Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Интегрирование по неплоской области в 3D-пространстве
Integration over a non flat region in 3D space
В математике, в частности в многомерном исчислении, поверхностный интеграл является обобщением кратных интегралов для интегрирования по поверхностям. Его можно рассматривать как аналог двойного интеграла для криволинейного интеграла. Для заданной поверхности можно интегрировать по ней скалярное поле (то есть функцию положения, возвращающую скалярное значение), или векторное поле (то есть функцию, возвращающую векторное значение). Если область R не является плоской, то она называется поверхностью, как показано на иллюстрации. Поверхностные интегралы находят применение в физике, особенно в теориях классического электромагнетизма.
In mathematics, particularly multivariable calculus, a surface integral is a generalization of multiple integrals to integration over surfaces. It can be thought of as the double integral analogue of the line integral. Given a surface, one may integrate over this surface a scalar field (that is, a function of position which returns a scalar as a value), or a vector field (that is, a function which returns a vector as value). If a region R is not flat, then it is called a surface as shown in the illustration. Surface integrals have applications in physics, particularly with the theories of classical electromagnetism.
Теоремы, включающие интегралы поверхности
Различные полезные результаты для поверхностных интегралов могут быть получены с использованием дифференциальной геометрии и векторного анализа, такие как теорема о расходимости и ее обобщение – теорема Стокса.
Various useful results for surface integrals can be derived using differential geometry and vector calculus, such as the divergence theorem, and its generalization, Stokes' theorem.
Зависимость от параметризации
Обратим внимание, что мы определили поверхностный интеграл, используя параметризацию поверхности S. Мы знаем, что заданная поверхность может иметь несколько параметризаций. Например, если мы изменим положение Северного и Южного полюсов на сфере, широта и долгота изменятся для всех точек на сфере. Естественным вопросом является то, зависит ли определение поверхностного интеграла от выбранной параметризации. Для интегралов скалярных полей ответ на этот вопрос прост: значение поверхностного интеграла будет одинаковым, независимо от используемой параметризации. Для интегралов векторных полей ситуация сложнее, поскольку в ней участвует нормаль к поверхности. Можно доказать, что для двух параметризаций одной и той же поверхности, у которых нормали к поверхности указывают в одном и том же направлении, получается одно и то же значение поверхностного интеграла при использовании обеих параметризаций. Если же нормали для этих параметризаций указывают в противоположных направлениях, то значение поверхностного интеграла, полученное с использованием одной параметризации, будет равно отрицательному значению, полученному с помощью другой параметризации. Следовательно, для заданной поверхности нам не нужно придерживаться какой-либо уникальной параметризации, но при интегрировании векторных полей необходимо заранее определить направление нормали, а затем выбрать любую параметризацию, согласующуюся с этим направлением. Другая проблема заключается в том, что иногда поверхности не имеют параметризаций, покрывающих всю поверхность. Очевидным решением является разделение этой поверхности на несколько частей, вычисление поверхностного интеграла на каждой части и последующее их суммирование. Именно так это и работает, но при интегрировании векторных полей необходимо снова тщательно выбирать направляющий вектор нормали для каждой части поверхности, чтобы при соединении частей результаты были согласованы. Для цилиндра это означает, что если мы решим, что для боковой поверхности нормаль направлена наружу от тела, то для верхней и нижней круговых частей нормаль также должна быть направлена наружу от тела. Наконец, существуют поверхности, для которых невозможно определить нормаль к поверхности в каждой точке с согласованными результатами (например, лента Мёбиуса). Если такую поверхность разделить на части, для каждой части выбрать параметризацию и соответствующую нормаль к поверхности, а затем соединить части обратно, мы обнаружим, что нормальные векторы, исходящие из разных частей, не могут быть согласованы. Это означает, что в некоторой точке соединения двух частей у нас будут нормальные векторы, направленные в противоположные стороны. Такая поверхность называется неориентируемой, и на такой поверхности нельзя говорить об интегрировании векторных полей.
Let us notice that we defined the surface integral by using a parametrization of the surface S. We know that a given surface might have several parametrizations. For example, if we move the locations of the North Pole and the South Pole on a sphere, the latitude and longitude change for all the points on the sphere. A natural question is then whether the definition of the surface integral depends on the chosen parametrization. For integrals of scalar fields, the answer to this question is simple; the value of the surface integral will be the same no matter what parametrization one uses. For integrals of vector fields, things are more complicated because the surface normal is involved. It can be proven that given two parametrizations of the same surface, whose surface normals point in the same direction, one obtains the same value for the surface integral with both parametrizations. If, however, the normals for these parametrizations point in opposite directions, the value of the surface integral obtained using one parametrization is the negative of the one obtained via the other parametrization. It follows that given a surface, we do not need to stick to any unique parametrization, but, when integrating vector fields, we do need to decide in advance in which direction the normal will point and then choose any parametrization consistent with that direction. Another issue is that sometimes surfaces do not have parametrizations which cover the whole surface. The obvious solution is then to split that surface into several pieces, calculate the surface integral on each piece, and then add them all up. This is indeed how things work, but when integrating vector fields, one needs to again be careful how to choose the normal pointing vector for each piece of the surface, so that when the pieces are put back together, the results are consistent. For the cylinder, this means that if we decide that for the side region the normal will point out of the body, then for the top and bottom circular parts, the normal must point out of the body too. Last, there are surfaces which do not admit a surface normal at each point with consistent results (for example, the Möbius strip). If such a surface is split into pieces, on each piece a parametrization and corresponding surface normal is chosen, and the pieces are put back together, we will find that the normal vectors coming from different pieces cannot be reconciled. This means that at some junction between two pieces we will have normal vectors pointing in opposite directions. Such a surface is called non orientable, and on this kind of surface, one cannot talk about integrating vector fields.