Кеңістіктегі жазық емес аймақта интегралдау

Кіріспе

3D кеңістіктегі жазық емес аймақта интегралдау. Математикада, әсіресе көп айнымалы есептеуде, беттік интеграл – беттер бойынша интегралдауға көптік интегралдардың жалпылама түрі. Оны сызықтық интегралдың қос интегралдық аналогы деп қарастыруға болады. Берілген бет бойынша скалярлық өріс (яғни, орналасу функциясы, скалярлық мәнді қайтарады) немесе векторлық өріс (яғни, векторлық мәнді қайтаратын функция) интегралдауға болады. Егер R аймағы жазық болмаса, онда ол суретте көрсетілгендей бет деп аталады. Беттік интегралдар физикада, әсіресе классикалық электромагнетизм теориясында қолданылады.

Бет интегралдарын қамтитын теоремалар

Дифференциалдық геометрия және векторлық есептеуді қолдану арқылы, беттік интегралдар үшін түрлі пайдалы нәтижелер шығаруға болады, мысалы, дивергенция теоремасы және оның кеңейтілген түрі – Стокс теоремасы.

Параметрілеуге тәуелділік

Біз бетін интегралын S параметрлеуін қолдана отырып анықтағанымызды ескерелік. Берілген беттің бірнеше параметрлеуі болуы мүмкін екенін білеміз. Мысалы, егер шардағы Солтүстік және Оңтүстік полюстердің орналасуын өзгертетін болсақ, шардың барлық нүктелері үшін ендік және бойлық өзгереді. Осыған байланысты туындайтын сұрақ – бетін интегралының анықтамасы таңдалған параметрлеуге тәуелді ме? Скалярлық өрістердің интегралдары үшін бұл сұраққа жауап қарапайым: бетін интегралының мәні қандай параметрлеу қолданылса да бірдей болады. Векторлық өрістердің интегралдары үшін жағдай күрделірек, себебі беттік нормаль қатысады. Егер екі параметрлеудің беттік нормальдары бір бағытта болса, бірдей бет үшін екі параметрлеумен де бетін интегралының мәні бірдей болады деп дәлелдеуге болады. Егер осы параметрлеулер үшін нормалдар қарама-қарсы бағытта болса, бір параметрлеуді пайдаланып алынған бетін интегралының мәні екінші параметрлеу арқылы алынған мәннің терісіне тең болады. Осыдан, берілген бет үшін бізге нақты бір параметрлеуді міндетті түрде сақтаудың қажеті жоқ, бірақ векторлық өрістерді интегралдағанда нормальдың бағытын алдын ала анықтап, содан кейін осы бағытқа сәйкес келетін кез келген параметрлеуді таңдауымыз керек. Тағы бір мәселе – кейде беттердің барлық бетін қамтитын параметрлеуі болмайды. Осы мәселенің ең оңай шешімі – бетті бірнеше бөлікке бөлу, әр бөліктің бетін интегралын есептеу, содан соң оларды қосу. Шындығында, осылай жұмыс істейді, бірақ векторлық өрістерді интегралдағанда, әр бөлік үшін нормальдық бағыттаушы векторды қалай таңдау керектігіне назар аудару қажет, сонда бөліктер қайта біріктірілгенде нәтижелер сәйкес келеді. Мысалы, цилиндр үшін, егер біз қабырғалық бөлік үшін нормаль сыртқа бағытталса, онда жоғарғы және төменгі дөңгелек бөліктер үшін де нормаль сыртқа бағытталуы керек. Соңында, кейбір беттерде әр нүктеде тұрақты нәтижелермен беттік нормальды анықтау мүмкін емес (мысалы, Мёбиус жолағы). Егер мұндай бет бөліктерге бөлінсе, әр бөлік үшін параметрлеу және сәйкес беттік нормаль таңдалып, бөліктер қайта біріктірілсе, әртүрлі бөліктерден келген нормальдық векторларды үйлестіруге болмайтынын көреміз. Бұл екі бөліктің арасындағы қосылыста қарама-қарсы бағыттағы нормальдық векторлар болады дегенді білдіреді. Мұндай бет бағытталмаған бет деп аталады, және мұндай бетте векторлық өрістерді интегралдау туралы сөз қозғауға болмайды.

Let us notice that we defined the surface integral by using a parametrization of the surface S. We know that a given surface might have several parametrizations. For example, if we move the locations of the North Pole and the South Pole on a sphere, the latitude and longitude change for all the points on the sphere. A natural question is then whether the definition of the surface integral depends on the chosen parametrization. For integrals of scalar fields, the answer to this question is simple; the value of the surface integral will be the same no matter what parametrization one uses. For integrals of vector fields, things are more complicated because the surface normal is involved. It can be proven that given two parametrizations of the same surface, whose surface normals point in the same direction, one obtains the same value for the surface integral with both parametrizations. If, however, the normals for these parametrizations point in opposite directions, the value of the surface integral obtained using one parametrization is the negative of the one obtained via the other parametrization. It follows that given a surface, we do not need to stick to any unique parametrization, but, when integrating vector fields, we do need to decide in advance in which direction the normal will point and then choose any parametrization consistent with that direction. Another issue is that sometimes surfaces do not have parametrizations which cover the whole surface. The obvious solution is then to split that surface into several pieces, calculate the surface integral on each piece, and then add them all up. This is indeed how things work, but when integrating vector fields, one needs to again be careful how to choose the normal pointing vector for each piece of the surface, so that when the pieces are put back together, the results are consistent. For the cylinder, this means that if we decide that for the side region the normal will point out of the body, then for the top and bottom circular parts, the normal must point out of the body too. Last, there are surfaces which do not admit a surface normal at each point with consistent results (for example, the Möbius strip). If such a surface is split into pieces, on each piece a parametrization and corresponding surface normal is chosen, and the pieces are put back together, we will find that the normal vectors coming from different pieces cannot be reconciled. This means that at some junction between two pieces we will have normal vectors pointing in opposite directions. Such a surface is called non orientable, and on this kind of surface, one cannot talk about integrating vector fields.