Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Сандар теориясында идеалдық сан — сандар өрісінің бүтін сандар сақинасындағы идеалды көрсететін алгебралық бүтін сан; бұл идеяны Эрнст Кумер дамытты және ол Ричард Дедекиндтің сақиналар үшін идеалдардың анықтамасына әкелді. Алгебралық сандар өрісінің бүтін сандар сақинасындағы идеал, егер ол сақинаның бір ғана элементінің еселіктерінен тұрса, негізгі болып табылады, әйтпесе негізгі емес болады. Негізгі идеал теоремасына сәйкес, кез келген негізгі емес идеал Гилберт кластық өрісінің идеалына кеңейтілгенде негізгіге айналады. Бұл Гилберт кластық өрісінің бүтін сандар сақинасында идеалдық сан болатын, яғни бастапқы негізгі емес идеалды осы идеалдық санның барлық еселіктері жиынтығына теңестіретін элемент бар екенін білдіреді, мұндағы еселіктер бастапқы өрістің сақинасына жататын элементтермен көбейтіледі.
In number theory an ideal number is an algebraic integer which represents an ideal in the ring of integers of a number field; the idea was developed by Ernst Kummer, and led to Richard Dedekind's definition of ideals for rings. An ideal in the ring of integers of an algebraic number field is principal if it consists of multiples of a single element of the ring, and nonprincipal otherwise. By the principal ideal theorem any nonprincipal ideal becomes principal when extended to an ideal of the Hilbert class field. This means that there is an element of the ring of integers of the Hilbert class field, which is an ideal number, such that the original nonprincipal ideal is equal to the collection of all multiples of this ideal number by elements of this ring of integers that lie in the original field's ring of integers.
Тарих
Кумер циклотомдық өрістерде бірегей жіктелудің сәтсіздігін алғаш рет 1844 жылы белгісіз журналда жариялады; ол 1847 жылы Лиувилл журналында қайта басылды. 1846 және 1847 жылдардағы келесі мақалаларында ол өзінің негізгі теоремасын жариялады, (нақты және идеалдық) жай сандарға бірегей жіктелу туралы. Көптеген адамдар Кумердің "идеалдық кешенді сандарына" Ферманың соңғы теоремасына деген қызығушылығы жетелеген деп санайды; тіпті, Кумер Ламе сияқты, Льежон Дирихлет оның дәлелі бірегей жіктелуге негізделгенін айтқанға дейін Ферманың соңғы теоремасын дәлелдегеніне сенгенін айтатын әңгіме де бар; бірақ бұл оқиғаны алғаш рет Курт Хенсель 1910 жылы айтқан, және дәлелдер оның Хенселдің бір дерегінен туындаған жаңылыс екенін көрсетеді. Харольд Эдвардс Кумердің негізгі қызығушылығы Ферманың соңғы теоремасы болды деген сенім "әлбетте, қате" екенін айтады (Эдвардс 1977, 79-бет). Кумердің λ әрпін жай санды белгілеу үшін, α әрпін бірліктің λ-шы түбірін көрсету үшін пайдалануы және жай санды "бірліктің түбірлерінен құралған кешенді сандарға" жіктеуді зерттеуінің бәрі Жакобидің жоғары өзара байланыс заңдарына қатысты мақаласынан тікелей алынған. Кумердің 1844 жылғы естелігі Кенигсберг университетінің мерейтойына арналған және Якобиге құрмет көрсету мақсатында жазылған. Кумер 1830 жылдары Ферманың соңғы теоремасын зерттеген және оның теориясының оны зерттеуге әсер ететінін білгенімен, Якобидің (және Гаустың) қызығушылығын тудырған жоғары өзара байланыс заңдары оған көбірек маңызды болды. Кумер өзінің Ферманың соңғы теоремасының тұрақты жай сандар үшін жартылай дәлелін "сандар теориясының қызықты нысаны, бірақ маңызды емес" деп атады, ал жоғары өзара байланыс заңын (ол болжам ретінде айтқан) "қазіргі сан теориясының басты тақырыбы және шыңы" деп атады. Алайда, бұл соңғы мәлімдеме Кумер өзінің өзара байланыс туралы жұмысының табысымен әлі де қуанғанда және Ферманың соңғы теоремасы бойынша жұмысы тоқырағанда жасалды, сондықтан оны күмәнмен қабылдауға болады. Кумердің идеяларын жалпы жағдайға дейін кеңейтуді келесі қырық жыл ішінде Кронекер және Дедекинд тәуелсіз түрде жүзеге асырды. Тікелей жалпылау үлкен қиындықтарға тап болды, және ол ақырында Дедекиндті модульдер мен идеалдар теориясын жасауға итерді. Кронекер қиындықтарды формалар теориясын (квадраттық формалардың жалпылауы) және бөлгіштер теориясын әзірлеу арқылы шешті. Дедекиндтің үлесі сақиналар теориясы мен абстракт алгебраның негізіне айналды, ал Кронекердің үлесі алгебралық геометрияда маңызды құралға айналды.
Kummer first published the failure of unique factorization in cyclotomic fields in 1844 in an obscure journal; it was reprinted in 1847 in Liouville's journal. In subsequent papers in 1846 and 1847 he published his main theorem, the unique factorization into (actual and ideal) primes. It is widely believed that Kummer was led to his "ideal complex numbers" by his interest in Fermat's Last Theorem; there is even a story often told that Kummer, like Lamé, believed he had proven Fermat's Last Theorem until Lejeune Dirichlet told him his argument relied on unique factorization; but the story was first told by Kurt Hensel in 1910 and the evidence indicates it likely derives from a confusion by one of Hensel's sources. Harold Edwards says the belief that Kummer was mainly interested in Fermat's Last Theorem "is surely mistaken" (Edwards 1977, p. 79). Kummer's use of the letter λ to represent a prime number, α to denote a λth root of unity, and his study of the factorization of prime number into "complex numbers composed of th roots of unity" all derive directly from a paper of Jacobi which is concerned with higher reciprocity laws. Kummer's 1844 memoir was in honor of the jubilee celebration of the University of Königsberg and was meant as a tribute to Jacobi. Although Kummer had studied Fermat's Last Theorem in the 1830s and was probably aware that his theory would have implications for its study, it is more likely that the subject of Jacobi's (and Gauss's) interest, higher reciprocity laws, held more importance for him. Kummer referred to his own partial proof of Fermat's Last Theorem for regular primes as "a curiosity of number theory rather than a major item" and to the higher reciprocity law (which he stated as a conjecture) as "the principal subject and the pinnacle of contemporary number theory." On the other hand, this latter pronouncement was made when Kummer was still excited about the success of his work on reciprocity and when his work on Fermat's Last Theorem was running out of steam, so it may perhaps be taken with some skepticism. The extension of Kummer's ideas to the general case was accomplished independently by Kronecker and Dedekind during the next forty years. A direct generalization encountered formidable difficulties, and it eventually led Dedekind to the creation of the theory of modules and ideals. Kronecker dealt with the difficulties by developing a theory of forms (a generalization of quadratic forms) and a theory of divisors. Dedekind's contribution would become the basis of ring theory and abstract algebra, while Kronecker's would become major tools in algebraic geometry.