Кіріспе

Оптикадағы дифракциялық үлгі

Оптикада Эйри дискісі (немесе Эйри дискісі) және Эйри үлгісі – жарықтың дифракциясымен шектелген, дөңгелек апертурасы бар идеалды линзаның жасай алатын ең жақсы фокустауланған жарық нүктесінің сипаттамасы. Эйри дискісі физика, оптика және астрономияда маңызды. Біркелкі жарықтандырылған дөңгелек апертурадан туындайтын дифракциялық үлгіде жарқын орталық аймақ болады, ол Эйри дискісі деп аталады, және оның айналасындағы концентрлі сақиналар қатарымен бірге Эйри үлгісі деп аталады. Екеуі де Джордж Биделл Эйридің құрметіне аталған. Диск және сақиналар құбылысы Эйриге дейін белгілі болған; Джон Гершель 1828 жылғы «Метрополитан энциклопедиясы» энциклопедиясы үшін жарық туралы мақаласында телескоп арқылы үлкейту арқылы көрінетін жарқын жұлдыздың бейнесін сипаттады: жұлдыз одан кейін (қолайлы жағдайда, тыныш атмосферада, біркелкі температурада және т.б.) толық дөңгелек, анық планеталық диск ретінде көрінеді, оны екі, үш немесе одан да көп қара және жарқын сақиналар қоршайды, олар мұқият қарағанда жиектерінде сәл түсті болып көрінеді. Олар орталық дискке қатысты шамамен бірдей аралықта бір-бірінен кейін келеді.

Эйри құбылысты түсіндіретін алғашқы толық теориялық зерттеуді жазды (оның 1835 жылғы «Дөңгелек апертурасы бар объективтің дифракциясы туралы» еңбегі). Математикалық тұрғыдан дифракциялық үлгі дөңгелек апертураны жарықтандыратын жарықтың толқын ұзындығымен және апертураның мөлшерімен сипатталады. Дифракциялық үлгінің көрінісі сондай-ақ үлгіні байқау үшін қолданылатын көзге немесе басқа детектордың сезімталдығымен сипатталады. Бұл тұжырымның ең маңызды қолданылуы – камералар, микроскоптар және телескоптар. Дифракцияның салдарынан линза немесе айна жарық сәулесін фокустай алатын ең кішкентай нүкте – Эйри дискісінің мөлшерімен анықталады. Тіпті егер тамаша линза жасау мүмкін болса да, мұндай линза жасаған суреттің ажыратымдылығының шегі болады. Линзалардың кемшіліктерімен емес, тек дифракциямен ғана шектелген оптикалық жүйе дифракциялық шектеулі деп аталады.

Адамның көзі

Адам көзі үшін ең кіші f саны шамамен 2,1-ге тең, бұл шамамен 1 мкм диаметрі бар дифракциялық шектеулі нүктелік таралу функциясына сәйкес келеді. Дегенмен, осы f санында сфералық аберрация көру қабілетін шектейді, ал 3 мм қарайғыш диаметрі (f/5.7) адам көзінің қамтамасыз ететін ажыратымдылыққа жақын. Адамның сарғыш дағындағы конустардың ең жоғары тығыздығы шамамен бір шаршы миллиметрге 170 000-ға жетеді, бұл адам көзіндегі конустардың арақашықтығы шамамен 2,5 мкм, f/5 нүктелік таралу функциясының диаметрімен салыстырылады.

Тоқтатылған лазер сәулесі

Дөңгелек лазер сәулесі, оның бүкіл диаметрінде интенсивтілігі бірдей (жазық жоғарғы сәуле), линза арқылы шоғырланғанда фокус нүктесінде Эйри дискісінің бейнесін құрайды. Эйри дискісінің мөлшері фокустағы лазер интенсивтілігін анықтайды.

Нысаналау

Кейбір қаруды бағыттауға арналған оптикалық құралдар (мысалы, FN FNC) пайдаланушыдан қару түтігінің ұшындағы кішкентай тесікше (артқы, жақын орналасқан, яғни фокустан тыс болатын) мен ұштығын (нақты көріністе болуы және нысанамен бірге көрінуі керек) туралауды қажет етеді. Тесікше арқылы қарағанда, пайдаланушы нысананы дұрыс бағыттауға көмектесетін Эйри дискісін байқайды.

Бақылау шарттары

Біркелкі жарықтандырылған дөңгелек апертурадан (немесе біркелкі, жазық сәуледен) шығатын жарық, Фраунгофер дифракциясы (алыс өріс дифракциясы) салдарынан апертурадан алыс жерде Эйри дифракциялық үлгісін көрсетеді. Алыс өрісте болу және Эйри үлгісін көрсету шарттары: апертураны жарықтандыратын кіріс жарық – жазық толқын (апертура бойынша фазалық өзгеріс жоқ), интенсивтілік апертура ауданында тұрақты, ал дифракцияланған жарық байқалатын апертурадан қашықтық (экран қашықтығы) апертураның өлшеміне қарағанда үлкен болуы керек, сондай-ақ апертура радиусы жарықтың толқын ұзындығынан көп басып кетпеуі тиіс. Соңғы екі шартты формальды түрде былай жазуға болады:

Іс жүзінде біркелкі жарықтандыру шарттарын жарық көзін апертурадан алысқа орналастыру арқылы қамтамасыз етуге болады. Егер алыс өріс шарттары орындалмаса (мысалы, апертура үлкен болса), алыс өрістің Эйри дифракциялық үлгісін апертурадан кейін орналасқан линзаны пайдалану арқылы апертураға жақын экранда да алуға болады (немесе линзаның өзі апертура рөлін атқаруы мүмкін). Осылайша, Эйри үлгісі шексіздікте емес, линзаның фокусында қалыптасады. Сондықтан, линзамен фокусталатын біркелкі дөңгелек лазер сәулесінің (жазық сәуле) фокус нүктесі де Эйри үлгісі болады. Камерада немесе бейнелеу жүйесінде алыстағы объект объектив линзасы арқылы пленкаға немесе детектор жазықтығына бейнеленеді, ал детекторда алыс өрістің дифракциялық үлгісі байқалады. Нәтижедегі бейне – бұл идеалды бейне мен Эйри дифракциялық үлгісінің конволюциясы, ол апертураның ірісінен немесе линзаның шекті өлшемдерінен туындайды. Бұл жоғарыда сипатталған линза жүйесінің шекті ажыратымдылығына алып келеді.

Гаусс профилін қолдану арқылы шамалау

Аэри үлгісі орталықтан қашықтығы артқан сайын өте баяу түрде нөлге жуықтайды, ал сыртқы сақиналар үлгінің интегралдық қарқындылығының маңызды бөлігін құрайды. Осының салдарынан, квадрат түбірінің орташа шамасы (RMS) нүкте өлшемі анықталмайды (яғни шексіз). Нүкте өлшемін анықтаудың тағы бір тәсілі – Аэри үлгісінің салыстырмалы түрде кішкентай сыртқы сақиналарын ескермеу және орталық бөлігін Гаусс профилімен жуықтау, яғни

мұндағы – үлгі ортасындағы сәулелену қарқындылығын, – үлгі ортасынан радиалдық қашықтықты, ал – Гаусс RMS енін (бір өлшемде) көрсетеді. Егер Аэри үлгісінің және Гаусс профилінің ең жоғары амплитудаларын теңестірсек, яғни , және үлгіге ең жақсы жуықтама беретін мәнін табатын болсақ, онда

алынады, мұндағы N – f саны. Егер Гаусс профилінің көлемі Аэри үлгісінің көлемімен бірдей болуын қаласақ, онда

болады. Оптикалық аберрациялар теориясында бейнелеу жүйесі, егер Аэри дискісінің радиусы геометриялық сәулелерді іздеу арқылы анықталған RMS нүкте өлшемінен үлкен болса, дифракциялық шектеулі деп сипатталады (оптикалық линзаны жобалауға қараңыз). Гаусс профилімен жуықтау салыстырудың баламалы тәсілін ұсынады: жоғарыдағы жуықтаманы қолдану Гаусс белдеуінің Гаусс профиліне жуықтауы Аэри дискісінің радиусының шамамен үштен екісіне тең екенін көрсетеді, яғни , ал емес.

Қапсырылған ауалық үлгі

Бұған ұқсас теңдеулерді жасырылған Эйри дифракциялық үлгісі үшін де шығаруға болады, бұл сақина тәрізді апертурадан немесе сәуледен туындайтын дифракциялық үлгі, яғни ортасы дөңгелек кедергімен жабылған біркелкі дөңгелек апертурадан (сәуледен). Бұл жағдай Ньютон телескоптары және Шмидт-Кассегрен телескоптары сияқты екінші айнаны қолданатын көптеген рефлекторлық телескоптардың құрылысына қатысты. Мұндағы – сақиналық апертураның көлеңкелену коэффициенті, яғни көлеңкелейтін дискінің диаметрі мен апертураның (сәуленің) диаметрінің арақатынасы. Ал x жоғарыда көрсетілгендей анықталады: мұндағы – оптикалық осьтен фокустық жазықтықтағы радиалдық қашықтық, – толқын ұзындығы және – жүйенің f саны. Фокустық жазықтықтағы оптикалық оське ортақталған радиусы бар шеңбердің ішінде орналасқан жалпы энергияның үлесі – бөлшекше қамтылған энергия мына формуламен беріледі: үшін формулалар жоғарыда қарастырылған жасырылмаған нұсқаларға дейін тобырлады. Телескопта орталық кедергінің болуының практикалық салдары – орталық дискінің сәл кішіреюі және орталық дискінің есебінен бірінші жарқын сақинаның жарқырауы. Бұл үлкен қосалқы айналарды қажет ететін қысқа фокустық қашықтығы бар телескоптар үшін үлкен мәселе тудырады.

Гаусс сәулесін фокуспен салыстыру

Көздікпен шоғырландырылған біркелкі интенсивтілік профилі бар дөңгелек лазер сәулесі көздіктің фокустық жазықтығында Эйри суретін қалыптастырады. Фокус ортасындағы интенсивтілік – бұл сәуленің жалпы қуаты, сәуленің ауданы (сәуле диаметрі), толқын ұзындығы және линзаның фокустық қашықтығы. Қатты апертура арқылы өткен Гаусс сәулесі қиылып, энергия жоғалады және жиектегі дифракция күшейеді, бұл сәуленің таралуын арттырады. Осы әсерлердің салдарынан алыс өрісте интенсивтілікті максималдайтын Гаусс сәулесінің диаметрі пайда болады. Бұл Гаусс сәулесінің диаметрі апертура диаметрінің 89% құрағанда және алыс өрістегі осьтік интенсивтілік біркелкі интенсивтілік профилінен алынған интенсивтіліктің 81% тең болады.