Введение

Сборник математических теорий
В математике спектральная теория — это собирательное название для теорий, расширяющих теорию собственных векторов и собственных значений единичной квадратной матрицы на гораздо более широкую теорию структуры операторов в различных математических пространствах. Она является результатом изучения линейной алгебры и решений систем линейных уравнений, а также их обобщений. Эта теория связана с теорией аналитических функций, поскольку спектральные свойства оператора связаны с аналитическими функциями спектрального параметра.

Математическая подготовка

Название «спектральная теория» было введено Давидом Гильбертом в его первоначальной формулировке теории гильбертова пространства, которая была представлена в терминах квадратичных форм с бесконечным числом переменных. Изначальная спектральная теорема, таким образом, была задумана как версия теоремы об главных осях эллипсоида, но в бесконечномерном контексте. Последующее открытие в квантовой механике, что спектральная теория может объяснить особенности атомных спектров, оказалось случайным. Сам Гильберт был удивлен неожиданным применением этой теории, отметив: «Я разработал свою теорию бесконечно многих переменных из чисто математических соображений и даже назвал её «спектральным анализом», не предвидя, что впоследствии она найдёт применение к реальным спектрам в физике». Существует три основных подхода к формулировке спектральной теории, каждый из которых находит применение в различных областях. После первоначальной формулировки Гильберта, дальнейшее развитие абстрактных гильбертовых пространств и спектральной теории отдельных нормальных операторов на них оказалось хорошо приспособленным к требованиям физики, что иллюстрируется работами фон Неймана. Дальнейшая теория, основанная на этом, была направлена на изучение алгебр Банаха в общем случае. Это развитие привело к представлению Гельфанда, охватывающему коммутативный случай, и далее – к некоммутативному гармоническому анализу. Различие проявляется при установлении связи с анализом Фурье. Преобразование Фурье на вещественной прямой в некотором смысле является спектральной теорией дифференцирования как дифференциального оператора. Однако для охвата этих явлений необходимо уже оперировать с обобщёнными собственными функциями (например, с помощью риггированного гильбертова пространства). С другой стороны, легко построить групповую алгебру, спектр которой отражает основные свойства преобразования Фурье, что достигается посредством двойственности Понтрягина. Также можно изучать спектральные свойства операторов на пространствах Банаха. Например, компактные операторы в пространствах Банаха обладают многими спектральными свойствами, аналогичными свойствам матриц.

Определение спектра

Рассмотрим ограниченное линейное преобразование T, определенное повсюду в общем пространстве Банаха. Образуем преобразование:

Здесь I – оператор тождества, а ζ – комплексное число. Обратным к оператору T, то есть T−1, называется оператор, определяемый следующим образом:

Если обратный оператор существует, то T называется регулярным. Если он не существует, то T называется сингулярным. При этих определениях, резольвентное множество T – это множество всех комплексных чисел ζ, для которых Rζ существует и ограничено. Это множество часто обозначается как ρ(T). Спектр T – это множество всех комплексных чисел ζ, для которых Rζ не существует или является неограниченным. Часто спектр T обозначается σ(T). Функция Rζ для всех ζ из ρ(T) (то есть, везде, где Rζ существует как ограниченный оператор) называется резольвентой T. Следовательно, спектр T является дополнением резольвентного множества T в комплексной плоскости. Каждое собственное значение T принадлежит σ(T), но σ(T) может содержать числа, не являющиеся собственными значениями. Это определение применимо к пространству Банаха, но, конечно, существуют и другие типы пространств; например, топологические векторные пространства включают пространства Банаха, но могут быть более общими. С другой стороны, пространства Банаха включают пространства Гильберта, и именно эти пространства находят наибольшее применение и наиболее богатые теоретические результаты. При определенных ограничениях можно многое сказать о структуре спектров преобразований в пространстве Гильберта. В частности, для самосопряженных операторов спектр лежит на вещественной оси и (в общем случае) является спектральной комбинацией точечного спектра дискретных собственных значений и непрерывного спектра.