Введение

Дифракционная картина в оптике

В оптике диск Эйри (или диск Эйри) и дифракционная картина Эйри описывают наиболее сфокусированное пятно света, которое может создать идеальная линза с круглой апертурой, ограниченное дифракцией света. Диск Эйри имеет важное значение в физике, оптике и астрономии. Дифракционная картина, возникающая при равномерном освещении круглой апертуры, имеет яркую центральную область, известную как диск Эйри, которая вместе с серией концентрических колец вокруг называется дифракционной картиной Эйри. Обе названы в честь Джорджа Бидделла Эйри. Феномен диска и колец был известен и до Эйри; Джон Гершель описал вид яркой звезды, наблюдаемой в телескоп при большом увеличении, в статье 1828 года о свете для «Энциклопедии Metropolitana»: звезда тогда видна (при благоприятных условиях спокойной атмосферы, равномерной температуры и т. д.) как идеально круглый, четко очерченный планетарный диск, окруженный двумя, тремя или более чередующимися темными и яркими кольцами, которые, при внимательном изучении, оказываются слегка окрашенными по краям. Они следуют друг за другом почти с равными интервалами вокруг центрального диска.

Эйри представил первое полное теоретическое обоснование этого явления (его работа 1835 года «О дифракции объектива с круглой апертурой»). Математически дифракционная картина характеризуется длиной волны света, освещающего круговую апертуру, и размером самой апертуры. Внешний вид дифракционной картины дополнительно характеризуется чувствительностью глаза или другого детектора, используемого для наблюдения за ней. Наиболее важное применение этой концепции – в камерах, микроскопах и телескопах. Из-за дифракции, наименьшая точка, в которую линза или зеркало могут сфокусировать луч света, имеет размер диска Эйри. Даже если бы удалось создать идеальную линзу, разрешение изображения, полученного с помощью такой линзы, все равно было бы ограничено. Оптическая система, в которой разрешение ограничено не несовершенством линз, а только дифракцией, называется дифракционно ограниченной.

Человеческий глаз

Самый быстрый показатель f для человеческого глаза составляет около 2,1, что соответствует дифракционно-ограниченной функции рассеяния точки с диаметром примерно 1 мкм. Однако при этом значении f-числа сферическая аберрация ограничивает остроту зрения, в то время как диаметр зрачка 3 мм (f/5.7) приближается к разрешению, достигаемому человеческим глазом. Максимальная плотность колбочек в центральной ямке сетчатки человека составляет примерно 170 000 на квадратный миллиметр, что подразумевает расстояние между колбочками в человеческом глазу около 2,5 мкм, примерно равное диаметру функции рассеяния точки при f/5.

Фокусированный лазерный луч

Круговой лазерный луч с однородной интенсивностью по сечению (луч с плоским профилем), сфокусированный линзой, сформирует дифракционную картину в виде диска Эйри в фокусе. Размер диска Эйри определяет интенсивность лазера в фокусе.

Цель

Некоторые прицельные приспособления оружия (например, FN FNC) требуют от стрелка совместить отверстие прицела (задний, расположенный ближе к стрелку прицел, то есть находящийся вне фокуса) с мушкой (которая должна быть в фокусе и совмещена с целью) на конце ствола. При взгляде через отверстие прицела стрелок заметит диск Эйри, который поможет центрировать прицел над мушкой.

Условия наблюдения

Свет от равномерно освещенной круглой апертуры (или от равномерного луча с плоским профилем) будет демонстрировать дифракционную картину Эйри на большом расстоянии от апертуры из-за дифракции Фраунгофера (дифракции в дальнем поле). Условия для наблюдения дифракции в дальнем поле и формирования картины Эйри таковы: падающий свет, освещающий апертуру, является плоской волной (без фазовых искажений на поверхности апертуры), интенсивность постоянна по всей площади апертуры, расстояние от апертуры до экрана, на котором наблюдается дифракционная картина, значительно превышает размер апертуры, а радиус апертуры лишь незначительно больше длины волны света. Эти последние два условия можно формально записать как:

На практике условия равномерного освещения можно обеспечить, разместив источник света на значительном расстоянии от апертуры. Если условия для наблюдения дифракции в дальнем поле не выполняются (например, если апертура большая), дифракционную картину Эйри можно получить на экране, расположенном гораздо ближе к апертуре, используя линзу непосредственно после апертуры (или саму линзу можно использовать для формирования апертуры). В этом случае картина Эйри будет формироваться в фокусе линзы, а не в бесконечности. Следовательно, фокус однородного круглого лазерного луча (луча с плоским профилем), сфокусированного линзой, также будет представлять собой дифракционную картину Эйри. В камере или системе формирования изображения удаленный объект проецируется на плоскость пленки или детектора объективом, и дифракционная картина дальнего поля наблюдается на детекторе. Полученное изображение является сверткой идеального изображения с дифракционной картиной Эйри, возникающей из-за дифракции на диафрагме или из-за конечного размера линзы. Это приводит к конечному разрешению линзовой системы, описанной выше.

Приближение с использованием гауссовского профиля

Модель Эйри довольно медленно стремится к нулю с увеличением расстояния от центра, при этом внешние кольца содержат значительную часть интегрированной интенсивности модели. В результате, среднеквадратичный (RMS) размер пятна не определен (т.е. бесконечен). Альтернативным способом оценки размера пятна является игнорирование относительно небольших внешних колец модели Эйри и аппроксимация центральной доли гауссовым профилем, который выражается как:

где – это освещенность в центре модели, – радиальное расстояние от центра модели, а – среднеквадратичная ширина гауссиана (в одном измерении). Если мы приравняем пиковую амплитуду модели Эйри и гауссова профиля, то есть и найдем значение , дающее оптимальную аппроксимацию модели, то получим:

где N – число f. Если же мы хотим, чтобы гауссовский профиль имел такой же объем, как и модель Эйри, то это выражение примет вид:

В теории оптических аберраций принято описывать систему формирования изображения как дифракционно ограниченную, если радиус диска Эйри больше, чем RMS размер пятна, определенный геометрическим трассированием лучей (см. Проектирование оптических линз). Аппроксимация гауссовым профилем предоставляет альтернативный способ сравнения: используя вышеуказанную аппроксимацию, можно показать, что гауссовская талия гауссовой аппроксимации диска Эйри составляет примерно две трети радиуса диска Эйри, то есть , а не .

Затемненный воздушный рисунок

Подобные уравнения также могут быть выведены для затемненной дифракционной картины Эйри, которая представляет собой дифракционную картину от кольцевой апертуры или пучка, то есть равномерной круговой апертуры (пучка), частично закрытой круглым непрозрачным элементом в центре. Эта ситуация применима ко многим распространенным конструкциям рефлекторных телескопов, включающим вторичное зеркало, в том числе телескопам Ньютона и телескопам Шмидта-Кассегрена. где – коэффициент затенения кольцевой апертуры, или отношение диаметра непрозрачного элемента к диаметру апертуры (пучка). и x определяется, как указано выше: где – радиальное расстояние в фокальной плоскости от оптической оси, – длина волны и – число f системы. Доля энергии, заключенной во круг (доля полной энергии, содержащейся в круге радиуса с центром на оптической оси в фокальной плоскости), тогда определяется следующим образом:

При формулы сводятся к вариантам без затенения, приведенным выше. Практическим следствием наличия центрального препятствия в телескопе является небольшое уменьшение центрального диска и увеличение яркости первого яркого кольца за счет центрального диска. Это становится более выраженной проблемой для телескопов с коротким фокусным расстоянием, которым требуются более крупные вторичные зеркала.

Сравнение с фокусом гауссовского луча

Круглый лазерный луч с однородным профилем интенсивности, сфокусированный линзой, формирует дифракционную картину Эйри в фокальной плоскости линзы. Интенсивность в центре фокуса составит , где – полная мощность луча, – площадь луча ( – диаметр луча), – длина волны, а – фокусное расстояние линзы. Гауссианский луч, проходящий через жесткую апертуру, будет обрезаться. При этом теряется энергия и возникает дифракция на краях, эффективно увеличивающая расходимость. Из-за этих эффектов существует диаметр гауссианского луча, который максимизирует интенсивность в дальнем поле. Это происходит, когда диаметр гауссиана составляет 89% диаметра апертуры, а интенсивность на оси в дальнем поле будет 81% от интенсивности, создаваемой однородным профилем.