Кіріспе

Көпқырлылықтың өзі көпқырлылық болатын ішкі жиыны; көпқырлылыққа инъективті ендіру.

Математикада көпқырлылықтың ішкі жиыны – өзінің көпқырлылық құрылымы бар және кіріктіру картасы белгілі бір қасиеттерге сай келетін жиын. Қай қасиеттер талап етілетініне байланысты әртүрлі ішкі көпқырлылық түрлері бар. Әртүрлі авторлар көбінесе әртүрлі анықтамалар береді.

Ресми анықтама

Келесіде барлық көпүрлеулер белгілі бір тұрақты үшін сатысы бар дифференциалданатын көпүрлеулер деп есептейміз, ал барлық морфизмдер сатысы бар дифференциалданатын болады.

Суға батырылған субкөптүрлілік

Көпқырлылықтың суға батырылған субкөпқырлылығы – суға батыру картасының бейнесі; көбінесе бұл бейне субкөпқырлылық ретінде субкөпқырлылық болмайды, ал суға батыру картасы тіпті инъективті (бір-бірге сәйкес) болуы міндетті емес – ол өзімен-өзі қиылысуларға ие болуы мүмкін. Нақтырақ айтқанда, картаның инъекция (бір-бірге сәйкес) болуын талап етуге болады, мұндай жағдайда оны инъективті батыру деп атаймыз, ал батырылған субкөпқырлылықты сурет субкөптігі ретінде, топологиясымен және дифференциалдық құрылымымен бірге анықтаймыз, осылайша ол көпқырлылық болады және кіріктіру диффеоморфизм болады: бұл, әдетте, субкөптік топологиясымен сәйкес келмейтін , топологиясы, және жалпы жағдайда, субкөптік топологиясында субкөптігі емес. Кез келген инъективті суға батыруды қарастыра отырып, оның бейнесін суға батырылған субкөпқырлылықтың құрылымымен бірегей түрде беруге болады, сонда диффеоморфизм пайда болады. Осыдан суға батырылған субкөпқырлылықтар инъективті батырулардың бейнелері екені шығады. Суға батырылған субкөпқырлылықтағы субкөптік топологиясы, міндетті түрде, кіріктірілген кеңістік топологиясынан мұрагерлік ете бермейді. Көбінесе, ол кіріктірілген кеңістік топологиясынан жіңішке болады (яғни, ашық жиынтықтар саны көп). Суға батырылған субкөпқырлылықтар Ли тобының теориясында кездеседі, онда Ли субтоптары табиғи түрде суға батырылған субкөпқырлылықтар болып табылады. Олар сондай-ақ, жапырақтарды зерттеуде, Фробен теоремасын дәлелдеу үшін қажетті контексті қамтамасыз ететін шоғырланған субкөпқырлылықтарда да пайда болады.

Кіргізілген субкөптүрлілік

Көшке салынған субкөптүрлілік (сондай-ақ, реттелген субкөптүрлілік деп те аталады) – кіріктіру картасы топологиялық енгізу болып табылатын шомылған субкөптүрлілік. Яғни, субкөптүрліліктің топологиясы, кіші кеңістіктің топологиясымен сәйкес келеді. Кез келген енгізу арқылы көптүрліліктің суреті табиғи түрде көшке салынған субкөптүрліліктің құрылымын иеленеді. Демек, көшке салынған субкөптүрліліктер – енгізулердің суреттері болып табылады. Көбінесе пайдалы болатын көшке салынған субкөптүрліліктің ішкі анықтамасы бар. n өлшемді көшке салынған субкөптүрлілік – әрбір нүкте үшін сол нүктені қамтитын n өлшемді жазықтықтың қиылысын қамтитын диаграмма бар жиын. Бұл жұптар дифференциалдық құрылым үшін атлас құрайды. Александр теоремасы және Жордан-Шоэнфлиз теоремасы – тегіс енгізулердің жақсы мысалдары.

Басқа өзгерістер

Әдебиетте қолданылатын субкөптүрліліктердің басқа да түрлері бар. Жапсарлы субкөптүрлілік – шекарасы толық көптүрліліктің шекарасымен сәйкес келетін көптүрлілік. Шарп (1997) енгізілген және суға батырылған субкөптүрліліктердің арасында жатқан субкөптүрлілік түрін анықтайды. Көптеген авторлар топологиялық субкөптүрліліктерді де анықтайды. Олар субкөптүрліліктермен бірдей. Енгізілген топологиялық субкөптүрлілік, енгізуді кеңейтетін әрбір нүктеде жергілікті координаттар жүйесінің болуы тұрғысынан міндетті түрде реттелген емес. Контрпримерлерге жабайы доғалар және жабайы түйіндер жатады.

Қасиеттері

Кез келген кеңістігіне ендірілген көптүрлілігінің кез келген нүктесіндегі жанама кеңістік, кеңістігіндегі жанама кеңістіктің сызықтық ішкі кеңістігі ретінде қарастырылуы мүмкін. Бұл ендіру картасы ендіру болып табылатындығы және инъекцияны қамтамасыз ететіндігінен туындайды.

Егер кеңістігіне ендірілген көптүрлілігі болса және ендіру картасы жабық болса, онда шынымен кеңістігіне ендірілген көптүрлілік болады. Керісінше, егер ендірілген көптүрлілік болса және ол жабық жиын болса, онда ендіру картасы жабық болады. Ендіру картасы жабық болу үшін, ол дұрыс карта болуы керек (яғни, компакт жиындардың кері бейнелері компактты болуы керек). Егер жабық болса, онда ол жабық ендірілген көптүрлілік деп аталады. Жабық ендірілген көптүрліліктер көптүрліліктердің ең жақсы класын құрайды.

Шынайы координаталық кеңістіктің субкөптүрлілігі

Жақсы түрліліктер кейде нақты координаттық кеңістіктің енгізілген кіші түрліліктері ретінде анықталады, кейбір үшін. Бұл көзқарас дәстүрлі, абстрактілі тәсілмен эквивалентті, себебі Уитнидің енгізу теоремасы бойынша, кез келген екінші санамалы тегіс (абстрактілі) түрлілікті тегіс түрде енгізуге болады.