Кіріспе
Ли алгебрасының орталығындағы ерекше элемент
In mathematics, a Casimir element (also known as a Casimir invariant or Casimir operator) is a distinguished element of the center of the universal enveloping algebra of a Lie algebra. A prototypical example is the squared angular momentum operator, which is a Casimir element of the three dimensional rotation group. More generally, Casimir elements can be used to refer to any element of the center of the universal enveloping algebra. The algebra of these elements is known to be isomorphic to a polynomial algebra through the Harish Chandra isomorphism. The Casimir element is named after Hendrik Casimir, who identified them in his description of rigid body dynamics in 1931.
Математикада Казимир элементі (сондай-ақ Казимир инварианты немесе Казимир операторы деп те аталады) — Ли алгебрасының әмбебап орауыш алгебрасының орталығындағы ерекше элемент болып табылады. Типик мысал — үш өлшемді айналу тобының Казимир элементі болып табылатын бұрыштық импульстің квадраты операторы. Көбінесе, Казимир элементтері әмбебап орауыш алгебрасының орталығындағы кез келген элементті білдіруі мүмкін. Осы элементтер алгебрасы Хариш-Чандра изоморфизмі арқылы полиномдық алгебраға изоморфты екені белгілі. Казимир элементі 1931 жылы қатты дене динамикасын сипаттағанда оларды анықтаған Хендрик Казимирдің құрметіне аталған.
In mathematics, a Casimir element (also known as a Casimir invariant or Casimir operator) is a distinguished element of the center of the universal enveloping algebra of a Lie algebra. A prototypical example is the squared angular momentum operator, which is a Casimir element of the three dimensional rotation group. More generally, Casimir elements can be used to refer to any element of the center of the universal enveloping algebra. The algebra of these elements is known to be isomorphic to a polynomial algebra through the Harish Chandra isomorphism. The Casimir element is named after Hendrik Casimir, who identified them in his description of rigid body dynamics in 1931.
Анықтама
Ең көп қолданылатын Казимир инварианты – квадрат инвариант. Оны анықтау ең оңай, сондықтан ол бірінші кездеседі. Дегенмен, жоғары дәрежелі гомогенді симметриялық полиномдарға сәйкес келетін жоғары дәрежелі Казимир инварианттары да болуы мүмкін.
Квадраттық Казимир элементінің бірегейлігі
Қарапайым Лай алгебрасы үшін әрбір инвариантты билинейлік форма Киллинг формасының еселігі болғандықтан, сәйкес Казимир элементі тұрақтыға дейін бірегей анықталады. Жалпы жартылай қарапайым Ли алгебрасы үшін инвариантты билинейлік формалар кеңістігінде әрбір қарапайым компонент үшін бір базалық вектор болады, демек, сәйкес Казимир операторлары кеңістігі үшін де осы айтылады.
G-дегі лаплацианмен байланысы
Егер Lie тобының Lie алгебрасы болса, онда Lie алгебрасындағы дегенерацияланбаған инвариантты екі сызықты нысанды таңдау, Lie тобындағы екі инвариантты Риман метрикасын таңдаумен сәйкес келеді. Содан кейін, Lie тобының жалпы жапсырмалы алгебрасын сол инвариантты дифференциалдық операторлармен сәйкестендіру арқылы, екі сызықты нысанның Казимир элементі, (сәйкес екі инвариантты метрикаға қатысты) Лапласианға өтеді.
Казимир элементтері және бейнелеу теориясы
Рака теоремасы бойынша, жартылай қарапайым Лай алгебрасы үшін әмбебап қоршау алгебрасының орталығының өлшемі оның рангіне тең. Казимир операторы жалпы жартылай қарапайым Лай тобында Лапласиан ұғымын береді; бірақ рангі 1-ден жоғары болғанда Лапласианның бірегей аналогы жоқ. Анықтама бойынша, әмбебап қоршау алгебрасының кез келген мүшесі алгебрадағы барлық басқа элементтермен коммутациялайды. Шур леммасы бойынша, Лай алгебрасының кез келген ирредуктибелдік бейнелеуінде кез келген Казимир элементі сәйкестікке пропорционалды. Барлық Казимир элементтерінің өзіндік мәндері Ли алгебрасының (сонымен қатар оның Ли тобының) бейнелеулерін жіктеу үшін қолданылуы мүмкін. Физикалық масса және спин – осы өзіндік мәндердің мысалдары, сондай-ақ кванттық механикада кездесетін көптеген басқа кванттық сандар да осыған жатады. Сырттай қарағанда, топологиялық кванттық сандар осы үлгіден ерекшеленеді; бірақ терең теориялар олардың бір құбылыстың екі жағы екенін көрсетеді. Егер болмаса (яғни ), онда бұл тұрақты нөлден өзгеше. Өйткені , доминантты болғандықтан, егер болса, онда және , бұл байқау Вейль теоремасының толық редукциялануына дәлелдеуде маңызды рөл атқарады. Картан критерийін қолдана отырып, өзіндік мәннің нақты формуласын пайдаланбастан, өзіндік мәннің нөлдік еместігін абстрактілірек жолмен дәлелдеуге де болады; Хамфристің кітабының 4.3 және 6.2-бөлімдерін қараңыз.
Let be the finite dimensional highest weight module of weight Then the quadratic Casimir element acts on by the constant
where is the weight defined by half the sum of the positive roots. If is nontrivial (i. e. if ), then this constant is nonzero. After all, since is dominant, if , then and , showing that This observation plays an important role in the proof of Weyl's theorem on complete reducibility. It is also possible to prove the nonvanishing of the eigenvalue in a more abstract way—without using an explicit formula for the eigenvalue—using Cartan's criterion; see Sections 4.3 and 6.2 in the book of Humphreys.
Қарапайым Ли алгебраларының симметриялық инвариант тензорлары
Казимир элементінің реті симметриялық инвариант тензордың сол ретімен сәйкес келеді. Казимир элементтерін құру және олардың арасындағы байланысты орнату симметриялық инвариант тензорлар үшін де осылай жасаумен эквивалентті.