Спектрлік теориялар жинағы

Кіріспе

Математикалық теориялар жинағы. Математикада спектрлік теория – жеке квадраттық матрицаның өзіндік векторлар және өзіндік мәндер теориясын математикалық кеңістіктердің әртүрлі операторларының құрылымын зерттейтін әлдеқайда кең теорияға дамыту үшін қолданылатын жалпы термин. Бұл теория сызықтық алгебраны зерттеу және сызықтық теңдеулер жүйелерінің, сондай-ақ олардың жалпылама нұсқаларының шешімдерін табу нәтижесінде пайда болды. Теория аналитикалық функциялармен байланысты, себебі оператордың спектрлік қасиеттері спектрлік параметрге байланысты аналитикалық функциялар арқылы сипатталады.

Математикалық білімі

Спектрлік теория деген атауды Дэвид Гилберт өзінің Гилберт кеңістігі теориясының бастапқы тұжырымдамасында енгізді, ол шексіз көп айнымалылардағы квадраттық формалар арқылы құрылды. Сондықтан, бастапқы спектрлік теорема эллипсоидтың бас осі туралы теореманың шексіз өлшемді нұсқасы ретінде қарастырылды. Кванттық механикада спектрлік теория атом спектрлерінің ерекшеліктерін түсіндіре алатыны кейіннен табылған жайт, демек, сәйкессіздік болды. Гилберт өзінің күтпеген қолданылуына таң қалды, ол: «Мен шексіз көп айнымалылар теориясын таза математикалық қызығушылықтан дамыттым және тіпті оны «спектрлік талдау» деп атадым, оның кейін физиканың нақты спектріне қолданылатынын сезбедім» деп мәлімдеді. Спектрлік теорияны қалыптастырудың үш негізгі тәсілі бар, олардың әрқайсысы әртүрлі салаларда қолданылады. Гилберттің бастапқы тұжырымдамасынан кейін, абстрактілі Гилберт кеңістіктерінің және олардағы жеке нормаль операторлардың спектрлік теориясының дамуы физиканың қажеттіліктеріне жақсы сай келді, бұған фон Нейманның еңбектері мысал бола алады. Бұл теория одан әрі жалпы Банах алгебраларын қарастыруға дамыды. Бұл даму Гельфанд бейнелеуіне алып келді, ол коммутативті жағдайды қамтиды, және одан әрі коммутативті емес гармоникалық талдауға қадам жасады. Айырмашылықты Фурье талдауымен байланысты қарастыруға болады. Нақты сызықтағы Фурье түрлендіруі бір жағынан дифференциалды оператор ретінде дифференциацияның спектрлік теориясы болып табылады. Бірақ бұл құбылысты қамту үшін жалпыланған өзіндік функцияларды (мысалы, құрылымдалған Гилберт кеңістігі арқылы) қарастыру қажет. Екінші жағынан, топтық алгебраны құру оңай, оның спектрі Фурье түрлендіруінің негізгі қасиеттерін қамтиды, және бұл Понтрягин дуалдығы арқылы жүзеге асырылады. Банах кеңістіктеріндегі операторлардың спектрлік қасиеттерін де зерттеуге болады. Мысалы, Банах кеңістіктеріндегі ықшам операторлардың матрицаларға ұқсас көптеген спектрлік қасиеттері бар.

The name spectral theory was introduced by David Hilbert in his original formulation of Hilbert space theory, which was cast in terms of quadratic forms in infinitely many variables. The original spectral theorem was therefore conceived as a version of the theorem on principal axes of an ellipsoid, in an infinite dimensional setting. The later discovery in quantum mechanics that spectral theory could explain features of atomic spectra was therefore fortuitous. Hilbert himself was surprised by the unexpected application of this theory, noting that "I developed my theory of infinitely many variables from purely mathematical interests, and even called it 'spectral analysis' without any presentiment that it would later find application to the actual spectrum of physics." There have been three main ways to formulate spectral theory, each of which find use in different domains. After Hilbert's initial formulation, the later development of abstract Hilbert spaces and the spectral theory of single normal operators on them were well suited to the requirements of physics, exemplified by the work of von Neumann. The further theory built on this to address Banach algebras in general. This development leads to the Gelfand representation, which covers the commutative case, and further into non commutative harmonic analysis. The difference can be seen in making the connection with Fourier analysis. The Fourier transform on the real line is in one sense the spectral theory of differentiation as a differential operator. But for that to cover the phenomena one has already to deal with generalized eigenfunctions (for example, by means of a rigged Hilbert space). On the other hand it is simple to construct a group algebra, the spectrum of which captures the Fourier transform's basic properties, and this is carried out by means of Pontryagin duality. One can also study the spectral properties of operators on Banach spaces. For example, compact operators on Banach spaces have many spectral properties similar to that of matrices.

Спектрдің анықтамасы

Жалпы Банах кеңістігінде барлық жерде анықталған шектелген сызықтық түрлендіруді қарастырайық. Біз түрлендіруді құраймыз:

Мұнда I – сәйкестік операторы және ζ – комплекс сан. Оператор T-ның керісі, яғни T⁻¹ былай анықталады:

Егер керісі болса, T реттелі деп аталады. Егер керісі болмаса, T сингулярлы деп аталады. Осы анықтамалар бойынша T-ның ажырату жиыны – Rζ бар және шектелген барлық ζ комплекс сандарының жиыны. Бұл жиын көбінесе ρ(T) деп белгіленеді. T-ның спектрі – Rζ жоқ немесе шексіз болатын барлық ζ комплекс сандарының жиыны. Көбінесе T-ның спектрі σ(T) арқылы белгіленеді. Рζ функциясы ρ(T)-дегі барлық ζ үшін (яғни Rζ шектелген оператор ретінде бар жерде) T-ның ажыратушысы деп аталады. Сондықтан T-ның спектрі – комплекс жазықтықтағы T-ның ажырату жиынының толықтығы болып табылады. T-ның кез келген өзіндік мәні σ(T)-ға жатады, бірақ σ(T) өзіндік мән емес мәндерді де қамтуы мүмкін. Бұл анықтама Банах кеңістігіне қатысты, бірақ әрине, кеңістіктің басқа түрлері де бар; мысалы, топологиялық векторлық кеңістіктер Банах кеңістіктерін қамтиды, бірақ олар одан да жалпы болуы мүмкін. Екінші жағынан, Банах кеңістіктері Хилберт кеңістіктерін қамтиды, және осы кеңістіктер ең көп қолданылатын және ең бай теориялық нәтижелерге ие. Тиісті шектеулермен, Хилберт кеңістігіндегі түрлендірулер спектрінің құрылымы туралы көп нәрсе айтуға болады. Әсіресе, өзін-өзі қосатын операторлар үшін спектр нақты сызықта жатыр және (жалпы алғанда) дискретті өзіндік мәндердің нүктелік спектрі мен үздіксіз спектрдің спектрлік комбинациясы болып табылады.