Введение

Выделяющийся элемент центра алгебры Ли. В математике, элемент Казимира (также известный как инвариант Казимира или оператор Казимира) — это выделяющийся элемент центра универсальной обволакивающей алгебры алгебры Ли. Типичным примером является оператор квадрата углового момента, который является элементом Казимира трёхмерной группы вращений. В более общем смысле, элементы Казимира могут использоваться для обозначения любого элемента центра универсальной обволакивающей алгебры. Алгебра этих элементов, как известно, изоморфна полиномиальной алгебре посредством изоморфизма Хариша-Чандры. Элемент Казимира назван в честь Хендрика Казимира, который идентифицировал их в своём описании динамики твёрдого тела в 1931 году.

Определение

Наиболее часто используемый инвариант Казимира — квадратичный инвариант. Он наиболее прост в определении и поэтому приводится первым. Однако существуют также инварианты Казимира более высокого порядка, соответствующие однородным симметричным полиномам более высокого порядка.

Уникальность элемента Казимира

Поскольку для простой алгебры Ли любая инвариантная билинейная форма является кратной форме Киллинга, соответствующий элемент Казимира определяется однозначно с точностью до константы. Для общей полупростой алгебры Ли пространство инвариантных билинейных форм имеет один базисный вектор для каждой простой компоненты, и, следовательно, то же самое справедливо и для пространства соответствующих операторов Казимира.

Отношение к лаплацкому на G

Если G — группа Ли с алгеброй Ли g, то выбор недегенеративной инвариантной билинеарной формы на g соответствует выбору биинвариантной римановой метрики на G. При отождествлении универсальной обволакивающей алгебры g с левоинвариантными дифференциальными операторами на G, элемент Казимира билинеарной формы на g отображается в лапласиан G (относительно соответствующей биинвариантной метрики).

Казимирские элементы и теория представления

По теореме Рака, для полупростой алгебры Ли размерность центра универсальной обволакивающей алгебры равна её рангу. Оператор Казимира даёт понятие лапласиана на общей полупростой группе Ли, но для ранга > 1 не существует единственного аналога лапласиана. По определению, любой элемент центра универсальной обволакивающей алгебры коммутирует со всеми остальными элементами алгебры. По лемме Шура, в любом неприводимом представлении алгебры Ли любой элемент Казимира пропорционален единичному оператору. Собственные значения всех элементов Казимира могут быть использованы для классификации представлений алгебры Ли (и, следовательно, также её группы Ли). Физическая масса и спин являются примерами этих собственных значений, как и многие другие квантовые числа, встречающиеся в квантовой механике. На первый взгляд, топологические квантовые числа являются исключением из этой закономерности, хотя более глубокие теории намекают на то, что это два аспекта одного и того же явления.

Пусть – конечномерный модуль старшего веса веса . Тогда квадратичный элемент Казимира действует на постоянной величиной

где – вес, определяемый как половина суммы положительных корней. Если нетривиален (т.е. если ), то эта величина отлична от нуля. Ведь поскольку доминантный, если , то и , что показывает . Это наблюдение играет важную роль в доказательстве теоремы Вейля о полной приводимости. Также можно доказать ненулевость собственного значения более абстрактным способом, без использования явной формулы для собственного значения, используя критерий Картана; см. разделы 4.3 и 6.2 в книге Хамфриса.

Симметричные инвариантные тензоры простых алгебр Ли

Казимирский элемент порядка *r* соответствует симметричному инвариантному тензору того же порядка. Построение и установление связей между казимирскими элементами эквивалентно построению и установлению связей для симметричных инвариантных тензоров.