Жезделгі теориясында кеңейтілген объектілер

Кіріспе

Сызық теориясында кеңейтілген нысандар

Сызық теориясында D-брандар, Дирихле мембранасының қысқартылған атауы, ашық жіптер Дирихле шекаралық шарттарымен аяқталатын кеңейтілген нысандар классы болып табылады, осылай аталуы да содан. D-брандар әдетте олардың кеңістіктік өлшемдері бойынша жіктеледі, бұл D әрпінен кейін жазылған санмен көрсетіледі. D0-бран – бұл бір нүкте, D1-бран – сызық (кейде "D жібі" деп аталады), D2-бран – жазықтық, ал D25-бран бозондық жіп теориясында қарастырылатын ең жоғары өлшемді кеңістікті толтырады. Сондай-ақ, кеңістік пен уақытта локалданып орналасқан инстантондық D(-1)-брандар да бар.

Ашылу

D-брандар 1989 жылы Джин Дай, Ли, Полчински және тәуелсіз түрде Хоравалар ашқан. 1995 жылы Полчински D-брандарды супергравитацияның қара p-бран шешімдерімен байланыстырды, бұл ашылыс екінші суперструна революциясын бастап, голографиялық және М-теориясының дуалдықтарына жол ашты.

Теориялық негіздер

Сызық теориясының қозғалыс теңдеулері ашық сызықтың (соңы бар сызықтың) соңғы нүктелерінің екі түрдің біреуіне жататын шекаралық шарттарды қанағаттандыруын талап етеді: Нейман шекаралық шарты, кеңістік-уақыт арқылы жарық жылдамдығымен қозғалатын бос соңғы нүктелерге сәйкес келеді, немесе Дирихле шекаралық шарты, ол сызықтың соңғы нүктесін бекітеді. Сызықтың әрбір координатасы осы шарттардың бірін немесе екіншісін қанағаттандыруы керек. Сондай-ақ, екі нүктесі NN, DD, ND және DN шекаралық шарттарын қанағаттандыратын аралас шекаралық шарттармен сызықтар да болуы мүмкін. Егер p кеңістік өлшемдері Нейман шекаралық шартын қанағаттандырса, онда сызықтың соңғы нүктесі p өлшемді гипержазықтықта қозғалады. Бұл гипержазық Dp бранның бір сипаттамасын береді. Нөлдік байланыстың лимитінде қатаң болғанымен, D бранға соққан ашық сызықтардың спектрінде оның флуктуацияларымен байланысты режимдер бар, яғни D брандары динамикалық объектілер. D брандары бір-біріне жақын орналасқанда, олардың арасында созылған сызықтардың спектрі өте байып кетеді. Бір жиын режимдер әлемдік көлемдегі абельдік емес өлшемдік теорияны құрайды. Тағы бір жиын режимдер бранның әрбір көлденең өлшемі үшін матрицалық өлшемді құрайды. Егер бұл матрицалар коммутацияласа, оларды диагональдауға болады, ал өзіндік мәндер D брандарының кеңістіктегі орнын анықтайды. Көбінесе брандар коммутацияланбайтын геометриямен сипатталады, бұл Майерс эффекті сияқты ерекше мінез-құлыққа мүмкіндік береді, онда Dp брандарының жиынтығы D(p+2) бранға дейін кеңейеді. Тахиондық конденсация осы саланың негізгі түсінігі болып табылады. Ашоке Сен IIB типті сызық теориясында тахиондық конденсацияның (Neveu Schwarz 3 формасы ағыны болмаған жағдайда) D9 және анти-D9 брандарының үйімінен кез келген D бран конфигурациясын алуға болатынын дәлелдеді. Эдвард Виттен мұндай конфигурациялар кеңістік-уақыттың K теориясымен жіктелетінін көрсетті. Тахиондық конденсация әлі де жақсы түсінілмеген. Бұл тахионның қабықтан тыс эволюциясын сипаттайтын нақты сызықтық өріс теориясының болмауынан туындайды.

The equations of motion of string theory require that the endpoints of an open string (a string with endpoints) satisfy one of two types of boundary conditions: The Neumann boundary condition, corresponding to free endpoints moving through spacetime at the speed of light, or the Dirichlet boundary conditions, which pin the string endpoint. Each coordinate of the string must satisfy one or the other of these conditions. There can also exist strings with mixed boundary conditions, where the two endpoints satisfy NN, DD, ND and DN boundary conditions. If p spatial dimensions satisfy the Neumann boundary condition, then the string endpoint is confined to move within a p dimensional hyperplane. This hyperplane provides one description of a Dp brane. Although rigid in the limit of zero coupling, the spectrum of open strings ending on a D brane contains modes associated with its fluctuations, implying that D branes are dynamical objects. When D branes are nearly coincident, the spectrum of strings stretching between them becomes very rich. One set of modes produce a non abelian gauge theory on the world volume. Another set of modes is an dimensional matrix for each transverse dimension of the brane. If these matrices commute, they may be diagonalized, and the eigenvalues define the position of the D branes in space. More generally, the branes are described by non commutative geometry, which allows exotic behavior such as the Myers effect, in which a collection of Dp branes expand into a D(p+2) brane. Tachyon condensation is a central concept in this field. Ashoke Sen has argued that in Type IIB string theory, tachyon condensation allows (in the absence of Neveu Schwarz 3 form flux) an arbitrary D brane configuration to be obtained from a stack of D9 and anti D9 branes. Edward Witten has shown that such configurations will be classified by the K theory of the spacetime. Tachyon condensation is still very poorly understood. This is due to the lack of an exact string field theory that would describe the off shell evolution of the tachyon.

Бран әлемінің космологиясы

Бұл физикалық космологияға әсер етеді. Тартылыс теориясы Ғаламның біз күткеннен көп өлшемді екенін көрсетеді – бозондық тарттылыс теориясы үшін 26, ал супертарттылыс теориясы үшін 10. Сондықтан, қосымша өлшемдердің көрінбейтініне себеп табу қажет. Мүмкін болатын нұсқаның бірі – көрінетін Ғалам, шындығында, үш кеңістіктік өлшемге созылған өте үлкен D-бран болуы мүмкін. Ашық жіптерден құралған материалдық нысандар D-бранға бекітілген және браннан тыс кеңістікті зерттеу үшін "реальдыққа перпендикуляр бағытта" қозғала алмайды. Бұл сценарий брандық космология деп аталады. Гравитация күші ашық жіптерге байланысты емес; гравитациялық күштерді тасымалдайтын гравитондар – жабық жіптердің дірілдеу күйлері. Жабық жіптер D-брандарға бекітілмегендіктен, гравитациялық әсерлер бранға перпендикуляр қосымша өлшемдерге байланысты болуы мүмкін.

D-бранды шашырату

Екі D-бран бір-біріне жақындағанда, олардың өзара әрекеттесуі екі бран арасындағы жіптердің бір циклдік аннулюс амплитудасымен сипатталады. Бір-біріне тұрақты жылдамдықпен жақындап келе жатқан екі параллель бранның жағдайы, бір-біріне қатысты белгілі бір бұрышпен айналған екі тұрақты бран мәселесіне бейімделуі мүмкін. Аннулюс амплитудасы екі бран арасында созылған ашық жіптердің қабықшаға шығуына сәйкес келетін ерекшеліктерді тудырады. Бұл D-бранның зарядына тәуелсіз. Релятивистік емес шашырау жылдамдықтарында ашық жіптерді екі кешенді скалярлық өрісті қамтитын төмен энергиялық тиімді әрекет арқылы сипаттауға болады, олар бір термин арқылы байланыстырылған. Осылайша, өріс (брандардың арақашықтығы) өзгерер кезде, өрістің массасы да өзгереді. Бұл ашық жіптердің пайда болуына себеп болады, нәтижесінде екі шашыраған бран тұтқындалады.

Өлшегіш теориялары

D-браналардың орналасуы жүйеде болуы мүмкін тізбек күйлерінің түрлерін шектейді. Мысалы, егер бізде екі параллель D2 бран болса, біз 1-ден 2-ге немесе керісінше созылатын тізбектерді елестете аламыз. (Көптеген теорияларда, тізбектер бағдарланған объектілер: әрқайсысы өзінің ұзындығы бойынша бағытты анықтайтын "белгі" алып жүреді.) Мұндай жағдайда рұқсат етілген ашық тізбектер екі санатқа бөлінеді: 1-ші браннан басталып, 2-ші бранмен аяқталатын және 2-ші браннан басталып, 1-ші бранмен аяқталатын. Символика бойынша, бізде [1 2] және [2 1] секторлары бар. Сонымен қатар, бір тізбе бір браннан басталып, соған дейін созылуы мүмкін, бұл [1 1] және [2 2] секторларын береді. (Қашаңдағы сандар Chan–Paton индекстері деп аталады, бірақ олар шынымен ғана бранды анықтайтын таңбалар.) [1 2] немесе [2 1] сектордағы тізбектің ең төменгі ұзындығы бар: ол брандардың арасындағы арақашықтықтан қысқа бола алмайды. Барлық тізбектердің белгілі бір кернеуі бар, оны тарту керек, затты ұзарту үшін; бұл тарту тізбекке әсер етеді, оның энергиясын арттырады. Тізбек теориясы табиғатынан релятивистік болғандықтан, бір тізбекке энергия қосу Эйнштейннің E = mc2 қатынасы бойынша масса қосуға тең. Сондықтан D брандарының арақашықтығы ашық тізбектердің ең аз салмағын реттейді. Сонымен қатар, тізбектің ұшы бранға бекітілсе, оның қозғалуы мен тербелісіне әсер етеді. Бөлшектердің күйлері тізбек теориясынан, тізбектердің сезіне алатын әртүрлі тербеліс күйлері ретінде "шығады", сондықтан D бранның орналасуы теориядағы бөлшектердің түрлерін басқарады. Ең қарапайым жағдай - Dp бранның [1 1] секторы, яғни p өлшемді кез келген D браннан басталатын және аяқталатын тізбектер. Намбу–Гото әрекетінің салдарын зерттегенде (және кванттық механика ережелерін қолданып, тізбекті кванттық өлшеуге), бөлшектердің спектрінде электромагниттік өрістің негізгі кванты – фотонға ұқсас бөлшектер бар екені анықталады. Ұқсастық дәл: Максвелл теңдеулерінің p өлшемді аналогына бағынатын электромагниттік өрістің p өлшемді нұсқасы әр Dp бранда бар. Осы мағынада, біреу "тізбек теориясы" электромагнетизмді "болжамдайды" деп айта алады: D-браналар теорияның қажетті бөлігі болып табылады, егер біз ашық тізбектердің болуына жол берсек, және барлық D-браналар өздерінің көлемінде электромагниттік өрісті алып жүреді. Басқа бөлшектердің күйлері бір D браннан басталатын және аяқталатын тізбектерден пайда болады. Кейбіреулері фотондар сияқты массасыз бөлшектерге сәйкес келеді; сонымен қатар бұл топта массасыз скалярлық бөлшектердің жиынтығы бар. Егер Dp бран d кеңістіктік өлшемдегі кеңістікте орналасса, бран (Максвелл өрісіне қоса) d – p массасыз скалярларды (жарықты құрайтын фотондар сияқты поляризацияланбаған бөлшектер) алып жүреді. Бір қызығы, массасыз скалярлардың саны бранға перпендикуляр бағыттардың санымен тең; бранның геометриясы оның үстіндегі бөлшектердің кванттық өріс теориясымен тығыз байланысты. Шын мәнінде, бұл массасыз скалярлар – бранның Голдстоундық қоздырулары, бос кеңістіктің симметриясын бұзудың әртүрлі жолдарына сәйкес келеді. Ғаламға D бранды орналастыру орын-жайлар арасындағы симметрияны бұзады, өйткені ол белгілі бір орынды анықтайды, бұл бранға перпендикуляр d – p бағыттарының әрқайсысына белгілі бір орынға ерекше мән береді. Максвеллдің электромагнетизмінің кванттық нұсқасы – тек бір типті өлшегіш теориясы, U(1) өлшегіш теориясы, онда өлшегіш тобы 1-ші реттік бірлік матрицалардан тұрады. D бранды жоғары дәрежелі өлшегіш теорияларды құру үшін келесідей қолдануға болады: қарапайымдық үшін параллель орналастырылған N жеке Dp бранды топтамасын қарастырайық. Брандар ыңғайлылығы үшін 1, 2, ..., N деп белгіленеді. Бұл жүйеде ашық тізбектер көптеген секторлардың бірінде бар: кейбір браньде басталатын және аяқталатын тізбектер i бұл браньге Максвелл өрісін және оның көлемінде кейбір массасыз скалярлық өрістерді береді. I браннан J бранға дейінгі тізбектер қызықты қасиеттерге ие. Бастапқыда, қандай секторлар бір-бірімен өзара әрекеттесе алады деген сұрақ қоюға болады. Тізбек өзара әрекеттесуінің бір қарапайым механизмі – екі тізбектің соңғы нүктелерге қосылуы (немесе, керісінше, бір тізбектің "ортаға бөлініп" екі "қыз" тізбекті жасауы). Соңғы нүктелер D брандарда ғана орналасатыны белгілі болғандықтан, [1 2] тізбек [2 3] тізбекпен өзара әрекеттесуі мүмкін, бірақ [3 4] немесе [4 17] тізбектерімен емес. Бұл тізбектердің массасына жоғарыда айтылғандай, брандардың арақашықтығы әсер етеді, сондықтан қарапайымдық үшін брандарды бірте-бірте жақындатып, бірінің үстіне бірін қоюды көздейік. Егер екі үстіне жатқан бранды ерекше нысандар ретінде қарастырсақ, онда бұрынғыдай барлық секторлар сақталады, бірақ брандардың арақашықтығынан туындаған әсерлер жоқ. N бірдей D брандар жүйесіндегі ашық тізбек бөлшектерінің спектріндегі нөлдік массалы күйлер U(N) өлшегіш теориясын құрайтын өзара әрекеттесетін кванттық өрістер жиынтығын береді. (Тізбек теориясы басқа да өзара әрекеттесулерді қамтиды, бірақ олар тек өте жоғары энергияларда ғана анықталады.) Өлшегіш теориялар бозондық немесе фермиондық тізбектерден бастап ойлап табылған жоқ; олар физиканың басқа саласынан шыққан және өздігінен пайдалы болған. Ең болмаса, D бран геометриясы мен өлшегіш теория арасындағы байланыс өлшегіш өзара әрекеттесуді түсіндіру үшін пайдалы педагогикалық құралды ұсынады, тіпті тізбек теориясы "барлық нәрсенің теориясы" болмаса да.

The arrangement of D branes constricts the types of string states which can exist in a system. For example, if we have two parallel D2 branes, we can easily imagine strings stretching from brane 1 to brane 2 or vice versa. (In most theories, strings are oriented objects: each one carries an "arrow" defining a direction along its length.) The open strings permissible in this situation then fall into two categories, or "sectors": those originating on brane 1 and terminating on brane 2, and those originating on brane 2 and terminating on brane 1. Symbolically, we say we have the [1 2] and the [2 1] sectors. In addition, a string may begin and end on the same brane, giving [1 1] and [2 2] sectors. (The numbers inside the brackets are called Chan–Paton indices, but they are really just labels identifying the branes.) A string in either the [1 2] or the [2 1] sector has a minimum length: it cannot be shorter than the separation between the branes. All strings have some tension, against which one must pull to lengthen the object; this pull does work on the string, adding to its energy. Because string theories are by nature relativistic, adding energy to a string is equivalent to adding mass, by Einstein's relation E = mc2. Therefore, the separation between D branes controls the minimum mass open strings may have. Furthermore, affixing a string's endpoint to a brane influences the way the string can move and vibrate. Because particle states "emerge" from the string theory as the different vibrational states the string can experience, the arrangement of D branes controls the types of particles present in the theory. The simplest case is the [1 1] sector for a Dp brane, that is to say the strings which begin and end on any particular D brane of p dimensions. Examining the consequences of the Nambu–Goto action (and applying the rules of quantum mechanics to quantize the string), one finds that among the spectrum of particles is one resembling the photon, the fundamental quantum of the electromagnetic field. The resemblance is precise: a p dimensional version of the electromagnetic field, obeying a p dimensional analogue of Maxwell's equations, exists on every Dp brane. In this sense, then, one can say that string theory "predicts" electromagnetism: D branes are a necessary part of the theory if we permit open strings to exist, and all D branes carry an electromagnetic field on their volume. Other particle states originate from strings beginning and ending on the same D brane. Some correspond to massless particles like the photon; also in this group are a set of massless scalar particles. If a Dp brane is embedded in a spacetime of d spatial dimensions, the brane carries (in addition to its Maxwell field) a set of d p massless scalars (particles which do not have polarizations like the photons making up light). Intriguingly, there are just as many massless scalars as there are directions perpendicular to the brane; the geometry of the brane arrangement is closely related to the quantum field theory of the particles existing on it. In fact, these massless scalars are Goldstone excitations of the brane, corresponding to the different ways the symmetry of empty space can be broken. Placing a D brane in a universe breaks the symmetry among locations, because it defines a particular place, assigning a special meaning to a particular location along each of the d p directions perpendicular to the brane. The quantum version of Maxwell's electromagnetism is only one kind of gauge theory, a U(1) gauge theory where the gauge group is made of unitary matrices of order 1. D branes can be used to generate gauge theories of higher order, in the following way:

Consider a group of N separate Dp branes, arranged in parallel for simplicity. The branes are labeled 1,2, ,N for convenience. Open strings in this system exist in one of many sectors: the strings beginning and ending on some brane i give that brane a Maxwell field and some massless scalar fields on its volume. The strings stretching from brane i to another brane j have more intriguing properties. For starters, it is worthwhile to ask which sectors of strings can interact with one another. One straightforward mechanism for a string interaction is for two strings to join endpoints (or, conversely, for one string to "split down the middle" and make two "daughter" strings). Since endpoints are restricted to lie on D branes, it is evident that a [1 2] string may interact with a [2 3] string, but not with a [3 4] or a [4 17] one. The masses of these strings will be influenced by the separation between the branes, as discussed above, so for simplicity's sake, we can imagine the branes squeezed closer and closer together until they lie atop one another. If we regard two overlapping branes as distinct objects, then we still have all the sectors we had before, but without the effects due to the brane separations. The zero mass states in the open string particle spectrum for a system of N coincident D branes yields a set of interacting quantum fields which is exactly a U(N) gauge theory. (The string theory does contain other interactions, but they are only detectable at very high energies.) Gauge theories were not invented starting with bosonic or fermionic strings; they originated from a different area of physics, and have become quite useful in their own right. If nothing else, the relation between D brane geometry and gauge theory offers a useful pedagogical tool for explaining gauge interactions, even if string theory fails to be the "theory of everything".

Тарих

Дирихле шекаралық шарттары мен D-браналар толық мәні танылмас бұрын ұзақ "алдын ала тарихына" ие болды. Бардин, Барс, Хансон және Пеццэйдің 1975–76 жылдардағы мақалалары тізбектердің ұштарында өзара әрекеттесетін бөлшектердің (QCD ағынды құбырлармен өзара әрекеттесетін кварктар) алғашқы нақты ұсынысын, Дирихле шарттары статикалық емес, динамикалық болатын тізбек ұшы нүктелері үшін динамикалық шекаралық шарттарды қарастырды. Аралас Дирихле/Нойман шекаралық шарттарын алғаш рет 1976 жылы Уоррен Сигел ашық жол теориясының критикалық өлшемін 26 немесе 10-нан 4-ке төмендету құралы ретінде қарастырды (Сигел сонымен қатар Хальперннің жарияланбаған жұмысын және Ходос пен Торнның 1974 жылғы мақаласын келтіреді, бірақ соңғы мақаланың оқылуы оның шын мәнінде Дирихле шекаралық шарттары емес, сызықтық кеңею фондарымен байланысты екенін көрсетеді). Бұл мақала, көрегендік болса да, өз уақытында көп назар алмады (Сигельдің 1985 жылғы пародиасы, "Супер g String", браналық әлемдерді сипаттауға жақын сипаттаманы қамтиды). Дирихле шарттары барлық координаттар үшін, оның ішінде еуропалық уақыт үшін (қазір D инстантондары деп белгілі) 1977 жылы Майкл Грин күшті өзара әрекеттесудің жол теориясын құруға тырысып, нүкте тәрізді құрылымды жол теориясына енгізу құралы ретінде енгізді. Харви мен Минахан, Ишибаши мен Оноги, Прадиси мен Сагнотти 1987–1989 жылдары зерттеген жолдарды тығыздату да Дирихле шекаралық шарттарын қолданды. 1989 жылы Дай, Ли, Полчински және Хорава тәуелсіз түрде T-дуальдықтың әдеттегі Нойман шекаралық шарттарын Дирихле шекаралық шарттарымен алмастыратынын анықтады. Бұл нәтиже кез келген ашық жол теориясының модульдік кеңістігінің аймақтарында осындай шекаралық шарттар міндетті түрде пайда болуы керек екенін білдіреді. Дай және басқалардың мақаласы сонымен қатар Дирихле шекаралық шарттарының орны динамикалық екенін атап өтеді және алынған объект үшін Дирихле бранасы (D-брана) терминін енгізеді (бұл мақала сонымен қатар T-дуальдығының астында пайда болатын басқа объект үшін ориентофолд терминін енгізеді). 1989 жылы Лидің мақаласы D-брана динамикасы Дирак–Борн–Инфельд әрекетімен басқарылатынын көрсетті. D инстантондары Гриннің 1990-шы жылдардың басында кеңінен зерттелді, ал 1994 жылы Полчински Шенкер күткен жол эффекттерін тудыратындығын көрсетті. 1995 жылы Полчински D-браналар электрлік және магниттік Рамонд–Рамонд өрістерінің көздері екенін көрсетті, бұл жол дуалдығына қажет, бұл жол теориясының бұзылусыз түсінігінде жылдам прогреске әкелді.

Dirichlet boundary conditions and D branes had a long "pre history" before their full significance was recognized. A series of 1975–76 papers by Bardeen, Bars, Hanson and Peccei dealt with an early concrete proposal of interacting particles at the ends of strings (quarks interacting with QCD flux tubes), with dynamical boundary conditions for string endpoints where the Dirichlet conditions were dynamical rather than static. Mixed Dirichlet/Neumann boundary conditions were first considered by Warren Siegel in 1976 as a means of lowering the critical dimension of open string theory from 26 or 10 to 4 (Siegel also cites unpublished work by Halpern, and a 1974 paper by Chodos and Thorn, but a reading of the latter paper shows that it is actually concerned with linear dilation backgrounds, not Dirichlet boundary conditions). This paper, though prescient, was little noted in its time (a 1985 parody by Siegel, "The Super g String", contains an almost dead on description of braneworlds). Dirichlet conditions for all coordinates including Euclidean time (defining what are now known as D instantons) were introduced by Michael Green in 1977 as a means of introducing point like structure into string theory, in an attempt to construct a string theory of the strong interaction. String compactifications studied by Harvey and Minahan, Ishibashi and Onogi, and Pradisi and Sagnotti in 1987–1989 also employed Dirichlet boundary conditions. In 1989, Dai, Leigh, Polchinski, and Hořava independently, discovered that T duality interchanges the usual Neumann boundary conditions with Dirichlet boundary conditions. This result implies that such boundary conditions must necessarily appear in regions of the moduli space of any open string theory. The Dai et al. paper also notes that the locus of the Dirichlet boundary conditions is dynamical, and coins the term Dirichlet brane (D brane) for the resulting object (this paper also coins orientifold for another object that arises under string T duality). A 1989 paper by Leigh showed that D brane dynamics are governed by the Dirac–Born–Infeld action. D instantons were extensively studied by Green in the early 1990s, and were shown by Polchinski in 1994 to produce the nonperturbative string effects anticipated by Shenker. In 1995 Polchinski showed that D branes are the sources of electric and magnetic Ramond–Ramond fields that are required by string duality, leading to rapid progress in the nonperturbative understanding of string theory.