма скрученных форм расщепляемого тора параметризуются неабелевой плоской когомологией, где группа коэффициентов образует постоянный пучок. В частности, скрученные формы расщепляемого тора T над полем K параметризуются элементами множества указанной когомологии Галуа с тривиальным действием Галуа на коэффициенты. В одномерном случае коэффициенты образуют группу второго порядка, а классы изоморфизма скрученных форм Gm находятся в естественной биекции с разделимыми квадратичными расширениями K. Поскольку взятие решетки весов является эквивалентностью категорий, короткие точные последовательности торов соответствуют коротким точным последовательностям соответствующих решеток весов. В частности, расширения торов классифицируются пучками Ext1. Они естественно изоморфны плоским когомологическим группам. Над полем расширения параметризуются элементами соответствующей группы когомологий Галуа.