Введение

Подмножество многообразия, которое само является многообразием; инъективное погружение в многообразие.

В математике подмногообразие многообразия — это подмножество, которое само по себе обладает структурой многообразия, и для которого отображение включения удовлетворяет определенным условиям. Существуют различные типы подмногообразий в зависимости от конкретных требуемых условий. Разные авторы часто дают различные определения.

Формальное определение

В дальнейшем мы будем считать, что все многообразия — гладкие многообразия класса для фиксированного , а все морфизмы — гладкие.

Погруженные подмножества

Погруженное подмногообразие многообразия — это образ погружения; в общем случае этот образ не является подмногообразием как подмножество, и погружение не обязано быть инъективным (взаимно однозначным) — оно может иметь самопересечения. В более строгом смысле можно потребовать, чтобы отображение было инъекцией (взаимно однозначным), в этом случае мы называем его инъективным погружением и определяем погруженное подмногообразие как подмножество-образ вместе с топологией и дифференциальной структурой, такими что это многообразие, а включение является диффеоморфизмом: это просто топология на , которая, как правило, не совпадает с топологией подмножества; в общем случае подмножество не является подмногообразием в топологии подмножества. Для любого инъективного погружения образ в можно единственным образом снабдить структурой погруженного подмногообразия так, чтобы было диффеоморфизмом. Следовательно, погруженные подмногообразия — это именно образы инъективных погружений. Топология подмногообразия на погруженном подмногообразии не обязана быть топологией подпространства, унаследованной от . Как правило, она будет тоньше, чем топология подпространства (то есть содержать больше открытых множеств). Погруженные подмногообразия возникают в теории групп Ли, где подгруппы Ли являются естественными погруженными подмногообразиями. Они также появляются при изучении слоений, где погруженные подмногообразия предоставляют подходящий контекст для доказательства теоремы Фробениуса.

Встроенные подмножества

Встроенное подмногообразие (также называемое регулярным подмногообразием) — это погруженное подмногообразие, для которого карта включения является топологическим вложением. То есть, топология подмногообразия на совпадает с топологией подпространства. Для любого вложения многообразия в , образ естественным образом имеет структуру встроенного подмногообразия. То есть, встроенные подмногообразия — это именно образы вложений. Существует внутреннее определение встроенного подмногообразия, которое часто бывает полезным. Пусть — -мерное многообразие, и пусть — целое число такое, что -мерное встроенное подмногообразие — это подмножество такое, что для каждой точки существует окрестность содержащая , такая что является пересечением -мерной плоскости с . Пары образуют атлас для дифференциальной структуры на . Теорема Александра и теорема Джордана — Шёнфлиса являются хорошими примерами гладких вложений.

Другие вариации

В литературе используются некоторые другие варианты подмногообразий. Аккуратное подмногообразие – это многообразие, граница которого совпадает с границей всего многообразия. Шарп (1997) определяет тип подмногообразия, который находится между вложенным и погруженным подмногообразиями. Многие авторы также определяют топологические подмногообразия. Они совпадают с подмногообразиями, имеющими вложение. Вложенное топологическое подмногообразие не обязательно регулярно в том смысле, что в каждой точке вложения существует локальная карта, продолжающая это вложение. Примерами, опровергающими это утверждение, служат дикие дуги и дикие узлы.

Свойства

Для любого погруженного подмногообразия в , касательное пространство в точке может естественным образом рассматриваться как линейное подпространство касательного пространства в . Это следует из того, что отображение включения является погружением и обеспечивает инъекцию.

Предположим, S – погруженное подмногообразие в . Если отображение включения замкнуто, то S фактически является вложенным подмногообразием в . И наоборот, если S – вложенное подмногообразие, которое также является замкнутым подмножеством, то отображение включения замкнуто. Отображение включения замкнуто тогда и только тогда, когда оно является правильным отображением (то есть, прообразы компактных множеств компактны). Если S замкнуто, то оно называется замкнутым вложенным подмногообразием. Замкнутые вложенные подмногообразия образуют наиболее "хороший" класс подмногообразий.

Субманифолды реального координатного пространства

Гладкие многообразия иногда определяются как вложенные подмногообразия в реальном координатном пространстве для некоторого . Эта точка зрения эквивалентна обычному, абстрактному подходу, поскольку, согласно теореме о вложении Уитни, любое второстепенно счетное гладкое (абстрактное) многообразие может быть гладко вложено в .