Кіріспе

Математика ұғымы

Математикада, француз математигі Жак Хадамардың есімімен аталған Хадамар матрицасы – бұл квадрат матрица, оның элементтері +1 немесе −1 болып келеді және оның қатарлары өзара ортогональды. Геометриялық тұрғыдан алғанда, бұл Хадамар матрицасының кез келген екі қатары екі перпендикуляр векторды көрсетеді, ал комбинаторлық тұрғыдан алғанда, әрбір қатар жұбының бағаналарының жартысында сәйкес келетін, ал қалған жартысында сәйкес келмейтін элементтері болады. Осы анықтаманың салдарынан, осы қасиеттер қатарларға де, бағандарға да қатысты. n × n Хадамар матрицасының қатарларымен құрылған n өлшемді параллелотоп, абсолюттік мәні 1-ге тең немесе одан кіші элементтері бар векторлармен құрылған параллелотоптардың арасында ең үлкен n өлшемді көлемге ие. Басқаша айтқанда, Хадамар матрицасы абсолюттік мәні 1-ден кем немесе оған тең элементтері бар матрицалардың арасында максималды детерминантқа ие және Хадамардың максималды детерминант мәселесінің экстремалды шешімі болып табылады. Кейбір Хадамар матрицаларын Хадамар кодын (Рид-Мюллер кодтарында кеңейтілген) қолдана отырып, қателерді түзету коды ретінде тікелей пайдалануға болады, сондай-ақ олар статистикалықтар параметрлік бағалаушының дисперсиясын бағалау үшін қолданылатын теңдестірілген қайталанған көшірмелерде (BRR) қолданылады.

Хадамардың болжамы

Хадамард матрицалары теориясындағы ең маңызды ашық сұрақ – бар болу мәселесі. Нақтырақ айтқанда, Хадамардтың болжамы кез келген оң бүтін сан k үшін 4k реттік Хадамард матрицасының бар екенін жорамалдайды. Хадамардтың болжамы Пейлиге де жатқызылады, бірақ Пейлидің жұмысынан бұрын басқалар оны тұжырымдаған. Сильвестрдің құрылысын жалпылау, егер және сәйкесінше n және m реттік Хадамард матрицалары болса, онда nm реттік Хадамард матрицасы болады. Бұл нәтиже кіші реттік матрицалар белгілі болғанда, жоғары реттік Хадамард матрицаларын жасау үшін қолданылады. Сильвестрдің 1867 жылғы құрылысы 1, 2, 4, 8, 16, 32 және т.б. реттік Хадамард матрицаларын береді. 12 және 20 реттік Хадамард матрицаларын кейіннен Хадамард (1893 жылы) құрастырды. 1933 жылы Реймонд Пейли Пейли құрылысын ашты, ол q саны 4-ке бөлінгенде 3 қалдық беретін кез келген жай санның дәрежесі болғанда q + 1 реттік Хадамард матрицасын, ал q саны 4-ке бөлінгенде 1 қалдық беретін жай санның дәрежесі болғанда 2(q + 1) реттік Хадамард матрицасын жасайды. Оның әдісі шекті өрістерді пайдаланады. Сильвестр және Пейли әдістерінің комбинациясымен құрастырылмаған ең кіші рет – 92. Осы реттік Хадамард матрицасы 1962 жылы JPL-де Баумерт, Голомб және Холл компьютер арқылы табылды. Олар Уильямсонға тиесілі, көптеген қосымша реттерді берген құрылысты қолданды. Хадамард матрицаларын құрудың тағы да көптеген әдістері белгілі. 2005 жылы Хади Харагани мен Бехруз Тайфех Резаи 428 реттік Хадамард матрицасының құрылысын жариялады. Соның салдарынан, қазіргі таңда Хадамард матрицасы жоқ ең кіші рет – 668. 2014 жылғы мәлімет бойынша, 2000-нан кіші 4-ке еселенген 12 рет бар, онда тиісті реттік Хадамард матрицасы белгілі емес. Олар: 668, 716, 892, 1132, 1244, 1388, 1436, 1676, 1772, 1916, 1948 және 1964.

Теңдестік және бірегейлік

Егер бір Хадамард матрицасын екіншісінен қатарларын немесе бағандарын жоқтап, немесе қатарларын немесе бағандарын ауыстыру арқылы алуға болса, онда екі матрица эквивалентті саналады. Эквиваленттілікке дейін 1, 2, 4, 8 және 12 реттік бірегей Хадамард матрицасы бар. 16 реттік 5 эквивалентті емес матрица, 20 реттік 3 матрица, 24 реттік 60 матрица және 28 реттік 487 матрица бар. 32, 36 және 40 реттік миллиондаған эквивалентті емес матрицалар белгілі. Транспозицияға да рұқсат ететін эквиваленттіліктің кеңейтілген түсінігін қолданғанда, 16 реттік 4 эквивалентті емес матрица, 20 реттік 3 матрица, 24 реттік 36 матрица және 28 реттік 294 матрица бар. Хадамард матрицалары да бірегей түрде қалпына келтіріледі, яғни, егер n реттік Хадамард матрицасының жазбалары кездейсоқ түрде жойылса, онда өте жоғары ықтималдықпен, зақымдалған матрицадан бастапқы матрицаны толыққанды қалпына келтіруге болады. Қалпына келтіру алгоритмінің есептеулік қиындығы матрицаны инверсиялаумен бірдей.

Ерекше жағдайлар

Математикалық әдебиетте Хадамард матрицаларының көптеген арнайы жағдайлары зерттелген.

Скеу Хадамард матрицалары

Адамард матрицасы H бұрмаланған деп есептеледі, егер кез келген жол мен оған сәйкес келетін бағанды -1 санына көбейтуден кейін де бұрмаланған Адамард матрицасы болып қалатын болса. Бұл, мысалы, бұрмаланған Адамард матрицасын нормализациялауға мүмкіндік береді, яғни бірінші қатардағы барлық элементтер 1-ге тең болады. Рид пен Браун 1972 жылы n+1 ретті бұрмаланған Адамард матрицасы болса ғана n ретті екі рет тұрақты турнирдің бар екенін көрсетті. n ретті математикалық турнирде n ойыншының әрқайсысы қалған ойыншылардың әрқайсысымен бір матч өткізеді, нәтижесінде бір ойыншы жеңіске жетеді, ал екіншісі жеңіледі. Егер әр ойыншы бірдей матчтар санымен жеңіске жетсе, онда турнир тұрақты деп есептеледі. Тұрақты турнир екі рет тұрақты болып саналады, егер екі түрлі ойыншының жеңілген қарсыластарының саны барлық түрлі ойыншы жұптары үшін бірдей болса. n(n-1)/2 матчтың әрқайсысы бір ойыншының жеңісімен аяқталады, сондықтан әр ойыншы (n-1)/2 матчты жеңеді (және де соншасын жеңіледі). Белгілі бір ойыншыдан жеңілген (n-1)/2 ойыншының әрқайсысы тағы (n-3)/2 ойыншыға да жеңіледі, сондықтан j ойыншысы i және берілген ойыншыға екеуіне де жеңілетін (i, j) ойыншы жұптарының саны (n-1)(n-3)/4-ке тең. Егер жұптар басқаша саналып жатса, сол нәтижеге келінеді: берілген ойыншы және қалған n-1 ойыншының кез келгені бірдей ортақ қарсыластарды жеңеді. Осы ортақ жеңілген қарсыластардың саны, демек, (n-3)/4-ке тең болуы керек. Бұрмаланған Адамард матрицасы бастапқы ойыншылардың барлығын жеңген қосымша ойыншыны қосу арқылы алынады, содан кейін ойыншылармен белгіленген матрица құрастырылады, онда i-ші қатар, j-ші баған 1-ге тең болады, егер i=j болса немесе i, j-ді жеңсе, ал j, i-ді жеңсе онда -1-ге тең болады. Бұл кері сәйкестік бұрмаланған Адамард матрицасы нормаланған жағдайда, яғни бірінші қатардағы барлық элементтер 1-ге тең болса, бұрмаланған Адамард матрицасынан екі рет тұрақты турнирді құруға мүмкіндік береді.

Қалыпты Хадамард матрицалары

Регламентті Хадамар матрицалары – қатарлары мен бағандарының барлық қосындылары тең болатын нақты Хадамар матрицалары. n × n реттегі регламентті Хадамар матрицасының болуы үшін қажетті шарт – n саны квадрат сан болуы. Айналмалы матрица өзі анық регламентті болып табылады, сондықтан айналмалы Хадамар матрицасы шаршы ретпен болуы керек. Сонымен қатар, егер n > 1 болғанда айналмалы Хадамар матрицасы болса, онда n міндетті түрде 4u² формасында болуы керек, мұнда u – тақ сан.

Айналымдық Хадамард матрицалары

Алайда, айналымдық Хадамар матрицасы туралы болжам, белгілі 1 × 1 және 4 × 4 мысалдарынан басқа, мұндай матрицалардың жоқ екенін күтіп отырады. Бұл 104-тен кіші u-дың 26 мәнінен басқа барлық мәндері үшін расталды.

Жалпылау

Бір негізгі жалпылама – салмақталған матрица. Салмақталған матрица – жазбалары нөл болатын квадрат матрица, және ол белгілі бір w үшін оның салмағына қанағаттандырады. Салмағы өзінің өлшеміне тең салмақталған матрица – Хадамар матрицасы. Тағы бір жалпылама күрделі Хадамар матрицасын бірлік модулі бар күрделі сандардан құралған матрица деп анықтайды, және ол H H* = n In шартын қанағаттандырады, мұнда H* – H матрицасының конъюгатты транспозы. Күрделі Хадамар матрицалары оператор алгебраларын және кванттық есептеу теориясын зерттеуде қолданылады. Бютсон типіндегі Хадамар матрицасы – жазбалары бірліктің q-шы дәрежесінен алынған күрделі Хадамар матрицасы. Кейбір авторлар күрделі Хадамар матрицасы терминін q = 4 жағдайы үшін ғана қолданған.