Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В теории чисел идеальное число — это алгебраическое целое, представляющее идеал в кольце целых чисел числового поля; эта идея была разработана Эрнстом Куммером и привела к определению идеалов для колец Ричардом Дедекиндом. Идеал в кольце целых чисел алгебраического числового поля называется главным, если он состоит из кратных одного элемента кольца, и неглавным – в противном случае. Согласно теореме о главных идеалах, любой неглавный идеал становится главным при расширении до идеала поля классов Гильберта. Это означает, что существует элемент кольца целых чисел поля классов Гильберта, являющийся идеальным числом, такой, что исходный неглавный идеал равен множеству всех кратных этого идеального числа элементами кольца целых чисел, принадлежащими кольцу целых чисел исходного поля.
In number theory an ideal number is an algebraic integer which represents an ideal in the ring of integers of a number field; the idea was developed by Ernst Kummer, and led to Richard Dedekind's definition of ideals for rings. An ideal in the ring of integers of an algebraic number field is principal if it consists of multiples of a single element of the ring, and nonprincipal otherwise. By the principal ideal theorem any nonprincipal ideal becomes principal when extended to an ideal of the Hilbert class field. This means that there is an element of the ring of integers of the Hilbert class field, which is an ideal number, such that the original nonprincipal ideal is equal to the collection of all multiples of this ideal number by elements of this ring of integers that lie in the original field's ring of integers.
История
Кумер впервые опубликовал неудачу единственной факторизации в циклотомических полях в 1844 году в малоизвестном журнале; эта работа была перепечатана в 1847 году в журнале Лиувиля. В последующих работах 1846 и 1847 годов он опубликовал свою основную теорему об единственной факторизации на (действительные и идеальные) простые числа. Широко распространено мнение, что интерес Кумера к последней теореме Ферма привел его к созданию "идеальных комплексных чисел"; существует даже распространенная история о том, что Кумер, подобно Ламе, полагал, что доказал последнюю теорему Ферма, пока Лежен Дирихле не указал ему на то, что его аргумент опирается на единственную факторизацию; однако эта история была впервые рассказана Куртом Хенселем в 1910 году, и имеющиеся свидетельства указывают на то, что она, вероятно, возникла из-за недоразумения одного из источников Хенселя. Гарольд Эдвардс утверждает, что убеждение в том, что Кумер был в основном заинтересован в последней теореме Ферма, "безусловно, ошибочно" (Эдвардс 1977, с. 79). Использование Куммером буквы λ для обозначения простого числа, α – для обозначения λ-го корня из единицы, а также его исследование факторизации простых чисел на "комплексные числа, составленные из корней λ-й степени из единицы" напрямую восходят к работе Якоби, посвященной законам высшей взаимности. Мемуар Куммера 1844 года был посвящен юбилею Кенигсбергского университета и являлся данью уважения Якоби. Хотя Кумер изучал последнюю теорему Ферма в 1830-х годах и, вероятно, осознавал, что его теория будет иметь последствия для ее исследования, более вероятно, что предмет интереса Якоби (и Гаусса) – законы высшей взаимности – имел для него большее значение. Кумер назвал свое частичное доказательство последней теоремы Ферма для регулярных простых чисел "скорее курьезом теории чисел, чем важным результатом", а закон высшей взаимности (который он сформулировал как гипотезу) – "главным предметом и вершиной современной теории чисел". С другой стороны, это последнее заявление было сделано, когда Кумер все еще был воодушевлен успехом своей работы по взаимности, а его исследования последней теоремы Ферма теряли импульс, поэтому к нему следует относиться с некоторой осторожностью. Обобщение идей Куммера на общий случай было независимо осуществлено Кронекером и Дедекиндом в течение последующих сорока лет. Прямое обобщение столкнулось с серьезными трудностями, что в конечном итоге привело Дедекинда к созданию теории модулей и идеалов. Кронекер справился с этими трудностями, разработав теорию форм (обобщение квадратичных форм) и теорию делителей. Вклад Дедекинда стал основой теории колец и абстрактной алгебры, а разработки Кронекера – важными инструментами в алгебраической геометрии.
Kummer first published the failure of unique factorization in cyclotomic fields in 1844 in an obscure journal; it was reprinted in 1847 in Liouville's journal. In subsequent papers in 1846 and 1847 he published his main theorem, the unique factorization into (actual and ideal) primes. It is widely believed that Kummer was led to his "ideal complex numbers" by his interest in Fermat's Last Theorem; there is even a story often told that Kummer, like Lamé, believed he had proven Fermat's Last Theorem until Lejeune Dirichlet told him his argument relied on unique factorization; but the story was first told by Kurt Hensel in 1910 and the evidence indicates it likely derives from a confusion by one of Hensel's sources. Harold Edwards says the belief that Kummer was mainly interested in Fermat's Last Theorem "is surely mistaken" (Edwards 1977, p. 79). Kummer's use of the letter λ to represent a prime number, α to denote a λth root of unity, and his study of the factorization of prime number into "complex numbers composed of th roots of unity" all derive directly from a paper of Jacobi which is concerned with higher reciprocity laws. Kummer's 1844 memoir was in honor of the jubilee celebration of the University of Königsberg and was meant as a tribute to Jacobi. Although Kummer had studied Fermat's Last Theorem in the 1830s and was probably aware that his theory would have implications for its study, it is more likely that the subject of Jacobi's (and Gauss's) interest, higher reciprocity laws, held more importance for him. Kummer referred to his own partial proof of Fermat's Last Theorem for regular primes as "a curiosity of number theory rather than a major item" and to the higher reciprocity law (which he stated as a conjecture) as "the principal subject and the pinnacle of contemporary number theory." On the other hand, this latter pronouncement was made when Kummer was still excited about the success of his work on reciprocity and when his work on Fermat's Last Theorem was running out of steam, so it may perhaps be taken with some skepticism. The extension of Kummer's ideas to the general case was accomplished independently by Kronecker and Dedekind during the next forty years. A direct generalization encountered formidable difficulties, and it eventually led Dedekind to the creation of the theory of modules and ideals. Kronecker dealt with the difficulties by developing a theory of forms (a generalization of quadratic forms) and a theory of divisors. Dedekind's contribution would become the basis of ring theory and abstract algebra, while Kronecker's would become major tools in algebraic geometry.